Как начертить тетраэдр по клеточкам
Краткое описание документа:
ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:
Добрый день! Мы продолжаем с вами изучать тему: «Параллельность прямых и плоскостей».
Я думаю, уже понятно, что сегодня речь пойдет о многогранниках- поверхностях геометрических тел, составленных из многоугольников.
А именно о тетраэдре.
Проводить изучение многогранников будем по плану:
1. определение тетраэдра
2. элементы тетраэдра
3. развертка тетраэдра
4. изображение на плоскости
1. построим треугольник АBC
2. точка D, не лежащая в плоскости этого треугольника
3. соединяем точку D отрезками с вершинами треугольника ABC. Получим треугольники DAB, DBC и DCA.
Определение: Поверхность составленная из четырех треугольников АBC, DAB, DBC и DCA называется тетраэдром.
Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями, их стороны ребрами, а вершины – вершинами тетраэдра.
Сколько граней, ребер и вершин имеет тетраэдр?
Тетраэдр имеет четыре грани, шесть ребер и четыре вершины
Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными.
На рисунке противоположными являются ребра AD и BC, BD и AC, CD и AB
Иногда выделяют одну из граней тетраэдра и называют ее основанием, а три другие – боковыми гранями.
Для изготовления тетраэдра из бумаги вам потребуется следующая развертка,
ее нужно перенести на плотную бумагу, вырезать, согнуть по пунктирным линиям и склеить.
На плоскости тетраэдр изображается
В виде выпуклого или невыпуклого четырехугольника с диагоналями. При этом штриховыми линиями изображаются невидимые ребра.
На первом рисунке AC- невидимое ребро,
на втором – EK, LK и KF.
Решим несколько типовых задач на тетраэдр:
Найти площадь развертки правильного тетраэдра с ребром 5 см.
Решение. Начертим развертку тетраэдра
(на экране появляется развертка тетраэдра )
Данный тетраэдр состоит из четырех равносторонних треугольников, следовательно, площадь развертки правильного тетраэдра равна площади полной поверхности тетраэдра или площади четырех правильных треугольников.
Площадь правильного треугольника ищем по формуле:
Тогда получаем площадь тетраэдра равна:
Подставим в формулу длину ребра а=5 см,
Ответ: Площадь развертки правильного тетраэдра
Постройте сечение тетраэдра плоскостью проходящей через точки M, N и K.
а) Действительно, соединим точки M и N (принадлежат грани ADC), точки M и K(принадлежат грани ADB), точки N и K (грани DBC). Сечением тетраэдра является треугольник MKN.
б) Соединим точки M и K (принадлежат грани ADB), точки K и N(принадлежат грани DCB), далее прямые MK и AB продолжить до пересечения и поставить точку P. Прямая PN и точка T лежат в одной плоскости АВС и теперь можно построить пересечение прямой МК с каждой гранью. В результате получается четырехугольник MKNT, который является искомым сечением.
—> —>
Инфоурок |
28.10.2014 |
Геометрия |
Видеоурок |
3819 |
926 |
© 2019 Проект «Уроки математики»
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено!
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако команда проекта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом на электронную почту службы поддержки сайта.
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
Тетраэдр и его элементы
Как построить тетраэдр? Возьмем произвольный треугольник АВС. Произвольную точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника. Получим 4 треугольника. Поверхность, образованная этими 4 треугольниками, и называется тетраэдром (Рис. 1.). Внутренние точки, ограниченные этой поверхностью, также входят в состав тетраэдра.
Рис. 1. Тетраэдр АВСD
Замечание: можно принять плоскость АВС за основание тетраэдра, и тогда точка D является вершиной тетраэдра. Каждое ребро тетраэдра является пересечением двух плоскостей. Например, ребро АВ – это пересечение плоскостей АВD и АВС. Каждая вершина тетраэдра – это пересечение трех плоскостей. Вершина
Тетраэдр определение
Итак, тетраэдр — это поверхность, образованная четырмя треугольниками.
Ребро тетраэдра — линия перечесения двух плоскостей тетраэдра.
Задача 1 на построение тетраэдра
Составьте из 6 спичек 4 равных треугольника. На плоскости решить задачу не получается. А в пространстве это сделать легко. Возьмем тетраэдр. 6 спичек – это его ребра, четыре грани тетраэдра и будут четырьмя равными треугольниками. Задача решена.
Задача 2 Построить сечение тетраэдра плоскостью
Дан тетраэдр АВСD. Точка M принадлежит ребру тетраэдра АВ, точка N принадлежит ребру тетраэдра ВD и точка Р принадлежит ребру DС (Рис. 2.). Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNP.
Рис. 2. Рисунок к задаче 2 — Построить сечение тетраэдра плоскостью
Решение:
Рассмотрим грань тетраэдра DВС. В этой грани точки N и P принадлежат грани DВС, а значит, и тетраэдру. Но по условию точки N, P принадлежат секущей плоскости. Значит, NP – это линия пересечения двух плоскостей: плоскости грани DВС и секущей плоскости. Предположим, что прямые NP и ВС не параллельны. Они лежат в одной плоскости DВС. Найдем точку пересечения прямых NP и ВС. Обозначим ее Е (Рис. 3.).
Рис. 3. Рисунок к задаче 2. Нахождение точки Е
Точка Е принадлежит плоскости сечения MNP, так как она лежит на прямой NР, а прямая NР целиком лежит в плоскости сечения MNP.
Также точка
Получаем, что ЕМ – линия пересечения плоскостей АВС и MNP, так как точки Е и М лежат одновременно в двух плоскостях — АВС и MNP. Соединим точки М и Е, и продолжим прямую ЕМ до пересечения с прямой АС. Точку пересечения прямых ЕМ и АС обозначим Q.
Итак, в этом случае NPQМ — искомое сечение.
Рис. 4. Рисунок к задаче 2.Решение задачи 2
Рассмотрим теперь случай, когда NP параллельна BC. Если прямая NP параллельна какой-нибудь прямой, например, прямой ВС из плоскости АВС, то прямая NP параллельна всей плоскости АВС.
Искомая плоскость сечения проходит через прямую NP, параллельную плоскости АВС, и пересекает плоскость по прямой МQ. Значит, линия пересечения МQ параллельна прямой NP. Получаем, NPQМ — искомое сечение.
Задача 3 Построить сечение тетраэдра плоскостью
Точка М лежит на боковой грани АDВ тетраэдра АВСD. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, которое проходит через точку М параллельно основанию АВС.
Рис. 5. Рисунок к задаче 3 Построить сечение тетраэдра плоскостью
Решение:
Секущая плоскость φ параллельна плоскости АВС по условию, значит, эта плоскость φ параллельна прямым АВ, АС, ВС.
В плоскости АВD через точку М проведем прямую PQ параллельно АВ (рис. 5). Прямая PQ лежит в плоскости АВD. Аналогично в плоскости АСD через точку Р проведем прямую РR параллельно АС. Получили точку R. Две пересекающиеся прямые
Задача 4
Дан тетраэдр АВСD. Точка М – точка внутренняя, точка грани тетраэдра АВD. N – внутренняя точка отрезка DС (Рис. 6.). Построить точку пересечения прямой NM и плоскости АВС.
Рис. 6. Рисунок к задаче 4
Решение:
Для решения построим вспомогательную плоскость DМN. Пусть прямая DМ пересекает прямую АВ в точке К (Рис. 7.). Тогда, СКD – это сечение плоскости DМN и тетраэдра. В плоскости DМN лежит и прямая NM, и полученная прямая СК. Значит, если NM не параллельна СК, то они пересекутся в некоторой точке Р. Точка Р и будет искомая точка пересечения прямой NM и плоскости АВС.
Рис. 7. Рисунок к задаче 4. Решение задачи 4
Задача 5 Построить сечение тетраэдра плоскостью
Дан тетраэдр АВСD. М – внутренняя точка грани АВD. Р – внутренняя точка грани АВС. N – внутренняя точка ребра DС (Рис. 8.). Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N и Р.
Рис. 8. Рисунок к задаче 5 Построить сечение тетраэдра плоскостью
Решение:
Рассмотрим первый случай, когда прямая MN не параллельна плоскости АВС. В прошлой задаче мы нашли точку пересечения прямой MN и плоскости АВС. Это точка К, она получена с помощью вспомогательной плоскости DМN, т.е. мы проводим DМ и получаем точку F
Рис. 9. Рисунок к задаче 5. Нахождение точки К
Проведем прямую КР. Прямая КР лежит и в плоскости сечения, и в плоскости АВС. Получаем точки Р1 и Р2. Соединяем Р1 и М и на продолжении получаем точку М1. Соединяем точку Р2 и N. В результате получаем искомое сечение Р1Р2NМ1. Задача в первом случае решена.
Рассмотрим второй случай, когда прямая MN параллельна плоскости АВС. Плоскость МNР проходит через прямую МN параллельную плоскости АВС и пересекает плоскость АВС по некоторой прямой Р1Р2, тогда прямая Р1Р2параллельна данной прямой MN (Рис. 10.).
Рис. 10. Рисунок к задаче 5. Искомое сечение
Итоги урока по теме «Тетраэдр», «Ребро тетраэдра», «Грани тетраэдра», «Поверхность тетраэдра», «Вершины тетраэдра»
Итак, мы рассмотрели тетраэдр, решили некоторые типовые задачи на тетраэдр. На следующем уроке мы рассмотрим параллелепипед.
Список рекомендованной литературы по теме «Тетраэдр»
1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни)
2. Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики
Дополнительные веб-ресурсы
1. Сечения тетраэдра (Источник).
2. Как построить сечение тетраэдра. Математика (Источник).
3. Фестиваль педагогических идей (Источник).
Сделай дома задачи по теме «Тетраэдр», как находить ребро тетраэдра, грани тетраэдра, вершины и поверхность тетраэдра
1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил. Задания 18, 19, 20 стр. 50
2. Точка Е середина ребра МА тетраэдра МАВС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки В, С и Е.
3. В тетраэдре МАВС точка М принадлежит грани АМВ, точка Р – грани ВМС, точка К – ребру АС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, Р, К.
4. Какие фигуры могут получиться в результате пересечения плоскостью тетраэдра?
Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.
14(C2). Сечение тетраэдра по трём точкам
Построить сечение тетраэдра SАВС через три точки K, M, N, лежащие соответственно на рёбрах АС, SC и SB. Построим сечение методом следов. 1) Так как точки M и N лежат в правой грани, есть смысл их соединить и пересечь прямую MN с прямой СВ, лежащей в той же грани. Прямые пересекаются в точке Х, которая одновременно лежит и в правой грани, и в нижней. Само собой, эта точка лежит и в плоскости сечения. 2) Находясь теперь в нижней грани, пересечём прямые КХ и АВ. Получившаяся точка L лежит как в нижней, так и в левой гранях тетраэдра. Разумеется, она тоже является точкой сечения. 3) Соединим теперь точки N и L в левой грани, а также точки К и М в задней грани. Получившийся четырёхугольник KLNM и есть искомое сечение.
Автор: Ольга Себедаш Просмотров: 64926
Комментарии к этой задаче:
Комментарий добавил(а): Виктория
Дата: 2014-11-23
Спасибо, очень помогли, построила в два счета
Комментарий добавил(а):
Дата: 2018-12-07
«>
Тетраэдр — объёмное геометрическое тело
Математические характеристики тетраэдра
Тетраэдр может быть помещен в сферу (вписан), так, что каждая из его вершин будет касаться внутренней стенки сферы.
Радиус описанной сферы тетраэдра определяется по формуле:
, где a — длина стороны.
Сфера может быть вписана внутрь тетраэдра.
Радиус вписанной сферы тетраэдра определяется по формуле:
Площадь поверхности тетраэдра
Для наглядности, площадь поверхности тетраэдра можно представить в виде площади развёртки. Площадь поверхности можно определить как площадь одной из сторон тетраэдра (это площадь правильного треугольника) умноженной на 4. Либо воспользоваться формулой:
Объем тетраэдра определяется по следующей формуле:
Высота тетраэдра определяется по следующей формуле:
Расстояние до центра основания тетраэдра определяется по формуле:
Как начертить тетраэдр по клеточкам
Краткое описание документа:
ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:
Добрый день! Мы продолжаем с вами изучать тему: «Параллельность прямых и плоскостей».
Я думаю, уже понятно, что сегодня речь пойдет о многогранниках- поверхностях геометрических тел, составленных из многоугольников.
А именно о тетраэдре.
Проводить изучение многогранников будем по плану:
1. определение тетраэдра
2. элементы тетраэдра
3. развертка тетраэдра
4. изображение на плоскости
1. построим треугольник АBC
2. точка D, не лежащая в плоскости этого треугольника
3. соединяем точку D отрезками с вершинами треугольника ABC. Получим треугольники DAB, DBC и DCA.
Определение: Поверхность составленная из четырех треугольников АBC, DAB, DBC и DCA называется тетраэдром.
Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями, их стороны ребрами, а вершины – вершинами тетраэдра.
Сколько граней, ребер и вершин имеет тетраэдр?
Тетраэдр имеет четыре грани, шесть ребер и четыре вершины
Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными.
На рисунке противоположными являются ребра AD и BC, BD и AC, CD и AB
Иногда выделяют одну из граней тетраэдра и называют ее основанием, а три другие – боковыми гранями.
Для изготовления тетраэдра из бумаги вам потребуется следующая развертка,
ее нужно перенести на плотную бумагу, вырезать, согнуть по пунктирным линиям и склеить.
На плоскости тетраэдр изображается
В виде выпуклого или невыпуклого четырехугольника с диагоналями. При этом штриховыми линиями изображаются невидимые ребра.
На первом рисунке AC- невидимое ребро,
на втором – EK, LK и KF.
Решим несколько типовых задач на тетраэдр:
Найти площадь развертки правильного тетраэдра с ребром 5 см.
Решение. Начертим развертку тетраэдра
(на экране появляется развертка тетраэдра )
Данный тетраэдр состоит из четырех равносторонних треугольников, следовательно, площадь развертки правильного тетраэдра равна площади полной поверхности тетраэдра или площади четырех правильных треугольников.
Площадь правильного треугольника ищем по формуле:
Тогда получаем площадь тетраэдра равна:
Подставим в формулу длину ребра а=5 см,
Ответ: Площадь развертки правильного тетраэдра
Постройте сечение тетраэдра плоскостью проходящей через точки M, N и K.
а) Действительно, соединим точки M и N (принадлежат грани ADC), точки M и K(принадлежат грани ADB), точки N и K (грани DBC). Сечением тетраэдра является треугольник MKN.
б) Соединим точки M и K (принадлежат грани ADB), точки K и N(принадлежат грани DCB), далее прямые MK и AB продолжить до пересечения и поставить точку P. Прямая PN и точка T лежат в одной плоскости АВС и теперь можно построить пересечение прямой МК с каждой гранью. В результате получается четырехугольник MKNT, который является искомым сечением.
—> —>
Инфоурок |
28.10.2014 |
Геометрия |
Видеоурок |
3819 |
926 |
© 2019 Проект «Уроки математики»
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено!
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако команда проекта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом на электронную почту службы поддержки сайта.
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
Рис. 1. Тетраэдр АВСD
Замечание: можно принять плоскость АВС за основание тетраэдра, и тогда точка D является вершиной тетраэдра. Каждое ребро тетраэдра является пересечением двух плоскостей. Например, ребро АВ – это пересечение плоскостей АВD и АВС. Каждая вершина тетраэдра – это пересечение трех плоскостей. Вершина А лежит в плоскостях АВС, АВD, АDС. Точка А – это пересечение трех означенных плоскостей. Этот факт записывается следующим образом: А = АВС ∩ АВD ∩ АСD.
Тетраэдр определение
Итак, тетраэдр — это поверхность, образованная четырмя треугольниками.
Ребро тетраэдра — линия перечесения двух плоскостей тетраэдра.
Задача 1 на построение тетраэдра
Составьте из 6 спичек 4 равных треугольника. На плоскости решить задачу не получается. А в пространстве это сделать легко. Возьмем тетраэдр. 6 спичек – это его ребра, четыре грани тетраэдра и будут четырьмя равными треугольниками. Задача решена.
Задача 2 Построить сечение тетраэдра плоскостью
Дан тетраэдр АВСD. Точка M принадлежит ребру тетраэдра АВ, точка N принадлежит ребру тетраэдра ВD и точка Р принадлежит ребру DС (Рис. 2.). Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNP.
Рис. 2. Рисунок к задаче 2 — Построить сечение тетраэдра плоскостью
Решение:
Рассмотрим грань тетраэдра DВС. В этой грани точки N и P принадлежат грани DВС, а значит, и тетраэдру. Но по условию точки N, P принадлежат секущей плоскости. Значит, NP – это линия пересечения двух плоскостей: плоскости грани DВС и секущей плоскости. Предположим, что прямые NP и ВС не параллельны. Они лежат в одной плоскости DВС. Найдем точку пересечения прямых NP и ВС. Обозначим ее Е (Рис. 3.).
Рис. 3. Рисунок к задаче 2. Нахождение точки Е
Точка Е принадлежит плоскости сечения MNP, так как она лежит на прямой NР, а прямая NР целиком лежит в плоскости сечения MNP.
Также точка Е лежит в плоскости АВС, потому что она лежит на прямой ВС из плоскости АВС.
Получаем, что ЕМ – линия пересечения плоскостей АВС и MNP, так как точки Е и М лежат одновременно в двух плоскостях — АВС и MNP. Соединим точки М и Е, и продолжим прямую ЕМ до пересечения с прямой АС. Точку пересечения прямых ЕМ и АС обозначим Q.
Итак, в этом случае NPQМ — искомое сечение.
Рис. 4. Рисунок к задаче 2.Решение задачи 2
Рассмотрим теперь случай, когда NP параллельна BC. Если прямая NP параллельна какой-нибудь прямой, например, прямой ВС из плоскости АВС, то прямая NP параллельна всей плоскости АВС.
Искомая плоскость сечения проходит через прямую NP, параллельную плоскости АВС, и пересекает плоскость по прямой МQ. Значит, линия пересечения МQ параллельна прямой NP. Получаем, NPQМ — искомое сечение.
Задача 3 Построить сечение тетраэдра плоскостью
Точка М лежит на боковой грани АDВ тетраэдра АВСD. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, которое проходит через точку М параллельно основанию АВС.
Рис. 5. Рисунок к задаче 3 Построить сечение тетраэдра плоскостью
Решение:
Секущая плоскость φ параллельна плоскости АВС по условию, значит, эта плоскость φ параллельна прямым АВ, АС, ВС.
В плоскости АВD через точку М проведем прямую PQ параллельно АВ (рис. 5). Прямая PQ лежит в плоскости АВD. Аналогично в плоскости АСD через точку Р проведем прямую РR параллельно АС. Получили точку R. Две пересекающиеся прямые PQ и РR плоскости РQR соответственно параллельны двум пересекающимся прямым АВ и АС плоскости АВС, значит, плоскости АВС и РQR параллельны. РQR – искомое сечение. Задача решена.
Задача 4
Дан тетраэдр АВСD. Точка М – точка внутренняя, точка грани тетраэдра АВD. N – внутренняя точка отрезка DС (Рис. 6.). Построить точку пересечения прямой NM и плоскости АВС.
Рис. 6. Рисунок к задаче 4
Решение:
Для решения построим вспомогательную плоскость DМN. Пусть прямая DМ пересекает прямую АВ в точке К (Рис. 7.). Тогда, СКD – это сечение плоскости DМN и тетраэдра. В плоскости DМN лежит и прямая NM, и полученная прямая СК. Значит, если NM не параллельна СК, то они пересекутся в некоторой точке Р. Точка Р и будет искомая точка пересечения прямой NM и плоскости АВС.
Рис. 7. Рисунок к задаче 4. Решение задачи 4
Задача 5 Построить сечение тетраэдра плоскостью
Дан тетраэдр АВСD. М – внутренняя точка грани АВD. Р – внутренняя точка грани АВС. N – внутренняя точка ребра DС (Рис. 8.). Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N и Р.
Рис. 8. Рисунок к задаче 5 Построить сечение тетраэдра плоскостью
Решение:
Рассмотрим первый случай, когда прямая MN не параллельна плоскости АВС. В прошлой задаче мы нашли точку пересечения прямой MN и плоскости АВС. Это точка К, она получена с помощью вспомогательной плоскости DМN, т.е. мы проводим DМ и получаем точку F. Проводим СF и на пересечении MN получаем точку К.
Рис. 9. Рисунок к задаче 5. Нахождение точки К
Проведем прямую КР. Прямая КР лежит и в плоскости сечения, и в плоскости АВС. Получаем точки Р1 и Р2. Соединяем Р1 и М и на продолжении получаем точку М1. Соединяем точку Р2 и N. В результате получаем искомое сечение Р1Р2NМ1. Задача в первом случае решена.
Рассмотрим второй случай, когда прямая MN параллельна плоскости АВС. Плоскость МNР проходит через прямую МN параллельную плоскости АВС и пересекает плоскость АВС по некоторой прямой Р1Р2, тогда прямая Р1Р2параллельна данной прямой MN (Рис. 10.).
Рис. 10. Рисунок к задаче 5. Искомое сечение
Итоги урока по теме «Тетраэдр», «Ребро тетраэдра», «Грани тетраэдра», «Поверхность тетраэдра», «Вершины тетраэдра»
Итак, мы рассмотрели тетраэдр, решили некоторые типовые задачи на тетраэдр. На следующем уроке мы рассмотрим параллелепипед.
Список рекомендованной литературы по теме «Тетраэдр»
1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни)
2. Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики
Дополнительные веб-ресурсы
1. Сечения тетраэдра (Источник).
2. Как построить сечение тетраэдра. Математика (Источник).
3. Фестиваль педагогических идей (Источник).
Сделай дома задачи по теме «Тетраэдр», как находить ребро тетраэдра, грани тетраэдра, вершины и поверхность тетраэдра
1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил. Задания 18, 19, 20 стр. 50
2. Точка Е середина ребра МА тетраэдра МАВС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки В, С и Е.
3. В тетраэдре МАВС точка М принадлежит грани АМВ, точка Р – грани ВМС, точка К – ребру АС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, Р, К.
4. Какие фигуры могут получиться в результате пересечения плоскостью тетраэдра?
Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.
14(C2). Сечение тетраэдра по трём точкам
Построить сечение тетраэдра SАВС через три точки K, M, N, лежащие соответственно на рёбрах АС, SC и SB. Построим сечение методом следов. 1) Так как точки M и N лежат в правой грани, есть смысл их соединить и пересечь прямую MN с прямой СВ, лежащей в той же грани. Прямые пересекаются в точке Х, которая одновременно лежит и в правой грани, и в нижней. Само собой, эта точка лежит и в плоскости сечения. 2) Находясь теперь в нижней грани, пересечём прямые КХ и АВ. Получившаяся точка L лежит как в нижней, так и в левой гранях тетраэдра. Разумеется, она тоже является точкой сечения. 3) Соединим теперь точки N и L в левой грани, а также точки К и М в задней грани. Получившийся четырёхугольник KLNM и есть искомое сечение.
Автор: Ольга Себедаш Просмотров: 64926
Комментарии к этой задаче:
Комментарий добавил(а): Виктория
Дата: 2014-11-23
Спасибо, очень помогли, построила в два счета
Комментарий добавил(а):
Дата: 2018-12-07
«>
10 класс. Геометрия. Тетраэдр. Задачи на построение сечений в тетраэдре. — Тетраэдр. Задачи на построение сечений в тетраэдре.
Комментарии преподавателя
Как построить тетраэдр? Возьмем произвольный треугольник АВС. Произвольную точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника. Получим 4 треугольника. Поверхность, образованная этими 4 треугольниками, и называется тетраэдром (Рис. 1.). Внутренние точки, ограниченные этой поверхностью, также входят в состав тетраэдра.
Рис. 1. Тетраэдр АВСD
Элементы тетраэдра
А, B, C, D – вершины тетраэдра.
AB, AC, AD, BC, BD, CD — ребра тетраэдра.
ABC, ABD, BDC, ADC — грани тетраэдра.
Замечание: можно принять плоскость АВС за основание тетраэдра, и тогда точка D является вершиной тетраэдра. Каждое ребро тетраэдра является пересечением двух плоскостей. Например, ребро АВ – это пересечение плоскостей АВD и АВС. Каждая вершина тетраэдра – это пересечение трех плоскостей. Вершина А лежит в плоскостях АВС, АВD, АDС. Точка А – это пересечение трех означенных плоскостей. Этот факт записывается следующим образом: А = АВС ∩ АВD ∩ АСD.
Тетраэдр определение
Итак, тетраэдр — это поверхность, образованная четырмя треугольниками.
Ребро тетраэдра — линия перечесения двух плоскостей тетраэдра.
Составьте из 6 спичек 4 равных треугольника. На плоскости решить задачу не получается. А в пространстве это сделать легко. Возьмем тетраэдр. 6 спичек – это его ребра, четыре грани тетраэдра и будут четырьмя равными треугольниками. Задача решена.
Дан тетраэдр АВСD. Точка M принадлежит ребру тетраэдра АВ, точка N принадлежит ребру тетраэдра ВD и точка Р принадлежит ребру DС (Рис. 2.). Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNP.
Рис. 2. Рисунок к задаче 2 — Построить сечение тетраэдра плоскостью
Решение:
Рассмотрим грань тетраэдра DВС. В этой грани точки N и P принадлежат грани DВС, а значит, и тетраэдру. Но по условию точки N, P принадлежат секущей плоскости. Значит, NP – это линия пересечения двух плоскостей: плоскости грани DВС и секущей плоскости. Предположим, что прямые NP и ВС не параллельны. Они лежат в одной плоскости DВС. Найдем точку пересечения прямых NP и ВС. Обозначим ее Е (Рис. 3.).
Рис. 3. Рисунок к задаче 2. Нахождение точки Е
Точка Е принадлежит плоскости сечения MNP, так как она лежит на прямой NР, а прямая NР целиком лежит в плоскости сечения MNP.
Также точка Е лежит в плоскости АВС, потому что она лежит на прямой ВС из плоскости АВС.
Получаем, что ЕМ – линия пересечения плоскостей АВС и MNP, так как точки Е и М лежат одновременно в двух плоскостях — АВС и MNP. Соединим точки М и Е, и продолжим прямую ЕМ до пересечения с прямой АС. Точку пересечения прямых ЕМ и АС обозначим Q.
Итак, в этом случае NPQМ — искомое сечение.
Рис. 4. Рисунок к задаче 2.Решение задачи 2
Рассмотрим теперь случай, когда NP параллельна BC. Если прямая NP параллельна какой-нибудь прямой, например, прямой ВС из плоскости АВС, то прямая NP параллельна всей плоскости АВС.
Искомая плоскость сечения проходит через прямую NP, параллельную плоскости АВС, и пересекает плоскость по прямой МQ. Значит, линия пересечения МQ параллельна прямой NP. Получаем, NPQМ — искомое сечение.
Точка М лежит на боковой грани АDВ тетраэдра АВСD. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, которое проходит через точку М параллельно основанию АВС.
Рис. 5. Рисунок к задаче 3 Построить сечение тетраэдра плоскостью
Решение:
Секущая плоскость φ параллельна плоскости АВС по условию, значит, эта плоскость φ параллельна прямым АВ, АС, ВС.
В плоскости АВD через точку М проведем прямую PQ параллельно АВ (рис. 5). Прямая PQ лежит в плоскости АВD. Аналогично в плоскости АСD через точку Р проведем прямую РR параллельно АС. Получили точку R. Две пересекающиеся прямые PQ и РR плоскости РQR соответственно параллельны двум пересекающимся прямым АВ и АС плоскости АВС, значит, плоскости АВС и РQR параллельны. РQR – искомое сечение. Задача решена.
Дан тетраэдр АВСD. Точка М – точка внутренняя, точка грани тетраэдра АВD. N – внутренняя точка отрезка DС (Рис. 6.). Построить точку пересечения прямой NM и плоскости АВС.
Рис. 6. Рисунок к задаче 4
Решение:
Для решения построим вспомогательную плоскость DМN. Пусть прямая DМ пересекает прямую АВ в точке К (Рис. 7.). Тогда, СКD – это сечение плоскости DМN и тетраэдра. В плоскости DМN лежит и прямая NM, и полученная прямая СК. Значит, если NM не параллельна СК, то они пересекутся в некоторой точке Р. Точка Р и будет искомая точка пересечения прямой NM и плоскости АВС.
Рис. 7. Рисунок к задаче 4. Решение задачи 4
Дан тетраэдр АВСD. М – внутренняя точка грани АВD. Р – внутренняя точка грани АВС. N – внутренняя точка ребра DС (Рис. 8.). Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N и Р.
Рис. 8. Рисунок к задаче 5 Построить сечение тетраэдра плоскостью
Решение:
Рассмотрим первый случай, когда прямая MN не параллельна плоскости АВС. В прошлой задаче мы нашли точку пересечения прямой MN и плоскости АВС. Это точка К, она получена с помощью вспомогательной плоскости DМN, т.е. мы проводим DМ и получаем точку F. Проводим СF и на пересечении MN получаем точку К.
Рис. 9. Рисунок к задаче 5. Нахождение точки К
Проведем прямую КР. Прямая КР лежит и в плоскости сечения, и в плоскости АВС. Получаем точки Р1 и Р2. Соединяем Р1 и М и на продолжении получаем точку М1. Соединяем точку Р2 и N. В результате получаем искомое сечение Р1Р2NМ1. Задача в первом случае решена.
Рассмотрим второй случай, когда прямая MN параллельна плоскости АВС. Плоскость МNР проходит через прямую МN параллельную плоскости АВС и пересекает плоскость АВС по некоторой прямой Р1Р2, тогда прямаяР1Р2 параллельна данной прямой MN (Рис. 10.).
Рис. 10. Рисунок к задаче 5. Искомое сечение
Теперь проведем прямую Р1М и получим точку М1. Р1Р2NМ1 – искомое сечение.
Итак, мы рассмотрели тетраэдр, решили некоторые типовые задачи на тетраэдр. На следующем уроке мы рассмотрим параллелепипед.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/parallelnost-pryamyh-i-ploskostej/tetraedr-zadachi-na-postroenie-secheniy-v-tetraedre
http://klassnoedelo.ru/upload/iblock/f85/f85080d0c235f5b9324593b6b675a79f.jpg
http://pandia.ru/text/78/168/23925.php
http://www.metod-kopilka.ru/postroenie_secheniy_tetraedra_i_parallelepipeda.-42512.htm
http://mypresentation.ru/documents/9deb64a47751b0709aa304eacd23cb5f/img18.jpg
http://www.yaklass.ru/p/geometria/10-klass/parallelnost-priamykh-i-ploskostei-10435/tetraedr-i-parallelepiped-11923/re-5d9bd891-c43e-403e-945e-d6be245e2661
Урок 7. тетраэдр и параллелепипед — Геометрия — 10 класс
Геометрия, 10 класс
Урок №7. Тетраэдр и параллелепипед
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
- понятие тетраэдра;
- понятие параллелепипеда;
- свойства ребер, граней, диагоналей параллелепипеда;
- определение сечения в фигуре;
- метод следа.
Глоссарий по теме
Тетраэдр – это многогранник, состоящий из плоскости треугольника и точки не лежащий в этой плоскости, трех отрезков соединяющих эту точку с вершинами основания треугольника.
Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.
Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда.
Сечением поверхности геометрических тел называется – плоская фигура, полученная в результате пересечения тела плоскостью и содержащая точки, принадлежащие как поверхности тела, так и секущей плоскости.
Основная литература:
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Учебник Геометрия 10-11 кл.– М.: Просвещение, 2014.
Дополнительная литература:
Зив Б.Г. Дидактические материалы Геометрия 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.
Глазков Ю.А., Юдина И.И., Бутузов В.Ф. Рабочая тетрадь Геометрия 10 кл.-М.: Просвещение, 2013.
Открытый электронный ресурс:
Решу ЕГЭ. Открытый образовательный портал. https://ege.sdamgia.ru
Теоретический материал для самостоятельного изучения
В дельнейшем несколько уроков нашего курса будет посвящены многогранникам- поверхностям геометрических тел, составленным из многоугольников. Но до более подробного изучения многогранников мы познакомимся с двумя из них- тетраэдром и параллелепипедом. Нам данные тела дадут возможность проиллюстрировать понятия, связанные со взаимным расположением прямых и плоскостей.
Давайте вспомним, что мы понимали под многоугольником в планиметрии. Многоугольник мы рассматривали либо как замкнутую линию без самопересечений, либо как часть плоскости, ограниченную этой линией, включая ее саму.
Мы будем использовать второе толкование многоугольника при рассмотрении поверхностей и тел в пространстве. При таком толковании любой многоугольник в пространстве представляет собой плоскую поверхность.
Давайте рассмотрим изображенную фигуру и ответим на несколько вопросов.
Итак, поверхность данной фигуры состоит из четырёх треугольников DАВ, DВС, DАС и АВС.
Тетраэдр состоит:
- из вершин- их у него 4- А, B, C, D;
- из ребер- их у него 6- AB, BC, AC, AD, BD, CD;
- из граней- их у него 4- треугольники ∆АВС, ∆DАС, ∆DВС, ∆DАВ.
Мы с вами выяснили из элементов состоит наша фигура тетраэдр. Теперь сформулируем определение.
Определение. Тетраэдр – это многогранник, состоящий из плоскости треугольника и точки не лежащий в этой плоскости, трех отрезков соединяющих эту точку с вершинами основания треугольника.
Говорят, что рёбра АD и ВС, АВ и CD, и т.д.- противоположные.
Считается АВС — основание, остальные грани — боковые.
Изображается тетраэдр обычно так (рис. 1).
Рисунок 1 – изображение тетраэдра.
Математика, в частности геометрия, является мощнейшим инструментом в познании мира. Различные геометрические формы находят свое практическое приспособление в различных областях знания: архитектуре, скульптуре, живописи. И тетраэдр тому доказательство. Так же мы можем наблюдать тетраэдр в повседневной жизни (рис. 2).
Форма пакета молока | Архитектурные решения | Солнечные панели |
Рисунок 2 — тетраэдр в повседневной жизни
Параллелепипед.
Прежде чем начать изучать параллелепипед вспомним определение параллелограмма и его свойства.
Определение. Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом (рис. 3).
Рисунок 3 – параллелограмм
Свойства параллелограмма
1. Противоположные стороны параллелограмма равны: AB=DC, BC=AD | |
2. Противоположные углы параллелограмма равны: ∟A=∟C, ∟B=∟D | |
3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам: BO=OD, AO=OC | |
треугольники ABC и CDA равны. | |
| |
6. Накрест лежащие углы при диагонали равны: ∟BAC=∟ACD, ∟BCA=∟CAD |
А теперь перейдем к параллелепипеду.
Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A1B1C1D1, расположенных в параллельных плоскостях так, что отрезки AA1, BB1, CC1 и DD1 параллельны.
АВСDА1В1С1D1 — параллелепипед.
Давайте рассмотрим изображенную фигуру (рис. 4).
Рисунок 4 – параллелепипед и его диагонали
АВСDA1B1C1D1: поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВСD и A1B1C1D1, лежащих в параллельных плоскостях и четырёх параллелограммов.
Все параллелограммы — грани, их стороны — рёбра, их вершины — вершины параллелепипеда.
Считается: АВСD и A1B1C1D1 — основания, остальные грани — боковые.
Определение. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда:
A1C, D1B, AC1, DB1.
Параллелепипед – слово греческого происхождения, параллел – идущий рядом, епипед – плоскость.
Определение.Параллелепипед- этошестигранник с параллельными и равными противоположными гранями.
Следует отметить, что многоугольник в пространстве представляет собой плоскую поверхность, а тетраэдр и параллелепипед – поверхности, составленные из плоских поверхностей (соответственно треугольников и параллелограммов).
Способы изображения параллелепипеда
Параллелепипед, в основании которого лежит ромб | |
Параллелепипед, в основании которого лежит квадрат | |
Параллелепипед,в основании которого лежит прямоугольник или параллелограмм | |
Параллелепипед, у которого все грани — равные квадраты |
Можно сделать вывод, что параллелепипеды делятся на (рис. 5)
Рисунок 5 – виды параллелепипедов
Свойства параллелепипеда
- Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
- Все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
Доказательство 1
В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1грани ВВ1С1С и AA1D1D параллельны (рис. 6), потому что две пересекающиеся прямые ВВ1 и В1С1 одной грани параллельны двум пересекающимся прямым АА1 и A1D1 другой; эти грани и равны, так как В1С1 = A1D1, В1В= А1А (как противоположные стороны параллелограммов) и ∟ ВВ1С1= ∟АA1D1.
Рисунок 6 – чертеж к доказательству свойства 1
Доказательство 2
Возьмём какие-нибудь две диагонали, например АС1 и ВD1, и проведём вспомогательные прямые АD1 и ВС1 (рис. 7).
Так как рёбра АВ и D1С1 соответственно равны и параллельны ребру DС, то они равны и параллельны между собой; вследствие этого фигура АD1С1В есть параллелограмм, в котором прямые С1А и ВD1 —диагонали, а в параллелограмме диагонали делятся в точке пересечения пополам.
Возьмём теперь одну из этих диагоналей, например АС1, с третьей диагональю, положим, с В1D. Совершенно так же мы можем доказать, что они делятся в точке пересечения пополам. Следовательно, диагонали B1D и АС1 и диагонали АС1 и BD1(которые мы раньше брали) пересекаются в одной и той же точке, именно в середине диагонали
АС1. Наконец, взяв эту же диагональ АС1 с четвёртой диагональю А1С, мы также докажем, что они делятся пополам. Значит, точка пересечения и этой пары диагоналей лежит в середине диагонали АС1. Таким образом, все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной и той же точке и делятся этой точкой пополам.
Рисунок 7 – чертеж к доказательству свойства 2
Задачи на построение сечений.
Определение. Сечением поверхности геометрических тел называется — плоская фигура, полученная в результате пересечения тела плоскостью и содержащая точки, принадлежащие как поверхности тела, так и секущей плоскости.
Взаимное расположение многогранника и секущей плоскости:
- Многогранник и плоскость не имеют общих точек.
- Многогранник и плоскость имеют одну общую точку-вершину многогранника.
- Многогранник и плоскость имеют общую грань.
- Многогранник и плоскость имеют общий отрезок-ребро многогранника.
Виды сечений:
- сечение параллельное плоскости основания,
- диагональное сечение,
- сечение, параллельное плоскости грани,
- произвольное сечение.
Фигуры, которые получаются в результате сечения:
- треугольник;
- четырехугольник;
- пятиугольник;
- шестиугольник.
Один из методов построения сечений, который мы рассмотрим- метод следа.
Рассмотрим метод следов, применяемый при построении сечений многогранников, а именно при построении сечения куба плоскостью.
Что такое метод следов? При построении сечений многогранников в качестве вспомогательной прямой часто используется след секущей плоскости (в плоскости грани, удобной для рассмотрения). Такой метод построения сечений называется методом следа.
Задача №1.
Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки P, Q, R (рис. 8).
Решение.
Рисунок 8 –чертеж к задаче №1
- Построим след секущей плоскости на плоскость нижнего основания параллелепипеда. Рассмотрим грань АА1В1В. В этой грани лежат точки сечения P и Q. Проведем прямую PQ.
- Продолжим прямую PQ, которая принадлежит сечению, до пересечения с прямой АВ. Получим точку S1, принадлежащую следу.
- Аналогично получаем точку S2 пересечением прямых QR и BC.
- Прямая S1S2 — след секущей плоскости на плоскость нижнего основания параллелепипеда.
- Прямая S1S2 пересекает сторону AD в точке U, сторону CD в точке Т. Соединим точки P и U, так как они лежат в одной плоскости грани АА1D1D. Аналогично получаем TU и RT.
- PQRTU – искомое сечение.
Основные правила построения сечений методом следа:
- Если даны (или уже построены) две точки плоскости сечения на одной грани многогранника, то след сечения этой плоскости – прямая, проходящая через эти три точки.
- Если дана (или уже построена) прямая пересечения плоскости сечения с основанием многогранника (след на основании) и есть точка, принадлежащая определенной боковой грани, то нужно определить точку пересечения данного следа с этой боковой гранью ( точка пересечения данного следа с общей прямой основания и данной боковой грани)
- Точку пересечения плоскости сечения с основанием можно определить как точку пересечения какой-либо прямой в плоскости сечения с ее проекцией на плоскость основания.
То есть, суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры.
Задача №2.
Дан тетраэдр АВСD. Точка М – точка внутренняя, точка грани тетраэдра АВD. N – внутренняя точка отрезка DС. Построить точку пересечения прямой NM и плоскости АВС.
Рисунок 9 – чертеж к задаче №2
Решение:
Для решения построим вспомогательную плоскость DМN (рис. 10). Пусть прямая DМ пересекает прямую АВ в точке К. Тогда, СКD – это сечение плоскости DМN и тетраэдра. В плоскости DМN лежит и прямая NM, и полученная прямая СК. Значит, если NM не параллельна СК, то они пересекутся в некоторой точке Р. Точка Р и будет искомая точка пересечения прямой NM и плоскости АВС.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример 1.
Дан тетраэдр АВСD. М – внутренняя точка грани АВD. Р – внутренняя точка грани АВС. N – внутренняя точка ребра DС. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N и Р.
Решение:
Рассмотрим первый случай, когда прямая MN не параллельна плоскости АВС (рис. 11). В прошлой задаче мы нашли точку пересечения прямой MN и плоскости АВС. Это точка К, она получена с помощью вспомогательной плоскости DМN, т.е. мы проводим DМ и получаем точку F. Проводим СF и на пересечении MN получаем точку К.
Проведем прямую КР. Прямая КР лежит и в плоскости сечения, и в плоскости АВС. Получаем точки Р1 и Р2. Соединяем Р1 и М и на продолжении получаем точку М1. Соединяем точку Р2 и N. В результате получаем искомое сечение Р1Р2NМ1. Задача в первом случае решена.
Рисунок 10 – чертеж к примеру 1 (первый случай)
Рассмотрим второй случай, когда прямая MN параллельна плоскости АВС (рис. 12). Плоскость МNР проходит через прямую МN параллельную плоскости АВС и пересекает плоскость АВС по некоторой прямой Р1Р2, тогда прямая Р1Р2 параллельна данной прямой MN.
Теперь проведем прямую Р1М и получим точку М1. Р1Р2NМ1 – искомое сечение.
Рисунок 11 – чертеж к примеру 1 (второй случай)
Пример 2.
Через середины ребер АВ и ВС тетраэдра SABC проведена плоскость параллельно ребру SB. Докажите, что эта плоскость пересекает грани SAB и SBC по параллельным прямым.
Доказательство
Плоскость SBC и плоскость, проходящая через прямую MN параллельно ребру SB, пересекаются по прямой, проходящей через точку N (рис. 13).
По теореме (о параллельных прямых) линия пересечения параллельна SB.
В плоскость SBC через т. N проходит NQ||SB.
Плоскость SAB и плоскость MNQ пересекаются по прямой, проходящей через т. M (прямая MP). По теореме (о параллельных прямых) линия пересечения параллельна SB.
следовательно, PM||NQ.Утверждение доказано.
Рисунок 12 — чертеж к примеру 2
Конспект урока по теме «Тетраэдр»
Геометрия, 10 Дата: 20.11.2017 Учитель: Чакал Э.М,
Урок № 19
АНАЛИЗ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ.
ТЕТРАЭДР
Основная дидактическая цель – сформировать представление о геометрическом теле– тетраэдре; познакомить учащихся с основными элементами и способами заданий тетраэдра, а также его использование при решении задач.
Задачи:
Образовательные:
ввести понятие тетраэдра;
проиллюстрировать изученные понятия, связанные со взаимным расположением прямых и плоскостей на примере тетраэдра;
рассмотреть задачи связанные с тетраэдром;
умением владеть символическим языком.
развивающая
развить самостоятельную познаваемость, творческую активность;
логическое, пространственное, визуальное т.п. мышление;
геометрическую интуицию на образы, свойства, методы построения.
воспитательная
воспитывать интерес к математике,
самостоятельность;
уважение друг к другу при работе в группе.
Тип урока: введение нового материала
Оборудование: раздаточный материал
Ход урока
1. Организационный момент.
2.Мотивация урока
Среди занимательных задач есть такая: Из 6 спичек сложите 4 треугольника так, чтобы каждая сторона была одна спичка. У вас на столах лежат 6 спичек. Попробуйте и вы решить эту задачу. (Работа в парах)
С этой фигурой мы уже встречались на уроках геометрии. Как называется фигура?
(Тетраэдр)
Значит тема урока Тетраэдр.
Ребята, какие новые понятия и элементы вы бы хотели бы узнать об этой фигуре?
— Почему он называется тетраэдром?
— Какие элементы мы будем в нем изучать?
-Какую роль он играет в математике? И т.д.
Ребята, вы сами сейчас поставили цель нашего сегодняшнего урока: Дать понятие тетраэдра, элементов тетраэдра, значимость этой фигуры в геометрии.
Глядя на нашу фигуру, давайте мы с вами вместе постараемся выяснить из чего он состоит.
3. Актуализация опорных знаний.
Мы решим несколько несложных задач, предлагаемых учащимся при сдаче выпускного экзамена в форме ЕГЭ,
Задача 1.
Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен 30°.
Задача 2.
Сумма двух углов треугольника и внешнего угла к третьему равна 40°. Найдите этот третий угол. Ответ дайте в градусах.
Задача 3.
Площадь треугольника ABC равна 4. DE— средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.
Задача 4.
Площадь треугольника равна 54, а его периметр 36. Найдите радиус вписанной окружности.
4. Изучение нового материала.
Изучая фигуры в пространстве необходимо составить план изучения этой фигуры. На доске прикреплены этапы изучения темы. (Определение, свойства, элементы, обозначения, чертеж) Слова заданы без определенного порядка. Необходимо составить план. Как вы думаете каков он может быть?
Используя план, составленный вами, начнем изучение нового понятия.
Работа в группах:
На столах у учащихся листы с таблицей
Инструкция к работе:
I. Составить истинные высказывания:
1. Тетраэдр– это…
2.Элементы тетраэдра:
Грани тетраэдра – это…
Ребра — …
Вершины тетраэдра – это…
Противоположные ребра тетраэдра – это…
Основание тетраэдра, боковые ребра тетраэдра…
II. Изображение тетраэдра (различные способы)
III. Обозначение тетраэдра (два примера)
Отчет о работе групп
Первая группа – определение тетраэдра.
Вторая группа – элементы тетраэдра
Третья группа – Изображение тетраэдра
Четвертая группа – Обозначение (в сопровождении с изображением)
5. Сообщение учащихся
Математика, в частности геометрия, является мощнейшим инструментом в познании мира. Различные геометрические формы находят свое практическое приспособление в различных областях знания: архитектуре, скульптуре, живописи. Сообщение ученика «Тетраэдр в деятельности человека».
6 Гимнастика для глаз.
7. Решение задач
1) Изучение этого многогранника даст возможность проиллюстрировать понятия, связанные со взаимным расположением прямых и плоскостей в пространстве.
Решим следующие задачи устно
Задача 1: Ответьте на вопросы слайда:
Какого взаимное расположение прямой МN и плоскости АВС?
Какого взаимное расположение прямой МN и прямой ЕС?
Какого взаимное расположение прямой МN и прямой АF?
2) Решение задачи
В тетраэдре DАВС дано угол АDВ = 300, угол ВDС = 600, угол СDА = 900, DА = 20 см, ВD = 21 см, DС = 18 см. Найдите площади всех боковых граней.
8. Тест (контроль первичных знаний)
Вариант 1
1) Тетраэдр — поверхность, составленная из…
А) 4 треугольников Б) 3 треугольников
В) 5 треугольников Г) 4 четырехугольников
2) Концы ребер многоугольника называют….
А) грани б) ребра в) вершины г) диагонали
3) В тетраэдре МРКС треугольник РКС является:
А) боковой гранью: Б) ребром; В) основанием; Г) вершиной.
4) Какого взаимное расположение прямой ЕС и плоскости (МКР)
А) пересекаются, Б) параллельны, В) прямая принадлежит плоскости, Г) скрещиваются
5) Решите задачу: Все ребра тетраэдра SABC равны, точка L — середина ребра AC, S — вершина. Известно, что BC = 6, а SL = 5. Найдите площадь всех боковых граней тетраэдра.
А) 90; Б) 36; В) 45; Г) 150.
Поставьте оценку.
9. Подведение итогов урока
О каком многограннике сегодня шла речь. Что нового вы узнали о нем?
10.Домашнее задание:
I уровень – п. 12, № 66, 67 (б).
II уровень – п. 12, № 67(а, б).
11. Оценивание
12.Рефлексия.
Продолжите предложения:
Сегодня на уроке я ….
Мне было интересно …(делать)…
У меня хорошо получилось …/У меня не получилось …
Урок по теме «Тетраэдр. Построение сечений.»
План-конспект урока 10 класс
Тема: Тетраэдр. Построение сечения тетраэдра
Цели:
Образовательные
ввести понятия тетраэдра;
проиллюстрировать изученные понятия, связанные со взаимным расположением прямых и плоскостей на примере тетраэдра;
организовать работу учащихся по выработке умения строить сечения тетраэдра
Развивающие
развитие у обучающихся умений сопоставлять, анализировать;
выделять главное, обобщать, формулировать выводы;
развитие пространственного воображения.
Воспитание познавательной активности, умений самостоятельно добывать знания;
формирование культуры общения и умственного труда
Тип урока: Урок усвоения нового материала
Вид урока: комбинированный урок
Форма урока: индивидуальная, фронтальная, групповая
Оборудование: Мультимедийный проектор, доска, модели тетраэдра, школьные принадлежности, ПК
План урока
Организационный момент.(2 мин.)
Проверка домашнего задания.(5 мин.)
Изложение нового материала.(18-20 мин.)
Закрепление изложенного материала.(10-12мин.)
Постановка домашнего задания.(1 мин.)
Подведения итогов,выставление отметок.(2 мин.)
Ход урока
Организационный момент
Приветствие, проверка готовности к уроку.
Древняя китайская пословица
«Скажи мне – и я забуду.
Покажи мне – и я запомню.
Вовлеки меня – и я научусь.»
Проверка домашнего задания
предлагается вспомнить изученный материал о параллельных плоскостях, параллельности прямой и плоскости.
Подготовка к восприятию нового материала.
Учащимся предлагается ответить на вопросы:
(слайды с ответами, комментариями)
(слайд 3)Верно ли, что если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны 2-м прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны? (Да. Признак параллельности двух плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны).
(слайд 4)
Верно ли утверждение: если две прямые не имеют общих точек, то они параллельны?
(Нет. Если две прямые не имеют общих точек, то они могут быть скрещивающимися)
3.(слайд 5-6)Хорда окружности принадлежит плоскости. Верно ли утверждение, что и вся окружность лежит в этой плоскости?
(Нет, хорда АВ принадлежит плоскости, окружность не принадлежит данной плоскости)
(слайд 7)
Две прямые параллельны одной плоскости. Можно ли утверждать, что эти прямые параллельны? (Нет. Это могут быть скрещивающиеся прямые)
5 . (слайд 8)Прямая пересекает плоскость. Можно ли в плоскости провести прямую, параллельную данной прямой? (Нет, Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.)
(слайд 9) Что такое многоугольник? (1)фигура, составленная из отрезков; 2)часть плоскости, ограниченная линией.)
Изучение нового материала.
Одна из глав нашего курса будет посвящена многогранникам – поверхностям геометрических тел, составленным из многоугольников.
Но ещё до подробного изучения многогранников сегодня мы познакомимся с одним из них – тетраэдром. Это даст нам возможность проиллюстрировать понятия, связанные со взаимным расположением прямых и плоскостей на примере этих двух геометрических тел.
Сегодня мы рассмотрим один из них, это тетраэдр.
(слайд 10) Рассмотрим произвольный треугольник АВС и точку Д, не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединив точку Д отрезками с вершинами треугольника АВС, получим фигуру, которую назовём тетраэдром.
(слайд 11) Название этого многогранника пришло из Древней Греции, и в нём указывается число граней: «тетра» — 4 «эдра» — грань
(слайд 12)Тетраэдр является одним из правильных многогранников, которые мы рассмотрим на дальнейших наших уроках.
(слайд 13) Правильные многогранники иногда называют платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном жившим около 348 г до нашей эры.
Платоновыми телами являются:
(слайд 14) Гексаэдр, Тетраэдр, Октаэдр, Икосаэдр, Додекаэдр.
(слайд 15) Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» — огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников, где Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у пламени.
(слайд 16) В жизни мы встречаемся с тетраэдром например в химии
Молекула метана СН4 имеет форму правильного тетраэдра. Этот факт подтверждается фотографиями молекулы метана, полученными при помощи электронного микроскопа.
Чтобы дать определение тетраэдра введём некоторые геометрические понятия.
(слайд 17)
Плоскость тела – грань
Прямая пересечения плоскостей – ребро
Точка пересечения прямых – вершина
У меня на столе имеются различные геометрические тела и сейчас представитель каждой парты выберет среди них тетраэдр, будьте внимательны.
Выбрали все верно хотя у меня на столе была фигура очень похожая на тетраэдр, но имеет она в основании другой многоугольник, это пирамида.
(слайд 18) Сейчас в тетради запишите число, тему «Тетраэдр. Сечение тетраэдра», и сделаем практическую работу
Рассмотрите пожалуйста геометрическое тело внимательно и запишите в тетрадях следующие данные:
(Слайды19-22) Сколько у тетраэдра вершин, граней, и рёбер?
Какими геометрическими фигурами являются грани?
Давайте самостоятельно дадим определение тетраэдра.
(слайд 23) обобщим определение тетраэдра.
Тетраэдр – поверхность, составленная из четырех треугольников (DABC). Треугольники, из которых состоит тетраэдр называются гранями ADB, ADC, BCD, ABC, их стороны – ребрами AD, BD, DC, AC, AB, BC, вершины – вершинами тетраэдра D, A, B, C.
Тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины.
Одну грань ABC называют основанием, а три другие – боковыми гранями.
Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположенными( назвать самостоятельно по рисунку )
Как же на плоскости изобразить объемную фигуру, такую как тетраэдр?
(слайд 24 )
1. Строим основание в виде разностороннего треугольники
2. Ставим точку вне плоскости основания.
Соединяем вершины треугольника отрезками с этой точкой.
Видимые линии — сплошные
Не видимые – пунктиром
Обозначение тетраэдра начинают с вершины: DABC; SABC.
Сейчас в тетрадях начертите любой тетраэдр и обозначьте его: МКРА
Какой треугольник является основанием? Какая точка – вершина?
А сейчас рассмотрим задачи связанные с тетраэдром.
Мы рассмотрим с вами построение сечения в тетраэдре
Что же такое сечение?
Сечение-это изображение предмета мысленно пересеченное плоскостью или несколькими плоскостями.
Что же такое сечение тетраэдра?
• Многоугольник, сторонами которого являются отрезки по которым секущая плоскость пересекает грани тетраэдра называется сечением тетраэдра
(слайд 25) Какими многоугольниками могут быть сечения?
Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть треугольники, четырёхугольники
Чтобы начать строить сечения мы должны с вами вспомнить некоторые геометрические утверждения
(слайд 26)
ПАМЯТКА
Соединять можно только две точки, лежащие в плоскости одной грани.
Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам.
Если в плоскости грани отмечена только одна точка, принадлежащая плоскости сечения, то надо построить дополнительную точку. Для этого необходимо найти точки пересечения уже построенных прямых с другими прямыми, лежащими в тех же гранях.
4.Закрепление изученного материала
(слайды 27-33) Практическая работа: Построение сечения.
№1 Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M,N,K
№2. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки E, F, K.
№3. На ребрах AC, AD, DB тетраэдра – DABC. Отмечены точки M,N,P. Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP.
№4. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки E, F, K.
(Слайд 34) ИТОГ УРОКА:
О каком многограннике шла речь сегодня на уроке?
Какие задачи мы научились сегодня решать?
Какие действия должен уметь выполнять ученик для построения сечений многогранников? (находить точки пересечения прямой и плоскости; строить линию пересечения двух плоскостей)
5: Домашнее задание:
Стр 24-29
П.12, 14
1) Выполнить задания по построению сечения тетраэдра (по карточкам).
2) Творческое задание (по желанию): изготовить бумажную модель тетраэдра
6. Подведение итогов, выставление отметок
Обобщение нового материала. Есть вопросы по пройденной теме? Сообщаются оценки учащимся.
равнобедренный тетраэдр — это … Что такое равнобедренный тетраэдр?
Tetrahedron — Для академического журнала см. Tetrahedron (журнал). Правильный Тетраэдр (Щелкните здесь, чтобы повернуть модель) Тип Платоновые твердые элементы Элементы F = 4, E = 6 V = 4 (χ = 2) Грани s… Wikipedia
Выпуклые однородные соты — Чередующиеся кубические соты — одна из 28 пространственных однородных мозаик в пространстве Евклида 3, состоящих из чередующихся желтых тетраэдров и красных октаэдров.В геометрии выпуклые однородные соты представляют собой однородную мозаику, заполняющую три… Wikipedia
Теорема Пифагора — См. Также: тригонометрическое тождество Пифагора Теорема Пифагора: сумма площадей двух квадратов на катетах (a и b) равна площади квадрата на гипотенузе (c)… Википедия
Додекаэдр — Правильный додекаэдр (Нажмите здесь, чтобы вращаться модель) Тип Платоновые твердые тела Элементы F = 12, E = 30 V = 20 (χ = 2) Грани по сторонам 12 {5}… Wikipedia
Octahedron — Альбом The Mars Volta см. Octahedron (альбом).Правильный октаэдр (Щелкните здесь, чтобы повернуть модель) Тип Платоновые твердые элементы Элементы F = 8, E = 12 V = 6 (χ = 2) Грани по сторонам… Wikipedia
Дисфеноидные тетраэдрические соты — Тип выпуклые однородные соты двойные Дисфеноидные тетраэдры сотового типа… Википедия
Антипризма — n-сторонняя антипризма — это многогранник, состоящий из двух параллельных копий некоторого n-стороннего многоугольника, соединенных чередующейся полосой треугольников.Антипризмы являются подклассом призматоидов. Антипризмы похожи на призмы, за исключением оснований… Wikipedia
Список многоугольников, многогранников и многогранников — это список многоугольников, многогранников и многогранников на странице Википедии. См. Также список правильных многогранников, список тем по геометрии. * 10-гранные кубики * 24 ячейки * 600 ячеек * 120 ячеек * Антипризма * Архимедово твердое тело * Бипирамида * Каталонское твердое тело * Чилиагон…… Википедия
Золотое сечение — Об альбоме Ace of Base см. Золотое сечение (альбом).Не путать с золотым числом. Золотое сечение — это отрезок прямой, разделенный согласно золотому сечению: общая длина a + b равна длине более длинного отрезка a, поскольку…… Wikipedia
Проблема с упаковкой — Часть серии статей о головоломках… Википедия
Прямоугольник — Семейство ортотопов Четырехугольные ребра и вершины 4 символ Шлефли {} x {}… Wikipedia
tetrahedron.org Home — tetrahedron.org
Согласно последней из шестнадцати книг доктора Горовица, самый известный рисунок да Винчи, «Витрувианский человек», представляет собой криптограф, обеспечивающий «божественное направление» для развития технологий, имеющих решающее значение для эволюции цивилизации.Фактический код, который пробудил творческий гений да Винчи, не упомянутый в «Коде да Винчи» Дэна Брауна или фильме Рона Ховарда, представляет собой набор математико-музыкальных нот, чисел и символов, который возвещает способность цивилизации к общению между Богом и человеком.
Настоящий секретный код также направляет развитие новых технологий, которые могут достичь самых удивительных и желаемых результатов в искусстве и науке для физического спасения и духовного развития человечества.
ЛЮБОВЬ Настоящий код да Винчи дает беспрецедентное понимание перевернутых писем Да Винчи, шифрования записных книжек и знаменитого витрувианского рисунка, который стал символом естественной жизни и целостных лечебных движений.
«Христианская полемика», бушующая вокруг «Кода да Винчи», подтверждается этими новыми открытиями, по словам доктора Дж.Горовица, чтобы быть «поверхностным отвлечением от освободительных истин, которые да Винчи зашифровал для защиты человечества и духовного развития».
Историческая презентация перед Американской ассоциацией врачей-натуропатов доктора Горовица, автора более 15 книг, в том числе национального бестселлера «Новые вирусы: СПИД и лихорадка Эбола — природа, случайность или преднамеренность?».В этой захватывающей презентации доктор Леонард Горовиц рассказывает о своих более чем десятилетних исследованиях, свидетельствующих о том, что гнусное возня с биологией микробов, растений, животных и человека, подобающее массовому заговору с целью поставить прибыль выше людей и контроль над населением, а не сострадательную медицину.Доктор Горовиц представляет убедительное доказательство того, что самая могущественная отрасль на земле — нефтехимический и фармацевтический картель — при помощи коррупции, жадности и некомпетентности государственных чиновников, научных организаций и академических учреждений серьезно угрожает жизни и здоровью бесчисленных форм. на этой химически и фармацевтически осажденной планете. Как указано в его национальном бестселлере (цитируемом выше) и в его научном тексте «ДНК: Пираты Священной спирали» (Tetrahedron; 1-888-508-4787), Dr.Горовиц документирует искусственные источники самых смертоносных вирусов и катастрофических болезней в мире. Он свидетельствует, чего еще никто не делал, академических и политических злоупотреблений и мошенничества в области общественного здравоохранения и современной медицины, от которых страдает население мира. Фактически, массовые убийства и ранения людей из-за зараженных вакцин, отравленных запасов крови, вредных лекарств, отравленной воды, загрязненных дыхательных путей, опасных химикатов и генетически модифицированных продуктов лучше всего определить как геноцид, поскольку все это проводится и рационализируется для прибыль и политическая целесообразность.Примеры, приведенные доктором Горовицем в этой исторической лекции, включают: происхождение СПИДа от корпоративных лабораторий до американцев-геев и чернокожих африканцев с помощью экспериментальных вакцин против гепатита B, введенных в начале 1970-х годов; взрывной рост заболеваемости раком, который был предсказан и ускорен из-за безрассудной безответственности чиновников здравоохранения, защищающих свои рабочие места и гранты; мошенничества с сердечно-сосудистыми заболеваниями, совершаемые в отношении ничего не подозревающих и плохо образованных масс; беспрецедентные новые гриппоподобные заболевания с участием военных лабораторий, созданных для получения прибыли и контроля населения; новые иммунодепрессивные микробы и химические сопутствующие факторы разработаны и выпущены, чтобы вызвать болезни, подобные войне в Персидском заливе, задолго до первого иракского вторжения; и диабетические пандемии, связанные с производством инсулина с помощью генетически модифицированных дрожжей, распространяются в окружающей среде и через наши текущие запасы продуктов питания.Доктор Горовиц приводит эти и другие примеры как настоятельный призыв к возвращению к научной целостности и человеческому здравомыслию в этом графическом и не имеющем аналогов DVD с лекциями.
Описание: Эта монументальная книга, основанная на новейших научных достижениях, рассматривает как использование ДНК, так и злоупотребления ею — «Священная спираль». Собранные здесь потрясающие доказательства доказывают, что ДНК является природным приемником биоакустической и электромагнитной (то есть «духовной») энергии, преобразователем сигналов и квантовым передатчиком звука и света. Другими словами, биоэнергетика генетики ускоряет жизнь.Эти научные открытия приносят расширенный духовный смысл жизни, физическому воплощению и даже эволюции. Тем не менее, ведущие генетики предпочитают хранить в секрете эти возвышающие и освобождающие истины. Печально известные ненадежные «пираты генома человека» действуют тайно, контролируя генетические патенты, побочные технологии и распространение общественной информации. Имея за спиной самый могущественный в мире банковский и фармацевтический картель, они теперь контролируют судьбу цивилизации. Величайший риск манипуляции и угрозы исчезновения находится под рукой.Поскольку человечество балансирует на грани беспрецедентного ДНК-опосредованного духовного восхождения или полного порабощения, если не исчезновения, утверждает отмеченный наградами автор и эксперт по общественному здравоохранению доктор Леонард Горовиц, эта захватывающая проза обеспечивает решающее направление для физического и духовного спасения человечества.Эта книга предлагает революционно новые взгляды на возникающие генетические исследования, согласующиеся с широко засекреченной наукой и священными духовными знаниями. Главы, включенные в этот метафизический научно-популярный триллер, включают обсуждения электрогенетики, квантовой физики, биоголографии, человеческого сознания и даже духовной динамики для выполнения неотложной миссии: пробудить человечество к высочайшим уровням осознания рисков и ответственности за судьбу нашей планеты. .
Доктор Леонард Горовиц дает беспрецедентный взгляд на технологию Создателя. Он обнаруживает убедительные научные доказательства вашего духовного существования и дает практические советы для вашего успеха как могущественного со-творца. Научитесь быть открытым сердцем, получить оптимальные благословения, руководствоваться и защищаться от Бога по мере того, как драматические изменения происходят во всем мире. В этой вдохновляющей духовной книге вы будете прославлять и вносить весомый вклад в духовное возрождение, поскольку современная жизнь трансформируется во всем мире, и такие люди, как вы, вносят свой вклад в подготовку к тысячелетнему миру во всем мире.Если вы интересуетесь альтернативной медициной, метафизикой, музыкой, простой математикой, пением или молитвой, доктор Горовиц поделится отличными новостями. «Хождение по воде» «открывает двери, которые никто не может закрыть» относительно вашей духовности, единства с Божественной семьей и важности вашей семьи и сообщества для личного развития, духовной эволюции и спасения планеты. ЭТА КНИГА МОНУМЕНТАЛЬНО ПРЕДСТАВЛЯЕТ МУДРОСТЬ «ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОГО ДИЗАЙНА» В ОТНОШЕНИИ БЕЗУМИЯ ХИМИЧЕСКОЙ ТОКСИЧНОСТИ, ФАРМАЦЕВТИЧЕСКОГО КОЛЛЕКЦИИ И ЭВОЛЮЦИИ ВИДОВ.
После террористических атак на Америку 11 сентября 2001 года и ожидаемого принятия «Закона о сохранении космического пространства 2002 года» (H.R. 3616) этот шедевр с пророческим названием ОБЯЗАТЕЛЬНО И СРОЧНО ПРОЧИТАЙТЕ! Предоставляя вам полную предысторию и полную картину того, кто финансирует глобальные террористические организации и космическое оружие, и для каких демонических целей, последняя книга доктора Горовица может помочь спасти планету и миллионы жизней. Вышедший в июне 2001 года предсказания отмеченного наградами автора сбылись.Скоро наступит биологическая война, рост числа глобальных эпидемий, ядерных угроз, более масштабных засух и землетрясений, а также технологии контроля населения, действующие из космоса и эффективные вне ваших самых диких кошмаров. Будете ли вы подготовлены с интеллектом, необходимым вам и вашим близким, чтобы выжить? Для новичков эта книга — ускоренный курс и проверка реальности. Для опытных любителей подготовки и заговоров вот ваш следующий уровень, срочные уроки и потрясающая документация! Опять же, этот интеллект может иметь решающее значение для физического и духовного выживания вашей семьи.Закажи сейчас!
.