Лягушата-программисты и арифметика матриц « Папа Карп
Матрицы и операции с ними обычно проходят лишь в вузах. Но самые начальные вещи легко объяснить даже маленькому ребенку.
Зачем это делать? Ну, хотя бы чисто для интереса…
Кроме того, отработка счета с использованием матриц – это более многогранный процесс, чем обычное решение примеров и задач. В матрицах важны не только сами числа, но и место каждого числа в общей пространственной структуре – за этим приходится тоже внимательно следить.
Данная статья написана в форме сказки. Вы можете опираться на нее – читая детям или пересказывая, добавляя детали и подробности, сюжетные повороты, новых героев, диалоги, эмоции, динамику, рисунки…
Картинки отсюда вполне могут быть использованы и непосредственно в занятиях с детьми. Но, конечно, имеет смысл рисовать и много других картинок – на основе приведенных здесь образцов, уже с учетом реалий конкретно ваших сказочных уроков.
Есть и другой вариант: вы просто используете общую идею тренинга с помощью матриц – модернизируя ее на свой лад, в какой-то совершенно иной манере.
Итак, жили-были лягушата – веселые, бодрые и любопытные. И захотелось им стать программистами. Начали они тогда спрашивать всех взрослых лягушек и жаб, как лучше подготовиться к этой профессии.
И одна опытная и умная жаба им посоветовала: “Начните с изучения матриц”.
Лягушата почитали книжки по истории математики и узнали, что матрицы известны с древних времен. Их используют много где: и при решении больших систем уравнений, и в описаниях физических законов, и на складах товаров…
Но особенное значение они приобрели с появлением компьютеров – так как их очень удобно использовать в программировании.
Так что же такое матрица?
В математике матрица – это любая прямоугольная таблица чисел. Например, вот такая.
Здесь у каждого числа – свое место.
Принято сначала называть номер строки (считая сверху вниз), а потом номер столбца (считая слева направо).
Обычно по бокам матрицы рисуют скобки – чтобы показать, что это не просто отдельные числа, а именно их совокупность, что вся данная таблица представляет собой единую конструкцию.
Иногда числа размещают в квадратиках или в кружочках, или еще как-то.
Элементы матрицы, конечно, могут быть абсолютно любыми. Но для маленьких лягушат, которые хотят стать программистами, удобнее использовать целые положительные числа, причем не очень большие.
Для начала лягушата просто привыкли к такой картинке. И научились понимать про каждое число, как описать его место – используя нумерацию строк (сверху вниз) и столбцов (слева направо).
Например, здесь число 15 расположено во второй строке и в третьем столбце. А число 22 размещено в четвертой строке и в первом столбце.
Потом лягушата добыли специальную книжку по математике и стали ее читать, разглядывая картинки.
Оказалось, что матрицы бывают очень разные…
В частности, встречаются и вот такие – низенькие и длинные. И даже всего из одной строки чисел.
Разумеется, матрицы, состоящие всего из одного столбца, тоже бывают. Я здесь для примера изобразил как раз такую.
Лягушата ее внимательно рассматривают. Им все ясно. Что ж тут сложного?
Какими операциями с матрицами должен овладеть начинающий программист?
Например, надо уметь находить в каждом столбце самое большое число и самое маленькое число.
И для каждой строки тоже, конечно, нужно уметь это делать.
А еще программист должен уметь подсчитать общую сумму чисел в столбце или в строке.
Если матрица квадратная (столбцов и строк одинаковое количество), то нужно уметь находить самый большой (или самый маленький) элемент и для главной диагонали. Она проходит наискосок из левого верхнего угла в правый нижний угол.
Да еще и сумму элементов главной диагонали бывает необходимо вычислить.
Вообще-то диагоналей тут две, ясное дело. Но главной называют одну из них. Почему? Потому что на ней расположены элементы, у которых номер строки и номер столбца одинаковы. Это бывает важно в некоторых задачах.
А вторая диагональ не так интересна обычно. Поэтому про нее реже вспоминают.
Здесь лягушонок как раз собрался подсчитать сумму элементов главной диагонали. И сделал это.
Конечно, любой уважающий себя программист сумеет увеличить все числа в матрице на какую-то одну величину.
Например, на число 1.
Посмотрите, как легко получилось.
Да и уменьшить все элементы матрицы на одно и то же число – нетрудная операция.
Каждый программист это запросто сделает!
Но самое интересное – складывать матрицы!
Для этого они должны быть одинакового размера. То есть в них должно быть одинаковое количество строк и одинаковое количество столбцов.
Как происходит сложение матриц?
Надо складывать соответственно расположенные элементы.
То есть надо складывать числа, расположенные в обеих матрицах на одинаковых местах. И результат этого сложения надо записывать на такое же место в ответе.
Посмотрите, как умный лягушонок ловко складывает матрицы. Он сделал это верно! Потому что действовал внимательно и аккуратно! Но вы все-таки его проверьте.
Если две матрицы можно сложить, то, конечно же, можно и вычесть одну матрицу из другой. Опять же, для этого они должны быть одинакового размера.
Если использовать небольшие целые числа, то вычитать матрицу из матрицы – одно удовольствие!
Маленький лягушонок-программист, как видите, прекрасно справился с этой задачей.
Следующий шаг – научиться умножать матрицу на число. Или число умножать на матрицу.
Догадываетесь, как это сделать?
Думаю, что вы догадались. Надо каждый элемент исходной матрицы умножить на это самое число.
Лягушата тоже сообразили, что надо делать именно так. И решили пример верно.
Можно ли разделить матрицу на число?
Да, конечно.
Но для маленьких лягушат лучше подобрать такую исходную матрицу, чтобы все элементы в ней нацело делились на данное число.
Скажем, изначально была у нас матрица только из четных чисел…
Но дело еще и в эстетике!
Матрица обладает пропорциями, красотой, изяществом. Она может быть очень по-разному нарисована. В ней есть место для нюансов дизайна и даже для художественного творчества…
Поэтому лягушата захотели научиться рисовать красивые матрицы.
Сначала они использовали бумагу в клеточку. А затем перешли на обычные листы – чтобы получалось более художественно, чтобы лучше ощущать гармонию пространственного расположения чисел. И даже стали использовать цветные карандаши, фломастеры и краски!
А что делать, если вместо одного из элементов матрицы вдруг встречаем смайлик? Как вы думаете?
Лягушонок догадался: надо вместо смайлика подставить число – чтобы пример получился верным.
Весьма похоже на первые опыты с решением уравнений, правда?
Потом тот же лягушонок сам придумал большой пример с матрицами, где было много разных смайликов.
“Для каждого смайлика буду подбирать такое число, чтобы все получалось верно”, – так он рассуждал.
А потом долго решал эту сложную задачу…
Но в конце концов лягушонок справился!
Молодец!
А вы сумеете догадаться, какое число надо подставить на место каждого из смайликов? Трудно, конечно… Но вы все-таки попробуйте.
Ясное дело, еще очень-очень важна тренировка!
Ведь тут уже не только обычное решение примеров по математике, к которому маленькие лягушата привыкли на уроках.
А получается еще и дополнительная особая практика: надо внимательно учитывать расположение чисел в таблице, надо учиться быть аккуратным – как и положено настоящему программисту!
Водить пальцами по матрицам – это совершенно нормально и правильно, это предохраняет от ошибок! А зачем нам ошибки в программном коде? Нам такие ошибки не нужны!
Поэтому лягушата стали много и по-разному тренироваться с матрицами.
Иногда они просили взрослых лягушек и жаб рисовать задания. А иногда сами их придумывали.
Пробовали лягушата использовать и отдельные карточки с числами – складывая из них большие или маленькие матрицы. Кто-то делал такие карточки круглыми, а кто-то – прямоугольными…
Самое главное, что все лягушата быстро поняли: использование матриц и действий с ними – прекрасный способ сделать изучение математики интереснее, эффективнее и многограннее.
Методика очевидна и проста. Надо добавить лишь немного фантазии и тщательно подбирать степень сложности заданий – с учетом индивидуальных вкусов и умений маленьких лягушат.
Разумеется, начинать можно вообще с очень-очень простых матриц. Например, вот таких.
Но как связано все это с реальной жизнью?
Где в окружающем мире мы видим ситуации, когда нам удобно записывать числа именно в виде прямоугольных таблиц?
“Возможно, с данного обсуждения и надо начинать разговоры и сказки о матрицах… ” – задумчиво молвила умная взрослая жаба.
Лягушата поразмышляли немного, поглядели по сторонам и предложили: “Проще всего – образ склада из стоек и полок. Или ящики рядами в шкафу”.
Что находится в тех ящиках и на тех полках?
Может, там разложены яблоки? Или слитки золота? Или очень вкусные конфеты? Или детские мячики?..
Как нарисовать матрицу, соответствующую вот такому стеллажу?
Да очень просто!
Как видите, лягушонок уверенно справился с данной задачей.
Лягушатам понравилось использовать сказочные картинки в занятиях. Это совершенно естественно для любого маленького программиста. И особенно в такой непростой теме, которая требует абстрактного логического мышления в пространстве.
Скажем, здесь лягушонок наблюдает за веселыми гусеницами с воздушными шариками. И рисует соответствующую матрицу.
Каждый элемент данной матрицы – это количество шариков у гусеницы, которая расположена на соответствующем месте.
А что будет, если каждой из них подарить еще по два воздушных шарика? Как тогда изменится таблица чисел? А если у одной гусеницы лопнет один шарик?
Маленькие лягушата и взрослые лягушки, и умные ученые жабы – все они могут наблюдать окружающий мир и фантазировать. И находить или придумывать жизненные или сказочные истории, которые удобно описывать с помощью матриц.
Это довольно увлекательное занятие!
И сказочные задания на все операции с матрицами по таким картинкам можно придумывать, разумеется.
Вот шахматная доска. На ней ползают маленькие жучки. Их расположение мы можем описать при помощи простой матрицы, состоящей только из нулей и единиц.
Если жучок находится на данной клетке, то в соответствующем месте матрицы ставим 1.
А если жучка на клетке нет, то в соответствующем месте матрицы ставим 0.
Все элементарно.
На самом деле, конечно, жучки не сидят на шахматной доске, а шустро ползают по ней. Их расположение меняется. Поэтому меняется и матрица из чисел, описывающая их местонахождение.
Попробуйте сами разные варианты.
А что будет, если вдруг на одну клетку забежали сразу два жучка? Каким надо сделать соответствующий элемент матрицы? Как вы думаете?
А если сразу три жучка на одной клетке оказались, что тогда?
Другая история – когда мы с помощью матрицы описываем конструкцию из кубиков. Ее построили лягушата.
Посмотрите внимательно на картинку ниже.
Кубики стоят в три ряда: дальний (самый высокий), средний и ближний.
А внизу есть матрица, в которой три строки.
Каждая строка этой матрицы соответствует одному ряду кубиков. Верхняя строка соответствует дальнему ряду. Средняя строка – среднему. А нижняя строка – ближнему ряду.
Каждый столбец этой матрицы соответствует одному слою кубиков (если слоем считать “срез” вертикальной плоскостью, причем именно поперек нарисованной здесь длинной конструкции).
А каждое число – это количество кубиков, стоящих друг на друге в данном месте. Кое-где их просто нет, поэтому там написано число 0.
Конечно, по картинке сразу сообразить все это не так-то просто…
Однако лягушата использовали реальные кубики. И они глядели на всю конструкцию сверху. И матрицу рисовали как план – где каждая клетка матрицы соответствует столбику кубиков, стоящих друг на друге. И даже размер клеточек в матрице они взяли точно такой же, как размер одной грани кубика.
Потом лягушата натренировались – и даже по такой картинке могли все понимать. Они просто представляли себе, что смотрят на всю эту конструкцию сверху.
Если у нас много кубиков, если мы укладываем их вплотную друг к другу и ставим друг на друга – то данную конструкцию всегда можно описать матрицей. А вот картинки для большого числа кубиков рисовать уже очень-очень сложно…
Взрослая умная жаба подарила лягушатам старый простенький черно-белый компьютерный монитор. Каждый пиксель в нем очень крупный. И может быть либо черного цвета, либо белого, без полутонов.
По горизонтали на экране помещается всего 16 пикселей. А по вертикали – всего 9 пикселей. Ну, такой старинный примитивный монитор…
Лягушата чрезвычайно обрадовались подарку! Они стали весело прыгать и скакать от восторга! Они почувствовали себя настоящими программистами!
А потом поразмыслили – и написали матрицу из нулей и единиц, чтобы на экране появилось число 1000.
Они обозначили черный цвет пикселя нулем. А белый цвет – единицей.
Вот такие программисты!
Некоторым лягушатам захотелось еще более сложные задания с матрицами разбирать и решать. Не проблема! Взрослые лягушки и жабы помогли!
Скажем, отрицательные числа тоже прекрасно работают в матрицах.
Все правила действий сохраняются. Примеры получаются чуть посложнее, чем были у нас вначале. Но суть дела не меняется.
Числа с десятичной запятой ничуть не хуже целых чисел. Да, уже сложнее считать, требуется больше внимания… Но, опять же, все правила сохраняются.
А вот простое задание: по данной матрице написать матрицу, ей противоположную.
То есть надо вместо каждого числа исходной матрицы на таком же месте написать число, ему противоположное.
Для лягушат это оказалось совсем не сложно. Они легко справились с заданием.
И даже сообразили интересную вещь: если сложить матрицу с противоположной ей матрицей, то в результате получится матрица из одних нулей!
Возможно, маленькие лягушата, про которых была эта сказка, вовсе и не станут профессиональными программистами, когда вырастут…
Но математику хорошо выучить – это каждому лягушонку точно пригодится!
И каждому полезно потренировать разные типы логического мышления.
Кто-то полюбит арифметические и сказочные тренировки с матрицами, а кто-то не очаруется такой формой математической игры…
Игрушки бывают разные.
По своей сути, матрица – это игрушка.
Если относиться к матрицам так, то они из скучных, сухих, формальных наборов чисел превращаются в забавные, простые и довольно интересные штуковины. И мы ощущаем в них реальную энергию математики!
Упорядоченная логика вполне может быть веселой – если за дело возьмутся бодрые и сообразительные лягушата-программисты!
Стихи про лягушек (19 стихотворений о лягушках лягушатах) для детей, ребят и самых маленьких читать он-лайн 1 2 3 4 5 6 класс школы детсад
В сборнике опубликовано 19 детских стихотворений русских и зарубежных поэтов про веселых, забавных лягушек…
Лягушата (Юрий Могутин)
После дождика ушат
Полон шустрых лягушат
А один укрылся в кадке
Может, он играет в прятки.
Рисунок В. Чижикова
Песня лягушат (Валентин Берестов)
Раньше были мы икрою, ква-ква!
А теперь мы все — герои, ать-два!
Головастиками были — ква-ква!
Дружно хвостиками били — ать-два!
А теперь мы — лягушата, ква-ква!
Прыгай с берега, ребята! Ать-два!
И с хвостом и без хвоста
Жить на свете — красота!
Лягушкины покупки (Владимир Орлов)
— Откуда идешь ты,
Лягушка-квакушка?
— С базара домой,
Дорогая подружка.
— А что ты купила?
— Все понемножку:
Купила ква-пусту,
Ква-соль и ква-ртошку.
Лягушки (Токмакова Ирина)
Чьи там крики у пруда?
— КВАсу, КВАсу нам сюда!
КВА-КВА-КВА-су, простоКВАши,
Надоела нам вода!..
Лягушки и журавель (Н. Старшинов)
Две лягушки —
Попрыгушки
Расшумелись на опушке:
— Вот как мы поём и пляшем!
Пусть вокруг дрожит земля!..
На большом болоте нашем
Мы поймаем журавля.
Как поймаем, лапы свяжем.
А потом ему прикажем:
«Отвези-ка, журавель.
Нас за тридевять земель!»
Над полями, над лесами —
Всё на юг, на тёплый юг!
Полетим под небесами,
Навестим своих подруг.
После смелого полёта —
Это нам хвала и честь! —
На прекрасное болото
Мы его заставим сесть.
Отдохнём да подождём,
Разговоры заведём;
«Что, журавушка, ты грустен?
Как тебе мы угодим?
Если мы тебя отпустим
Или, может быть, съедим?
Разве плохо, тру-ля-ля.
Съесть на завтрак журавля!..»
Ну, подняли, шум великий!..
Журавель и не хотел,
Да на их дурные крики
Видит: скачут две подружки.
Две лягушки-
Попрыгушки.
Подошёл он к ним поближе:
«Вот я вас и навестил!..»
Вынул их из грязной жижи
И обеих проглотил.
Разбежался по опушке.
И взлетел — прощай, земля!..
Долго квакали болтушки.
Две лягушки-
Попрыгушки
В животе у журавля.
Статья по теме Загадки про лягушек (для детей)
Лягушка (А. Барто)
Вот с насиженной гнилушки
В воду шлепнулась лягушка.
И надувшись, как волдырь,
Стала квакать из воды:
«Квэ-кэ-кэ,
Квэ-кэ-кэ.
Будет дождик на реке!»
Лягушка-болтушка (Ладонщиков Георгий)
Завелась в реке болтушка —
Пучеглазая лягушка.
Целый день твердит слова:
— Ква-ква-ква! Ква-ква-ква!
Подплывает к ней плотица,
Говорит: — Нельзя ль, певица,
Приглушить хоть на часок
Ваш противный голосок?
Рисунок В. Чижикова
Не ответила лягушка,
Подыскала, где погуще
Из воды растёт трава,
И запела: — Ква-ква-ква!
Подошёл к лягушке язь,
Попросил её сердясь:
— Помолчать вы
Не смогли бы?
Не пугайте нашу рыбу!
— Ложь! — ответила она. —
Эта песенка нежна,
Слушать всем её приятно.
Ква-ква-ква! Ква-ква!..
Понятно?
Услыхал лягушку сом —
Улетел от сома сон.
Вылез он из-под бревна
И пошёл, пошёл у дна.
Разогнался,
Как из пушки,
Прыгнул,
Хлюпнула вода…
И болтливая лягушка
Замолчала навсегда.
Лягушонок (В. Бахревский)
Закрывай, лягушонок, рот —
Старый рак стоит у ворот.
Кто не спит,
Кто шумит.
Кто шалит —
Он того клешнёй ущемит.
Закрывай, лягушонок, глаза,
И к тебе прилетит стрекоза.
Прилетит стрекоза-вертолёт
И возьмёт лягушонка в полёт.
Рак тебя не достанет,
Цапля тебя не догонит,
В небе много светлых комариков.
Бре-ке-ке-ке!. .
Лягушки (Токмакова Ирина)
Чьи там крики у пруда:
— Квасу, квасу нам сюда!
Ква-ква-квасу, просто-квак-ши,
Надоела нам вода!
Лягушки (Сатуновский Ян)
У речушки
Лягушки
Распевают
Частушки:
— Тра-ва!
Мурава,
Ква-ква-
Ква-ква-ква!
Разговор лягушек (Маршак Самуил)
— Кума,
Ты к нам?
— К вам, к вам,
К вам, к вам!
К воде скачу,
Ловить хочу.
— А кого, кого, кума?
— Рака, карпа и сома.
— Как поймаешь, дашь ли нам?
— Как не дать? Конечно, дам!
Лягушка (Маршак Самуил)
Вот лягушка на дорожке.
У неё озябли ножки.
Значит, ей нужны
Тёплые штаны,
Суконные
Зелёные
В крупинку!
Лягушата и щенок (Лифшиц Владимир)
Поквакивая звонко,
Вчера у нас в саду
Три глупых лягушонка
Играли в чехарду.
Ква-ква-ква!..
Увидел их Филатка
Задиристый щенок.
Такого беспорядка
Он вынести не мог.
Г ав-гав-гав!..
Чтоб не было им хуже,
Все трое лягушат
В большой глубокой луже
Попрятаться спешат.
Шлёп-шлёп-шлёп!..
Соревнование (В. Ланцетти)
На старте квакушки.
Глаза как катушки.
У каждой лягушки
Номер на брюшке.
Плюх!
Плюх!
Плюх!
Мелькнуло сорок брюх.
Плюх!
Плюх!
Плюх!
Победителю сто мух.
На болоте (Ткач Основа)
На коряге сидят
Лягушата в ряд,
Надутые, пузатые,
Лапки — раскорякою,
И крякают:
— Как? Какова ты?..
Чу! Шагает журавль…
Его нос — как бурав.
«Я есть хочу,
Я всех проглочу!..»
Да лягушки
Не ждут,-
Друг за дружкой —
В пруд.
Носом вниз — бултых!
Поймай-ка их!..
Теги: стихи о животных, сборники стихов для детей, стихи об амфибиях, лягушки
17 идей рисования лягушек, которые заставят вас прыгать от радости
Я получаю комиссионные за покупки, сделанные по ссылкам в этом посте.
Нарисуйте эти удивительные идеи рисования лягушек, которые заставят вас прыгать от радости.
Если вы любите лягушек, вам понравятся эти удивительные изображения земноводных. От простых рисунков для начинающих до более продвинутого искусства — здесь найдется что-то для каждого набора навыков.
Эти изображения лягушек хороши для набросков и улучшения ваших навыков рисования, а также для вдохновения, если вы думаете, что рисовать дальше.
1. Акварельная лягушка
Авторы и права: annalie_artЭта лягушка раскрашена акварельными красками. Использование различных художественных средств — отличный способ улучшить свои общие художественные способности.
2. Лягушка, нарисованная вертикальными линиями
Авторы и права: carlo_sketchesЕсли у вас есть время и терпение (или вам нужно поработать над своим терпением), попробуйте нарисовать лягушку с помощью вертикальных линий. Не скажу, что процесс легкий, но определенно полезный.
3. Лягушка, свисающая с ветки
Кредит: casualartbyckmЕсли вы никогда не рисовали что-то в движении, почему бы вам не попробовать? Использование этого справочника поможет вам улучшить вашу способность рисовать что-то, что находится в процессе выполнения задачи или определенного движения.
4. Лягушка с крыльями
Кредит: celineamorosiИзмените рисунок лягушки, добавив крылья или другие забавные детали. Эта лягушка также держится за лилию в воздухе, что очень мило.
5. Древесная лягушка
Авторы и права: charbakerartВключите ярко-зеленые и другие оттенки, чтобы придать вашей лягушке действительно выделяющийся вид. Художник прекрасно справился с этой работой.
6. Лягушка-волшебник
Фото: fati.artfeaturesЕсли вы ищете испытаний, попробуйте свои силы в рисовании шляпы волшебника. Я говорю это, потому что художник упомянул, что шляпу рисовать сложнее всего. «На самом деле было очень весело рисовать! Часть лягушки была не очень сложной, но шляпа была из-за текстуры».
7. Лягушка на грибе. Эскиз
Кредит: jessie__helenЕсли вы ищете идею для быстрого наброска, эта ссылка просто идеальна. Лягушка сидит на грибе с простым цветочным фоном.
8. Симпатичные наброски лягушек
Авторы и права: jkcreativeco_Эти наброски лягушек самые милые. На самом деле они являются частью листа с наклейками, который должен быть создан художником. Есть лягушки, которые пьют кофе, едят и многое другое.
9. Две лягушки
Авторы и права: johannemitchellВытяните одну лягушку, когда можете вытянуть две. После этого было бы здорово сделать еще один шаг вперед и добавить яркие цвета для завершающего штриха.
10. Причудливая лягушка
Кредит: k.a.oakleyВаш рисунок или набросок лягушки не обязательно должен быть похож на обычную амфибию. Придайте своему рисунку причудливый вид, чтобы сделать его особенным, уникальным и полностью вашим.
11. Лягушка в космосе
Авторы и права: kaitlinhoytМне просто нравится этот удивительный рисунок лягушки в космосе. Если вы ищете отличную идею подарка ручной работы, я думаю, что люди в вашей жизни (особенно коллекционеры лягушек) хотели бы получить что-то подобное.
12. Лягушки и красные грибы
Кредит: mumu_sketchesРисование этих лягушек действительно вывело их на новый уровень. Цвета придают этим лягушкам такой забавный и причудливый вид.
13. Королевская лягушка
Фото: rosefeedesbelleschosesСлово «королевская» было первым, что пришло мне на ум, когда я увидел этот рисунок. Мне просто нравится поза лягушки, и, конечно же, его одежда потрясающая.
14. Лягушка с зонтиком-грибом
Фото: RubbersoulartКонечно, когда лягушка попадает под дождь, ей приходится вытаскивать свой зонтик-гриб. Это лучший способ не промокнуть.
15. Grenouille
Авторы и права: so.drawwsХудожник назвал этот рисунок «Grenouille». Если вы не знали, это слово на самом деле переводится с французского как «лягушка». Ты узнаешь что-то новое каждый день.
16.
Реалистичный рисунок лягушки Кредит: westwood.lisaЕсли вы хотите нарисовать что-то более реалистичное, эта ссылка идеально вам подойдет. Этот рисунок был выполнен с использованием чистого графита с порошком сепии на бумаге Magnani.
17. Мистер Роджер
Кредит: westwood.lisaМистер Роджер — один из головастиков, спасенных художником. Для более красивого и реалистичного искусства, пожалуйста, посетите веб-сайт Лизы, Mahika.
Независимо от того, являетесь ли вы новичком или опытным художником, я надеюсь, что эти идеи рисования лягушек вдохновили вас на творческий подход и эксперименты с новыми техниками.
Другие посты, которые могут вам понравиться:
- 16 Легких рисунков свиньи, которые очень красивы
- 19 Рисунки грибов и акварели
- 38 Классные идеи для рисования в альбоме
Drawing Of Frogs And Lily Pads — Illustrationen und Vektorgrafiken
Grafiken
- Bilder
- Fotos
- Grafiken
- Vektoren
- Videos
Durchstöbern Sie 294
drawing of frogs and lily pads lizenzfreie Stock- и векторной графики. Oder starten Sie eine neuesuche, um noch mehr faszinierende Stock-Bilder und Vektorarbeiten zu entdecken.Sortieren nach:
Am beliebtesten
niedliche frosch-zeichentrickfiguren векторно-иллюстрационный набор — рисунок лягушек и кувшинок стоковая графика, -клипарт, -мультфильмы и -символNiedliche Frosch-Zeichentrickfiguren векторно-иллюстрационный набор
Niedliche Frosch Zeichentrickfiguren Vector Illustration. Zeichnungen von grünen Kröten, die springen, mit Lotus im Teich sitzen und Libellen auf weißem Hintergrund isoliert fangen. Tiere, Wildtierkonzept
grünen frosch sitzt auf einem blatt — рисунок лягушек и кувшинок сток-график, -клипарт, -мультфильмы и -символGrünen Frosch sitzt auf einem Blatt
süßes froschkritzeleien 7 — drawing of frogs and lily pads stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symboleSüßes Froschkritzeleien 7
Vektorillustration eines handgezeichneten Frosches vor grünem Hintergrund mit strukturiertem Effekt.
malvorlage mit teichökosystem mit blühenden seerosenpflanzen, ente mit entenküken, schildkröte, frosch und fischen — рисунок лягушек и кувшинок stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symboleMalvorlage mit Teichökosystem mit blühenden Seerosenpflanzen,…
frosch, der unter lotusblumen sitzt. традиционная восточная tuschemalerei суми-э, у-син, го-хуа — рисунок лягушек и кувшинок стоковые графики, -клипарт, -мультфильмы и -символFrosch, der unter Lotusblumen sitzt. Traditionelle orientalische…
Frosch sitzt unter Lotusblumen auf weißem Hintergrund. Традиционные восточные тушемалери Суми-э, У-Син, Го-хуа.
natur und tierwelt — рисунок лягушек и кувшинок сток-график, -клипарт, -мультфильмы и -символNatur und Tierwelt
vektor-illustration niedlicher cartoon-frosch mit einer blume — drawing of frosch and lily pads stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symbole mit einer Seerosenblüte. Уровень Lustiges в мультяшном стиле.Am Teich
set von cute frog zeichentrickfiguren — рисунок лягушек и кувшинок стоковая графика, -клипарт, -мультфильмы и -символSet von Cute Frog Zeichentrickfiguren
süßes frosch-doodle 5 — рисунок лягушки и кувшинки стоковый рисунок , -клипарт, -мультфильмы и -символSüßes Frosch-Doodle 5
Векторные иллюстрации ручной работы Schwarz-Weiß-Frosches vor weißem Hintergrund.
векторных нот собрать фон sumpftieren мультфильм. крокодил, фрош, фише, клевета. — рисунок лягушек и кувшинок сток-график, -клипарт, -мультики и -символ Вектор nahtloses Собрать фон Sumpftieren Cartoon. Krokodil, Frosch, kawaii frosch mit messer. нижний ярус. stockvectorillustration, eps 10. — рисунок лягушек и кувшинок сток-графика, -клипарт, -мультфильмы и -символKawaii Frosch mit Messer. Niedliches Tier….
aquarelldarstellung einer seerose mit tautropfen und frosch, isoliert auf weißemhintergrund. — рисунок лягушек и кувшинок, графика, клипарт, мультфильмы и символыAquarelldarstellung einer Seerose mit Tautropfen und Frosch,…
botanische aquarelldarstellung einer seerose mit tautropfen auf weißemhintergrund. — рисунок лягушек и кувшинок сток-график, -клипарт, -мультфильмы и -символBotanische Aquarelldarstellung einer Seerose mit Tautropfen auf…
frosch chorus-viktorianischen stahl gravur — рисунок лягушек и кувшинок сток-график, -клипарт , -мультфильмы и -символFroschchor. Stahlstich 1879.
prinzessin auf seerosen-malvorlage — рисунок лягушек и кувшинок сток-график, -клипарт, -мультфильмы и -символPrinzessin auf Seerosen-Malvorlage
ein frosch, malblatt mit farbigem beispiel — рисунок лягушек и кувшинок стоковые графики, -клипарты, -мультфильмы и -символы задний план. — рисунок лягушек и кувшинок сток-график, -клипарт, -мультфильмы и -символBotanische Aquarelldarstellung einer Seerose mit Tautropfen auf…
süße frosch doodle 4 — рисунок лягушек и кувшинок сток-график, -клипарт, — мультфильмы и символSüße Frosch Doodle 4
Vektorillustration eines handgezeichneten niedlichen Frosches vor blue Hintergrund mit strukturiertem Effekt.
aquarelldarstellung von seerose mit tautropfen und frosch und blasen, isoliert auf weißemhintergrund. — рисунок лягушек и кувшинок — графика, -клипарт, -мультфильмы и -символыAquarelldarstellung von Seerose mit Tautropfen und Frosch und…
см., satz realistischer cartoon-seeed in weißem umriss. векториллюстрация. вектор. — рисунок лягушек и кувшинок сток-график, -клипарт, -мультики и -символСмотрите, Satz realistischer Cartoon-Seen in weißem Umriss….
See, Satz realistischer Cartoon-Seen in weißem Umriss. Вектордарстелунг. Вектор.
Grünes Froschbuch einzigartige Vektorillustration -рисунок лягушек и лили -падков, склада, -клейпарк, -картунс -симболаgrünes froschbuch einzigartige vektorillustration
eine einfache eineslage darshration
eine einfache eineslylese darellyration
einefach — рисунок лягушек и кувшинок сток-график, -клипарт, -мультики и -символ
Süße Frosch Doodle 2
Vektorillustration eines handgezeichneten niedlichen Frosches vor grünem Hintergrund.
set von entzückenden frosch in verschiedenen gestenmalereien — drawing of frogs and lily pads stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symboleSet von entzückenden Frosch in verschiedenen Gestenmalereien
Set von niedlichen Frosch in verschiedenen Gesten in Aquarellmalerei auf weißem Hintergrund für Postkartengestaltung, Vektorillustration
froschkunst isoliert auf weißemhintergrund — рисунок лягушек и кувшинок сток-график, -клипарт, -мультфильмы и -символ Froschkunst isoliert auf weißem HintergrundFroschkünste isoliert auf weißem Hintergrund
frosch auf ast hängend schlafen — drawing of frogs and lily pads stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symboleFrosch auf Ast hängend schlafen
Illustration aus dem 19 , Jahrhundert
nahtloses muster mit niedlichem frosch. handgezeichnete иллюстрации в handgezeichneten стиле. — рисунок лягушек и кувшинок — графика, -клипарт, -мультфильмы и -символNahtloses Muster mit niedlichem Frosch. Handgezeichnete…
Grüner Frosch in Seerose auf Grünem Hintergrund.
frosch, seerosen und mücke. суми-э. — рисунок лягушек и кувшинок — стоковая графика, -клипарт, -мультфильмы и -символФрош, Зееросен и Москито. Восточная традиционная малерея в стиле Суми-э, У-син и Гохуа.
фрош и сиросен. суми-э. — рисунок лягушек и кувшинок сток-график, -клипарт, -мультфильмы и -символFrosch und Seerosen. Суми-э.
Фрош и Зеросен. Восточная традиционная малерея в стиле Суми-э, У-син и Гохуа.
frühlingserwachen, verliebtes paar — рисунок лягушек и кувшинок stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symbole -cartoons und -symbolePfund mit den Lotus-Seerosen
Illustration der Lotusblumen, Blätter und Frösche im See
lotus-seerosen und frösche — рисунок лягушек и кувшинок stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symboleLotus-Seerosen und Frösche
Illustration der Lotusblüten, Blätter und Frösche
flower gruskarte — drawing of лягушки и кувшинки стоковые графики, -clipart, -cartoons und -symboleFloral Grußkarte
4 Illustration der Lotösterblüten set von cartoon-tieren in aquarell-illustration — drawing of frogs and lily pads stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symbole
Set von Cartoon-Tieren in Aquarell-Illustration
Froschset mit Objekt oder Element in Cartoon-Zeichnung mit Акварельный стиль для графического дизайнера, векторная иллюстрация
Ручной рисунок Frosch in Teich — рисунок лягушек и кувшинок stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symboleРучной рисунок Frosch in Teich
Froschsprung in einem Teich.
froschprinzessin sitzt. мультяшный стиль. vektorillustration — рисунок лягушек и кувшинок сток-график, -клипарт, -мультфильмы и -символFroschprinzessin sitzt. Мультяшный стиль. Vektorillustration
Froschprinzessin mit Krone. Мультяшный стиль. Vektorillustration
schlauer frosch — рисунок лягушек и кувшинок сток-график, -клипарт, -мультфильмы и -символSchlauer Frosch
Ein Märchen über einen kleinen klugen Frosch, der in einem Teich lebte und gerne las. Компьютерграфик. 3D-график.
lustige fresche und seerosen handgezeichnete vektorillustration. bunte tiercharakter nahtloses muster für kinder stoff oder tapete. — рисунок лягушек и кувшинок стоковые графики, -клипарты, -мультфильмы и -символыLustige Frösche und Seerosen handgezeichnete Vektorillustration….
Lustige Frösche und Seerosen handgezeichnete Vektorillustration. Buntes Tiercharakter nahtloses Muster für Kinder Stoff oder Tapete.
freddy-froggy — рисунок лягушек и кувшинок stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symboleFreddy-Froggy
schöne kinder, die unter einem großen pilz-cartoon-vektor spielen — рисунок лягушек и кувшинок stock- grafiken, -clipart, -cartoons und -symboleДетский рисунок, большой размер Pilz-Cartoon-Vektor spielen
Fröhliches Mädchen und Junge, die mit Lupe unter großen Pilzen spielen, Design-Zeichentrickfigur zeichnen, flache aVektor0uferillustration 90ütternblätern kunstmalerei — рисунок лягушек и кувшинок сток-график, -клипарт, -мультфильмы и -символ
Seelilien auf Blütenblättern Kunstmalerei
Ölfarben, экспрессивное изображение Striche auf Leinwand. Quadratische Malerei in einem Rahmen, Kunstwerk in der Galerie. Wunderschönes Blumenstillleben. Frühlings-oder Sommerblütenpflanzen, blühen. См., Teich, Seelilien auf Blütenblättern
vektorillustration niedliche und schöne frösche auf weißemhintergrund. charmante figur ich sitze auf einem stein und einem schmetterling auf dem kopf und sitze auf einer seerose im cartoon-stil. — рисунок лягушек и кувшинок сток-график, -клипарт, -мультики и -символНижняя и блестящая векторная иллюстрация Frösche auf weißem…
Единая и блестящая векторная иллюстрация Frösche auf weißem Hintergrund. Charmante Figur Ich sitze auf einem Stein und ein Schmetterling auf dem Kopf und sitzt auf einer Seerose im Cartoon-Stil.
Принц-лягушка — рисунок лягушек и кувшинок стоковая графика, клипарт, мультфильмы и символыПринц-лягушка
Frosch, Krone, Fels und Motiv können getrennt und einzeln verwendet werden.
partytier-charaktere in blauem umriss, vektor-nahtlosmuster — рисунок лягушек и кувшинок сток-график, -клипарт, -мультфильмы и -символPartytier-Charaktere в Блауэме Умрисс, Vektor-Nahtlosmuster
Partytierfiguren в Blauem Umriss, Süße Glückliche Freunde, Die Geburtstag Feiern, Vektor Nahtlose Suster-Brender-Brinder-Brinder-Brinder-Brinder-Brinder-Brinder-Brender. -wemerersemersemer. wehlors-brindersemersemer. deslors-brinderse-brindersemersemer. deslors-brinders-weclors-wemlors-brinder. и кувшинки stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symbole
Vektorsatz von Doodle-Bewohnern des Teiches, Sumpf isoliert auf…
Tiere und Pflanzen: Schnecken, Schilf, Seerosen, Enten, Frösche, Libellen. Handzeichnung.
lotus und libelle — рисунок лягушек и кувшинок стоковая графика, -клипарт, -мультфильмы и -символLotus und Libelle
http://www.yiyinglu.com/istockphoto/images/buttons/red_delight.gif
glückliche cartoon-frösche, musterillustration — рисунок лягушек и кувшинок stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symboleGlückliche Cartoon-Frösche, Musterillustration
Glückliche süße kleine Cartoon-Frösche im Blumengarten, nahtlose Musterillustration in grüner Farbe
экзотичный рисунок, изолированная векторная иллюстрация — рисунок лягушек и кувшинок стоковая графика, -клипарт, -мультфильмы и -символЭкзотический рисунок, изолированный векторный рисунок
Экзотический рисунок, изолированный векторный рисунок. Ruhiger tropischer Frosch. Eine Kröte, die auf einem runden Seerosenblatt sitzt. Lebhafter rotäugiger giftiger Frosch. Eine giftige Амфибия. Gefährlicher kleiner Frosch
süße frosch nahtlose musterkollektion. süße kritzeleikröten mit seerosen, libellen und seerosenblättern. — рисунок лягушек и кувшинок сток-график, -клипарт, -мультики и -символSüße Frosch nahtlose Musterkollektion. Süße Kritzeleikröten mit…
süßes frosch nahtloses muster. süße kritzeleikröten mit pilzen, libellen und seerosen. — рисунок лягушек и кувшинок стоковые графики, -клипарты, -мультфильмы и -символыSüßes Frosch nahtloses Muster. Süße Kritzeleikröten mit Pilzen,…
Niedliches Frosch nahtloses Muster. Süße Kritzelkröten mit Pilzen, Libellen und Seerosen. Baby-Sommerdruck mit Zeichentrickfiguren am See.
frösche auf waterlily — рисунок лягушек и кувшинок стоковые графики, -клипарт, -мультфильмы и -символFrösche auf waterlily
см., satz realistischer cartoon-seeed in weißem umriss. векториллюстрация. вектор. — рисунок лягушек и кувшинок сток-графика, -клипарт, -мультфильмы и -символСм., Satz realistischer Cartoon-Seen in weißem Umriss….
See, Satz realistischer Cartoon-Seen in weißem Umriss. Вектордарстелунг. Вектор.
set von süßen rotäugigen fröschen. laubfrosch в verschiedenen posen. векториллюстрация. isoliert auf weißem Hintergrund. — рисунок лягушек и кувшинок сток-график, -клипарт, -мультики и -символSet von süßen rotäugigen Fröschen. Laubfrosch in verschiedenen…
Set von niedlichen rotäugigen Fröschen. Laubfrosch в verschiedenen Posen. Вектордарстелунг. Isoliert auf weißem Hintergrund.
frösche im teichset. niedliche cartoon doodle kröten, blumen, seerosen, libellen. — рисунок лягушек и кувшинок сток-график, -клипарт, -мультфильмы и -символFrösche im Teichset. Niedliche Cartoon Doodle Kröten, Blumen,…
Frösche im Teichset. Niedliche Cartoon Kritzelkröten, Blumen, Seerosen, Libellen. Lustige Charaktere для Aufkleber, Kinder tragen, andere Trendige Designs.
savannah cricket-frosch — рисунок лягушек и кувшинок стоковые графики, -клипарты, -мультфильмы и -символыSavannah Cricket-Frosch
süße frosch nahtlose musterkollektion. süße kritzeleienkröten мит schnecken, клевета унд Seerosenblättern. — рисунок лягушек и кувшинок стоковые графики, -клипарты, -мультфильмы и -символыSüße Frosch nahtlose Musterkollektion. Süße Kritzeleienkröten…
Süßer Frosch nahtlose Mustersammlung. Süße Kritzelkröten mit Schnecken, Libellen und Seerosenblättern. Baby-Sommerdruck mit Zeichentrickfiguren am See.
nahtloses muster mit niedlichen fröschen, libelle und schilf auf grünemhintergrund. совершенный вдох для лент, почтовых карт, плакатов, стоффе, салфеток и других творческих проектов. — рисунок лягушек и кувшинок стоковые графики, -клипарты, -мультфильмы и -символыСбор с niedlichen Fröschen, Libelle und Schilf auf.