Рисовать легкие рисунки: Легкие рисунки для начинающих – Очень красивые рисунки карандашом: очень легкие картинки

Линейные неравенства, решение и примеры

Основные понятия

Алгебра не всем дается легко с первого раза. Чтобы не запутаться во всех темах и правилах, важно изучать темы последовательно и по чуть-чуть. Сегодня узнаем, как решать линейные неравенства.

Неравенство — это алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, <, >, ≤, ≥.

Линейные неравенства — это неравенства вида:

• ax + b < 0,
• ax + b > 0,
• ax + b ≥ 0,
• ax + b ≤ 0,

где a и b — любые числа, a ≠ 0, x — неизвестная переменная. Как решаются неравенства рассмотрим далее в статье. 

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти все значения переменной, при которой неравенство верное.

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Типы неравенств

1. Строгие — используют только больше (>) или меньше (<):

• a < b — это значит, что a меньше, чем b.
• a > b — это значит, что a больше, чем b.
• a > b и b < a означают одно и тоже, то есть равносильны.

2. Нестрогие — используют сравнения ≥ (больше или равно) или ≤ (меньше или равно):

• a ≤ b — это значит, что a меньше либо равно b.
• a ≥ b — это значит, что a больше либо равно b.
• знаки ⩽ и ⩾ являются противоположными.

3. Другие типы:

• a ≠ b — означает, что a не равно b.
• a ≫ b — означает, что a намного больше, чем b.
• a ≪ b — означает, что a намного меньше, чем b.
• знаки >> и << противоположны.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Линейные неравенства: свойства и правила

Вспомним свойства числовых неравенств:

1. Если а > b , то b < а. Также наоборот: а < b, то b > а.


2. Если а > b и b > c, то а > c. И также если а < b и b < c, то а < c.


3. Если а > b, то а + c > b+ c (и а – c > b – c).

Если же а < b, то а + c < b + c (и а – c < b – c). К обеим частям можно прибавлять или вычитать одну и ту же величину.

4. Если а > b и c > d, то а + c > b + d.

Если а < b и c < d, то а + c < b + d.

Два неравенства одинакового смысла можно почленно складывать. Но важно перепроверять из-за возможных исключений. Например, если из 12 > 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.

5. Если а > b и c < d, то а – c > b – d.

Если а < b и c > d, то а – c < b – d.

Из одного неравенства можно почленно вычесть другое противоположного смысла, оставляя знак того, из которого вычиталось.

6. Если а > b, m — положительное число, то mа > mb и 
   

Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).

Если же а > b, n — отрицательное число, то nа < nb и 

Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак неравенства поменять на противоположный.

7. Если а > b и c > d, где а, b, c, d > 0, то аc > bd.

Если а < b и c < d, где а, b, c, d > 0, то аc < bd.

Неравенства одного смысла на множестве положительных чисел можно почленно перемножать.

Следствие данного правила или квадратный пример: если а > b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а < b, то а2 < b2. На множестве положительных чисел обе части можно возвести в квадрат.

8. Если а > b, где а, b > 0, то 
   

Если а < b , то 

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое трансформирует его в верное числовое неравенство.

Важно знать

Два неравенства можно назвать равносильными, если у них одинаковые решения.

Чтобы упростить процесс нахождения корней неравенства, нужно провести равносильные преобразования — то заменить данное неравенство более простым. При этом все решения должны быть сохранены без возникновения посторонних корней.

Свойства выше помогут нам использовать следующие правила.

Решение линейных неравенств

Линейные неравенства с одной переменной x выглядят так:

• ax + b < 0,
• ax + b > 0,
• ax + b ≤ 0,
• ax + b ≥ 0,

где a и b — действительные числа. А на месте x может быть обычное число.

Равносильные преобразования

Для решения ax + b < 0 (≤, >, ≥) нужно применить равносильные преобразования неравенства. Рассмотрим два случая: когда коэффициент равен и не равен нулю.

Алгоритм решения ax + b < 0 при a ≠ 0

• перенесем число b в правую часть с противоположным знаком,
• получим равносильное: ax < −b;
• произведем деление обеих частей на число не равное нулю.

Когда a положительное, то знак неравенства остается без изменений, если a — отрицательное, знак меняется на противоположный.

Рассмотрим пример: 4x + 16 ≤ 0.

Как решаем: В данном случае a = 4 и b = 16, то есть коэффициент при x не равен нулю. Применим вышеописанный алгоритм.

• Перенесем слагаемое 16 в другую часть с измененным знаком: 4x ≤ −16.
• Произведем деление обеих частей на 4. Не меняем знак, так как 4 — положительное число: 4x : 4 ≤ −16 : 4 ⇒ x ≤ −4. 
• Неравенство x ≤ −4 является равносильным. То есть решением является любое действительное число, которое меньше или равно 4.

Ответ: x ≤ −4 или числовой промежуток (−∞, −4].

При решении ax + b < 0, когда а = 0, получается 0 * x + b < 0. На рассмотрение берется b < 0, после выясняется верное оно или нет.

Вернемся к определению решения неравенства. При любом значении x мы получаем числовое неравенство вида b < 0. При подстановке любого t вместо x, получаем 0 * t + b < 0 , где b < 0. Если оно верно, то для решения подойдет любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда данное уравнение не имеет решений, так как нет ни одного значения переменной, которое может привести к верному числовому равенству.

Числовое неравенство вида b < 0 (≤, > , ≥) является верным, когда исходное имеет решение при любом значении. Неверно тогда, когда исходное не имеет решений.

Рассмотрим пример: 0 * x + 5 > 0.

Как решаем:

• Данное неравенство 0 * x + 5 > 0 может принимать любое значение x.
• Получается верное числовое неравенство 5 > 0. Значит его решением может быть любое число.

Ответ: промежуток (− ∞ , + ∞).

Метод интервалов

Метод интервалов можно применять для линейных неравенств, когда значение коэффициента x не равно нулю.

Метод интервалов заключается в следующем:

• вводим функцию y = ax + b;
• ищем нули для разбиения области определения на промежутки;
• отмечаем полученные корни на координатной прямой;
• определяем знаки и отмечаем их на интервалах.

Алгоритм решения ax + b < 0 (≤, >, ≥) при a ≠ 0 с использованием метода интервалов:

• найдем нули функции y = ax + b для решения уравнения ax + b = 0.

Если a ≠ 0, тогда решением будет единственный корень — х₀;

• начертим координатную прямую с изображением точки с координатой х₀, при строгом неравенстве точку рисуем выколотой, при нестрогом — закрашенной;
• определим знаки функции y = ax + b на промежутках.

Для этого найдем значения функции в точках на промежутке;

• если решение неравенства со знаками > или ≥ — добавляем штриховку над положительным промежутком на координатной прямой, если < или ≤ — над отрицательным промежутком.

Рассмотрим пример: −6x + 12 > 0.

Как решаем:

1. В соответствии с алгоритмом, сначала найдем корень уравнения − 6x + 12 = 0,

   −6x = −12,

   x = 2.

   Изобразим координатную прямую с отмеченной выколотой точкой, так как неравенство является строгим.

2. Определим знаки на промежутках.

   Чтобы определить на промежутке (−∞, 2), необходимо вычислить функцию y = −6x + 12 при х = 1. Получается, что −6 * 1 + 12 = 6, 6 > 0. Знак на промежутке является положительным.

   Определяем знак на промежутке (2, + ∞) , тогда подставляем значение х = 3. Получится, что −6 * 3 + 12 = − 6, − 6 < 0 . Знак на промежутке является отрицательным.

3. Штриховку сделаем над положительным промежутком.

   По чертежу делаем вывод, что решение имеет вид (−∞, 2) или x < 2.

Ответ: (−∞, 2) или x < 2.

Графический способ

Смысл графического решения неравенств заключается в том, чтобы найти промежутки, которые необходимо изобразить на графике.

Алгоритм решения y = ax + b графическим способом

• во время решения ax + b < 0 определить промежуток, где график изображен ниже оси Ох;
• во время решения ax + b ≤ 0 определить промежуток, где график изображается ниже Ох или совпадает с осью;
• во время решения ax + b > 0 определить промежуток, где график изображается выше Ох;
• во время решения ax + b ≥ 0 определить промежуток, где график находится выше оси Ох или совпадает.

Рассмотрим пример: −5 * x − √3 > 0.

Как решаем

• Так как коэффициент при x отрицательный, данная прямая является убывающей.
• Координаты точки пересечения с Ох равны (−√3 : 5; 0).
• Неравенство имеет знак >, значит нужно обратить внимание на промежуток выше оси Ох.
• Поэтому открытый числовой луч (−∞, −√3 : 5) будет решением.

Ответ: (−∞, −√3 : 5) или x < −√3 : 5.

Линейные неравенства в 8 классе — это маленький кирпич, который будет заложен в целый фундамент знаний. Мы верим, что у все получится!

ФЛАГИ СТРАН МИРА в картинках с названиями страны

милых вещей для рисования — Google Поиск

Все картинкиВидеоПокупкиКартыНовостиКупить

Подобные опции

Фотографии

Все изображения

Все изображения

Что я должен нарисовать?

Что я могу нарисовать, если мне скучно?

Что нарисовать для 10-летних?

Какие хорошие идеи для рисования?

36 милых вещей для рисования — Color Made Happy

colormadehappy. com › милые вещи для рисования

Милые простые рисунки · Корова сидит или стоит · Красочный рисунок цветка · Сонный ленивец · Милый ежик · Радуга · Нарисуй милую пчелу: 2 способа · Панда держит воздушный шар.

50 Милые простые вещи для рисования — Шихори Обата

www.shihoriobata.com › блог › милые-легкие-в-…

50 Милые простые вещи для рисования · 1. Морды животных · 2. Звезды · 3. Мишка · 4. Цветок · 5. Птица · 6. Письмо · 7. Щенок · 8. Воздушные шары.

510 лучших милых вещей для рисования идей в 2023 году — Pinterest

www.pinterest.com › zelieboothby97 › cute-things-t…

11 января 2023 г. — Исследуйте доску Zelie Boothby «Милые вещи для рисования» на Pinterest. Посмотрите больше идей на темы «милые рисунки, кавайные рисунки, каракули».

50 милых простых вещей для рисования — Pinterest

www.pinterest.com › Исследуйте › Искусство

Коллекция милых простых вещей для рисования в вашем альбоме для рисования или на странице для рисования, идеально подходит для начинающих художников!

40 простых вещей, которые можно нарисовать, когда вам скучно! — Displate Блог

blog. displate.com › простые вещи для рисования

07.10.2021 · Мы составили список из 40 крутых вещей, которые можно легко нарисовать, когда вам скучно. … пошаговые советы обязательно ознакомьтесь с нашим списком милых вещей для рисования.

75 милых вещей, которые можно нарисовать в буджо (с пошаговыми инструкциями)

blog.displate.com › милые вещи для рисования

30.09.2021 · От пушистых животных до улыбающихся суши-роллов, Вот 75 идей, как рисовать милые вещи и как их рисовать. Удачного рисования!

50 простых и симпатичных вещей для рисования (с пошаговыми примерами)

ноутбукотерапия.com › блоги › 50 простых-симпатичных вещей… · 3. Каракули коровы · 4. Каракули павлина · 5. Каракули ежика · 6. Каракули панды · 7. Каракули разных медведей · 8. Кои …

Как рисовать милые вещи – пошаговое руководство iheartcraftythings.com › Как рисовать

Как рисовать милые вещи – приступим! · Шаг 1 · Шаг 2 – Затем нарисуйте небольшой выступ на фигуре · Шаг 3 – Нарисуйте конус для вашего рисунка · Шаг 4 – .