|
«IQ», графика (тушь, карандаш), 50х70 см, 2001 г. |
Парадоксальный мир невозможных объектов | Мир ПК
Наши глаза познавать не умеют
природу предметов.
А потому не навязывай им
заблуждений рассудка.
Тит Лукреций Кар
Расхожее выражение «обман зрения» по сути своей неверно. Глаза не могут обмануть нас, поскольку являются только промежуточным звеном между объектом и мозгом человека. Обман зрения обычно возникает не из-за того, что мы видим, а из-за того, что бессознательно рассуждаем и невольно заблуждаемся: «посредством глаза, а не глазом смотреть на мир умеет разум».
Одним из наиболее эффектных направлений художественного течения оптического искусства (op-art) является имп-арт (imp-art, impossible art), основанный на изображении невозможных фигур. Невозможные объекты представляют собой рисунки на плоскости (любая плоскость двухмерна), изображающие трехмерные структуры, существование которых в реальном трехмерном мире невозможно. Классической и одной из самых простых фигур является невозможный треугольник.
В невозможном треугольнике каждый угол сам по себе является возможным, но парадокс возникает, когда мы рассматриваем его целиком. Стороны треугольника направлены одновременно и к зрителю, и от него, поэтому отдельные его части не могут образовать реальный трехмерный объект.
Невозможный треугольник Пенроуза | Треугольник, воспринимаемый как «возможный» |
Собственно говоря, наш мозг интерпретирует рисунок на плоскости как трехмерную модель. Сознание задает «глубину», на которой находится каждая точка изображения. Наши представления о реальном мире сталкиваются с противоречием, с некоей непоследовательностью, и приходится делать некоторые допущения:
Треугольник Рейтерсвэрда |
- прямые двухмерные линии интерпретируются как прямые трехмерные линии;
- двухмерные параллельные линии интерпретируются как трехмерные параллельные линии;
- острые и тупые углы интерпретируются как прямые углы в перспективе;
- внешние линии рассматриваются как граница формы. Эта внешняя граница чрезвычайно важна для построения полного изображения.
Человеческое сознание сначала создает общее изображение предмета, а затем рассматривает отдельные части. Каждый угол совместим с пространственной перспективой, но, воссоединившись, они образуют пространственный парадокс. Если закрыть любой из углов треугольника, то невозможность пропадает.
История невозможных фигур
Ошибки пространственного построения встречались у художников и тысячу лет тому назад. Но первым построившим и проанализировавшим невозможные объекты по праву считается шведский художник Оскар Рейтерсвэрд (Oscar Reutersvard), нарисовавший в 1934 г. первый невозможный треугольник, состоявший из девяти кубиков.
Водопад Эшера | «Москва», графика (тушь, карандаш), 50х70 см, 2003 г. |
Независимо от Рейтерсвэрда английский математик и физик Роджер Пенроуз повторно открывает невозможный треугольник и публикует его изображение в британском журнале по психологии в 1958 г. В иллюзии использована «ложная перспектива». Иногда такую перспективу называют китайской, так как подобный способ рисования, когда глубина рисунка «двусмысленна», часто встречался в работах китайских художников.
Невозможный куб |
В 1961 г. голландец М. Эшер (Maurits C. Escher), вдохновленный невозможным треугольником Пенроуза, создает известную литографию «Водопад». Вода на картине течет бесконечно, после водяного колеса она проходит дальше и попадает обратно в исходную точку. По сути это изображение вечного двигателя, но любая попытка в реальности построить данную конструкцию обречена на неудачу.
С тех пор невозможный треугольник не раз использовался в работах других мастеров. Помимо уже упомянутых можно назвать бельгийца Жоса де Мея (Jos de Mey), швейцарца Сандро дель Пре (Sandro del Prete) и венгра Иштвана Ороса (Istvan Orosz).
Как из отдельных пикселов на экране формируются изображения, так и из основных геометрических фигур можно создавать объекты невозможной реальности. Например, рисунок «Москва», на котором изображена не совсем обычная схема московского метрополитена. Сначала мы воспринимаем изображение целиком, но прослеживая взглядом отдельные линии, убеждаемся в невозможности их существования.
«Три улитки (RDL-куб)», графика (тушь, карандаш), 50х70 см, 2003 г. |
На рисунке «Три улитки» маленький и большой кубы ориентированы не в нормальной изометрической проекции. Меньший по размерам куб сопрягается с большим по передним и задним сторонам, а значит, следуя трехмерной логике, он имеет такие же размеры некоторых сторон, что и большой. Сначала рисунок кажется реальным представлением твердого тела, но по мере анализа выявляются логические противоречия этого объекта.
Рисунок «Три улитки» продолжает традиции второй знаменитой невозможной фигуры — невозможного куба (ящика).
«IQ», графика (тушь, карандаш), 50х70 см, 2001 г. | «Вверх и вниз», М. Эшер |
Сочетание различных объектов можно найти и в не совсем серьезном рисунке «IQ» (intelligence quotient — коэффициент интеллекта). Интересно, что некоторые люди не воспринимают невозможные объекты из-за того, что их сознание не способно отождествлять плоские картины с трехмерными объектами.
Дональд Е. Симанек высказал мнение, что понимание визуальных парадоксов является одним из признаков того вида творческого потенциала, которым обладают лучшие математики, ученые и художники. Многие работы с парадоксальными объектами можно отнести к «интеллектуальным математическим играм». Современная наука говорит о 7-мерной или 26-мерной модели мира. Моделировать подобный мир можно только с помощью математических формул, человек представить его просто не в состоянии. И здесь оказываются полезными невозможные фигуры. С философской точки зрения они служат напоминанием о том, что любые явления (в системном анализе, науке, политике, экономике и т. д.) следует рассматривать во всех сложных и неочевидных взаимосвязях.
Компьютерная графика на основе картины «Невозможный алфавит», 70х50 см, 1999 г. |
Разнообразные невозможные (и возможные) объекты представлены на картине «Невозможный алфавит».
Третьей популярной невозможной фигурой является невероятная лестница, созданная Пенроузом. Вы будете по ней непрерывно или подниматься (против часовой стрелки) или спускаться (по часовой стрелке). Модель Пенроуза легла в основу знаменитой картины М. Эшера «Вверх и вниз» («Ascending and Descending»).
Существует еще одна группа объектов, реализовать которые не получится. Классической фигурой является невозможный трезубец, или «чертова вилка».
При внимательном изучении картинки можно заметить, что три зубца постепенно переходят в два на едином основании, что приводит к конфликту. Мы сравниваем количество зубцов сверху и снизу и приходим к выводу о невозможности объекта.
Невероятная лестница Пенроуза | «Чертова вилка» |
Ресурсы Интернета о невозможных объектах
«Мир Эшера» («World of Escher»; http://www. worldofescher.com) — один из основных сайтов о Маурице Эшере, включающий галерею его работ и биографию.
Интересен сайт (на английском языке) Катерины Палмер (Catherine Leah Palmer;
Катерина Палмер также создала программу Illusionarium (http://www.palmyra.demon.co.uk/illusion/programs.htm) для построения невозможных фигур из кубиков. Программа имеет сложноватый интерфейс и ограниченное число комбинаций.
Impossible Puzzle 1.10 |
Сайт Влада Алексеева «Невозможный мир» (http://imp-world.narod.ru) включает большую галерею невозможных фигур, ссылки на художников и статьи о невозможных объектах (на русском языке). Автор сайта создал две интересные программы для построения невозможных объектов (их версии вы найдете на сайте) — Impossible Puzzle и Impossible Constructor (Freeware).
Impossible Puzzle 1.10
Системные требования:
- Процессор — Pentium 200 MГц
- Память — 64 Мбайт
- Место на жестком диске — 200 Кбайт
- Операционная система — Windows 95 с установленными библиотеками MFC 4.2, Windows 98/Me/NT/2000/XP.
Impossible Constructor |
Программа предназначена для создания изображений невозможных фигур из элементарных треугольников путем складывания мозаики. Комбинируя треугольники, можно получить большое количество невозможных фигур. Программа имеет простой и понятный интерфейс.
Impossible Constructor 1.25
Системные требования:
- Процессор — Pentium 100 MГц
- Память — 16 Мбайт
- Место на жестком диске — 200 Кбайт
- Операционная система — Windows 95 с установленными библиотеками MFC 4.2, Windows 98/ Me/NT/2000/XP.
Программа предназначена для конструирования изображений невозможных фигур из кубиков. В основе ее лежит та же идея, что и у программы Illusionarium Катерины Палмер, но в отличие от последней Impossible Constructor предоставляет полный набор из 64 кубиков, а также имеет более удачный интерфейс.
Сайт http://www. illusoria.com (на английском языке) включает целую галерею невозможных фигур.
* * *
Есть ли какая-либо более существенная польза от невозможных рисунков, чем игра ума? В некоторых больницах специально развешивают изображения невозможных объектов, поскольку их рассматривание способно надолго занять больных. Логично было бы развесить такие рисунки в кассах, в милиции и прочих местах, где ожидание своей очереди длится порой целую вечность. Рисунки могли бы выступить в роли этаких «хронофагов», т.е. пожирателей времени.
Об авторе
Дмитрий Раков — научный сотрудник РАН. Его рисунки вы найдете по адресу http://www.rakov.de.
НЕВОЗМОЖНАЯ РЕАЛЬНОСТЬ | Наука и жизнь
Существует большой класс изображений, про которые можно сказать: «Что видим? Нечто странное»*. Это и рисунки с искаженной перспективой, и невозможные в нашем трехмерном мире объекты, и немыслимые сочетания вполне реальных предметов. Появившись в начале XI века, такие «странные» рисунки и фотографии сегодня стали целым направлением искусства, именуемого имп-артом.Вильям Хогард. «Невозможная перспектива», где намеренно сделано по меньшей мере четырнадцать ошибок в перспективе.
Мадонна с младенцем. 1025 год.
Питер Брейгель. «Сорока на виселице». 1568 год.
Марсель Дюшамп. Рекламная картинка с кроватью невозможной конструкции.
Оскар Рутесвард. «Opus 1» (№293aa). 1934 год.
Оскар Рутесвард. «Opus 2В». 1940 год.
Мауриц Корнелиус Эшер. «Восхождение и спуск».
Роджер Пенроуз. «Невозможный треугольник». 1954 год.
Построение «невозможного треугольника».
Скульптура «Невозможный треугольник», вид с разных сторон. Она построена из криволинейных элементов и выглядит невозможной только из одной точки.
«Mail to» (Р1-4). Рисунок автора; тушь, карандаш. На рисунке — хорошо известный символ электронной почты @. Он сложен из реальных кирпичиков, но пересечение образованных ими линий невозможно.
Илл. 1. Морфологическая таблица классификации невозможных объектов.
Человек начинает осмотр картины с нижнего левого угла (1), затем переводит взгляд сначала к середине (2), а потом в точку 3.
В зависимости от направления взгляда мы видим разные объекты.
«Helvetia» («Швейцария»). Рисунок автора. Компьютерная обработка.
Невозможный алфавит — комбинация из возможных и невозможных фигур, среди которых есть даже элемент рамки. Рисунок автора.
«Дверь» (Р4-1). Рисунок автора; тушь, карандаш. Комбинация из двухмерных и трехмерных объектов.
Наука и жизнь // Иллюстрации
«Москва» (схема линий метрополитена) и «Две линии судьбы». Рисунки автора; компьютерная обработка. 2003 год. Рисунки демонстрируют новые возможности для построения схем и графиков.
Наука и жизнь // Иллюстрации
Куб в кубе («Три улитки»). Повернутое изображение обладает большей степенью «невозможности», чем исходное.
«Чертова вилка». На основе этой фигуры создано множество невозможных изображений.
Что мы видим — пирамиду или проем?
«Лабиринт (План пирамиды)». Рисунок автора; тушь, карандаш. 2003 год.
‹
›
Немного истории
Картины с искаженной перспективой встречаются уже в начале первого тысячелетия. На миниатюре из книги Генриха II, созданной до 1025 года и хранящейся в баварской государственной библиотеке в Мюнхене, нарисована Мадонна с младенцем. На картине изображен свод, состоящий из трех колонн, причем средняя колонна по законам перспективы должна располагаться впереди Мадонны, но находится за ней, что придает картине эффект сюрреалистичности. Мы, к сожалению, никогда не узнаем, был ли этот прием сознательным поступком художника или же его ошибкой.
Изображения невозможных фигур, не как сознательное направление в живописи, а как приемы, усиливающие эффект от восприятия изображения, встречаются у ряда живописцев Средних веков. На полотне Питера Брейгеля (Pieter Breughel) «Сорока на виселице», созданном в 1568 году, видна виселица невозможной конструкции, которая придает эффект всей картине в целом. На широко известной гравюре английского художника XVIII века Вильяма Хогарта (William Hogarth) «Фальшивая перспектива» показано, к какому абсурду может привести художника незнание законов перспективы.
В начале XX века художник Марсель Дюшамп (Marcel Duchamp) нарисовал рекламную картину «Apolinere enameled» (1916-1917), хранящуюся в Филадельфийском музее искусства. В конструкции кровати на полотне можно разглядеть невозможные трех- и четырехугольники.
Основателем направления невозможного искусства — имп-арта (imp-art, impossible art) по праву называют шведского художника Оскара Рутесварда (Oscar Reutersvard). Первая невозможная фигура «Opus 1» (N 293aa) нарисована мастером в 1934 году. Треугольник составлен из девяти кубиков. Опыты с необычными объектами художник продолжил и в 1940 году создал фигуру «Opus 2B», представляющую собой редуцированный невозможный треугольник, состоящий всего из трех кубиков. Все кубики реальны, но их расположение в трехмерном пространстве невозможно.
Этот же художник создал и прототип «невозможной лестницы» (1950). Самую известную классическую фигуру «Невозможный треугольник» английский математик Роджер Пенроуз (Roger Penrose) сотворил в 1954 году. Он использовал линейную перспективу, а не параллельную, как Рутесвард, что придало картине глубину и выразительность и, следовательно, большую степень невозможности.
В 1958 году Роджер Пенроуз опубликовал статью о невозможных фигурах в «Британском журнале психологии». Статья стала первой теоретической работой в этой области и послужила толчком для развития и популяризации картин в стиле имп-арта.
Наиболее известным художником имп-арта стал М. К. Эшер (M. C. Escher). Среди наиболее известных его произведений — картины «Водопад» («Waterfall») (1961) и «Восхождение и спуск» («Ascending and Descending»). Художник использовал эффект «бесконечной лестницы», открытый Рутесвардом и в дальнейшем дополненный Пенроузом. На полотне изображены два ряда человечков: при движении по часовой стрелке человечки постоянно поднимаются, а при движении против часовой стрелки спускаются.
Немного геометрии
Существует множество способов создания оптических иллюзий (от латинского слова «iliusio» — ошибка, заблуждение — неадекватное восприятие предмета и его свойств). Одним из наиболее эффектных является направление имп-арта, основанное на изображениях невозможных фигур. Невозможные объекты представляют собой рисунки на плоскости (двухмерные изображения), исполненные так, что у зрителя создается впечатление о невозможности существования подобной структуры в нашем реальном трехмерном мире. Классическая, как уже говорилось, и одна из самых простых подобных фигур — невозможный треугольник. Каждая часть фигуры (углы треугольника) по отдельности существует в нашем мире, но их комбинация в трехмерном пространстве невозможна. Восприятие всей фигуры как композиции неправильных соединений между ее реальными частями ведет к обманчивому эффекту невозможной структуры. Взгляд скользит по граням невозможной фигуры и не способен воспринять ее как логическое целое. В действительности взгляд пытается восстановить реальную трехмерную структуру (см. рисунок), но наталкивается на несоответствие.
С геометрической точки зрения невозможность треугольника состоит в том, что три балки, соединенные попарно одна с другой, но по трем разным осям декартовой системы координат, образуют замкнутую фигуру!
Процесс восприятия невозможных объектов делится на два этапа: опознание фигуры как трехмерного объекта и осознание «неправильности» объекта и невозможности его существования в трехмерном мире.
Существование невозможных фигур
Многие полагают, что невозможные фигуры действительно невозможны и их нельзя создать в реальном мире. Но надо помнить, что любой рисунок на листе бумаги — это проекция трехмерной фигуры. Следовательно, любая фигура, нарисованная на листе бумаги, должна существовать в трехмерном пространстве. Невозможные объекты на картинах представляют собой проекции трехмерных объектов, а значит, объекты можно реализовать в виде скульптурных композиций (трехмерных объектов). Существует множество способов их создания. Один из них — использование кривых линий в качестве сторон невозможного тре-угольника. Созданная скульптура выглядит невозможной только из единственной точки. Из этой точки кривые стороны выглядят прямыми, и поставленная цель будет достигнута — создан реальный «невозможный » объект.
О пользе имп-арта
Оскар Рутесвард рассказывает в книге «Omojliga figurer» (есть русский перевод) об использовании рисунков имп-арта для психотерапии. Он пишет, что картины своими парадоксами вызывают удивление, заостряют внимание и желание расшифровать. В Швеции их применяют в зубоврачебной практике: рассматривая картины в приемной, пациенты отвлекаются от неприятных мыслей перед кабинетом стоматолога. Вспоминая, сколько времени приходится ждать приема в различного рода российских бюрократических и иных заведениях, можно предположить, что невозможные картины на стенах приемных могут скрашивать время ожидания, успокаивая посетителей и тем самым снижая социальную агрессию. Другим вариантом была бы установка в приемных игровых автоматов или, к примеру, манекенов с соответствующими физиономиями в качестве мишеней для дартса, но, к сожалению, подобного рода новации в России никогда не поощрялись.
Использование феномена восприятия
Можно ли как-нибудь усилить эффект невозможности? «Невозможнее» ли одни объекты, чем другие? И тут на помощь приходят особенности человеческого восприятия. Психологами установлено, что глаз начинает осмотр объекта (картины) с левого нижнего угла, затем взгляд скользит направо к центру и опускается в правый нижний угол картины. Такая траектория, возможно, связана с тем, что наши предки при встрече с противником сначала смотрели на самую опасную правую руку, а затем взгляд перемещался влево, на лицо и фигуру. Таким образом, художественное восприятие будет существенно зависеть от того, как строится композиция картины. Эта особенность в Средние века ярко проявилась при изготовлении гобеленов: их рисунок был зеркальным отражением оригинала, и впечатление, которое производят гобелены и оригиналы, различается.
Данное свойство можно с успехом использовать при создании творений с невозможными объектами, увеличивая или уменьшая «степень невозможности». Открывается также перспектива получать интересные композиции с использованием компьютерных технологий либо из нескольких картин, повернутых (может быть, с использованием различного вида симметрий) одна относительно другой, создающих у зрителей различное впечатление от объекта и более глубокое понимание сущности замысла, либо из одной, поворачивающейся (постоянно или рывками) при помощи нехитрого механизма на некоторые углы.
Такое направление можно назвать полигональным (многоугольным). На иллюстрациях представлены изображения, повернутые одно относительно другого. Композиция создавалась следующим образом: рисунок на бумаге, выполненный тушью и карандашом, сканировался, переводился в цифровую форму и обрабатывался в графическом редакторе. Можно отметить закономерность — повернутая картинка обладает большей «степенью невозможности», чем исходная. Это легко объяснимо: художник в процессе работы подсознательно стремится создать «правильное» изображение.
Комбинации, комбинации
Существует группа невозможных объектов, скульптурная реализация которых невозможна. Самая, пожалуй, известная из них — «невозможный трезубец», или «чертова вилка» (Р3-1). Если внимательно присмотреться к объекту, можно заметить, что три зубца постепенно переходят в два на общем основании, приводя к конфликту восприятия. Мы сравниваем число зубцов сверху и снизу и приходим к выводу о невозможности объекта. На основе «вилки» создано великое множество невозможных объектов, в том числе таких, где цилиндрическая на одном конце деталь становится квадратной на другом.
Помимо этой иллюзии существует много других видов оптических обманов зрения (иллюзии размера, движения, цвета и т.д.). Иллюзия восприятия глубины — одна из самых давнишних и известных оптических иллюзий. К этой группе принадлежит куб Неккера (1832), а в 1895 году Арманд Тьерри (Armand Thiery) опубликовал статью об особом виде невозможных фигур. В этой статье впервые нарисован объект, впоследствии получивший имя Тьерри и бесчисленное множество раз использованный художниками оп-арта. Объект состоит из пяти одинаковых ромбов со сторонами 60 и 120 градусов. На рисунке можно увидеть два куба, соединенные по одной поверхности. Если вести взгляд снизу вверх, отчетливо виден нижний куб с двумя стенками вверху, а если вести взгляд сверху вниз — верхний куб со стенками внизу.
Самая простая фигура из Тьерри-подобных — это, по-видимому, иллюзия «пирамида-проем» , представляющая собой правильный ромб с линией посередине. Нельзя сказать точно, что мы видим — пирамиду, возвышающуюся над поверхностью, или проем (впадину) на ней. Этот эффект использован в графике «Лабиринт (План пирамиды)» 2003 года. Картина получила диплом на международной математической конференции и выставке в Будапеште в 2003 году «Ars(Dis)Symmetrica’03». В работе использованы сочетания иллюзии восприятия глубины и невозможных фигур.
В заключение можно сказать, что направление имп-арт как составная часть оптического искусства активно развивается, и в ближайшее время нас, несомненно, ожидают новые открытия в этой области.
ЛИТЕРАТУРА
Рутесвард О. Невозможные фигуры. — М.: Стройиздат, 1990.
Сайт В. Алексеева www.impworld.narod.ru.
Сайт Д. Ракова www.rakov.de.
Подписи к иллюстрациям
Илл. 1. Таблица, построенная автором статьи, не претендует на полноту и строгий порядок, но дает возможность оценить все многообразие невозможных фигур. В таблице более 300 тысяч комбинаций различных элементов. В качестве иллюстраций использована графика автора статьи и материалы сайта Влада Алексеева.
Комментарии
*Под таким названием журнал вот уже без малого сорок лет публикует рисунки всяческих невозможных фигур и объектов. См. «Наука и жизнь» №№ 5, 8, 1969 г.; № 2, 1970 г.; № 1, 1979 г.; № 10, 1986 г.; № 11 1989 г.; № 8, 1994 г.
Как сделать невозможный треугольник. Что такое невозможный треугольник
Невозможный треугольник — один из удивительных математических парадоксов. При первом взгляде на него ни на секунду не можешь усомниться в его реальном существовании. Однако это только иллюзия, обман. А саму возможность такой иллюзии объяснит нам математика!
Открытие Пенроузов
В 1958 году Британский психологический журнал опубликовал статью Л. Пенроуза и Р. Пенроуза, в которой они ввели в рассмотрение новый тип оптической иллюзии, названной ими «невозможный треугольник».
Зрительно невозможный треугольник воспринимается как реально существующая в трехмерном пространстве конструкция, составленная из прямоугольных брусков. Но это всего лишь оптическая иллюзия. Построить реальную модель невозможного треугольника нельзя.
Статья Пенроузов содержала несколько вариантов изображения невозможного треугольника. — его «классическое» представление.
Из каких элементов строится невозможный треугольник?
Точнее, из каких элементов он кажется нам построенным? В основе конструкции лежит прямоугольный уголок, который получается соединением под прямым углом двух одинаковых прямоугольных брусков. Таких уголков требуется три штуки, а брусков, стало быть, шесть штук. Эти уголки надо определенным образом зрительно «соединить» один с другим так, чтобы они образовали замкнутую цепь. То, что получится, и есть невозможный треугольник.
Первый уголок поместим в горизонтальной плоскости. К нему присоединим второй уголок, направив одно из его ребер вверх. Наконец, к этому второму уголку пристроим третий уголок так, чтобы его ребро было параллельно исходной горизонтальной плоскости. При этом два ребра первого и третьего уголков будут параллельны и направлены в разные стороны.
Если считать брусок отрезком единичной длины, то концы брусков первого уголка имеют координаты, и, второго уголка — , и, третьего — , и. Мы получили реально существующую в трехмерном пространстве «закрученную» конструкцию.
А теперь попробуем мысленно посмотреть на нее из разных точек пространства. Представьте, как она выглядит из одной точки, из другой, из третьей. При изменении точки наблюдения будет казаться, что два «концевых» ребра наших уголков перемещаются относительно друг друга. Не трудно подобрать такое положение, при котором они соединятся.
Но если расстояние между ребрами намного меньше расстояния от уголков до точки, из которой мы рассматриваем нашу конструкцию, то оба ребра будут иметь для нас одинаковую толщину, и возникнет представление о том, что эти два ребра — на самом деле продолжение один другого. Такая ситуация изображена 4.
Кстати, если мы одновременно посмотрим на отражение конструкции в зеркале, то там замкнутой цепи не увидим.
А из выбранной точки наблюдения мы собственными глазами видим свершившееся чудо: имеется замкнутая цепь из трех уголков. Только не меняйте точку наблюдения, чтобы эта иллюзия не разрушилась. Теперь можно нарисовать видимый вам объект или поместить в найденную точку объектив фотоаппарата и получить фотографию невозможного объекта.
Первыми этим явлением заинтересовались Пенроузы. Они использовали возможности, которые возникают при отображении трехмерного пространства и трехмерных объектов на двумерную плоскость и обратили внимание на некоторую неопределенность проектирования — незамкнутая конструкция из трех уголков может восприниматься как замкнутая цепь.
Доказательство невозможности треугольника Пенроузов
Анализируя особенности двумерного изображения трехмерных объектов на плоскости, мы поняли, как особенности этого отображения приводят к невозможному треугольнику. Возможно, кого-то заинтересует и чисто математическое доказательство.
Доказать, что невозможный треугольник не существует, крайне легко, ведь каждый его угол прямой, а их сумма равна 270 градусов вместо «положенных» 180 градусов.
Более того, даже если мы будем рассматривать невозможный треугольник, склеенный из уголков, меньших 90 градусов, то в этом случае можно доказать, что невозможный треугольник не существует.
Мы видим три плоские грани. Они попарно пересекаются вдоль прямых. Плоскости, содержащие эти грани, попарно ортогональны, поэтому они пересекаются в одной точке.
Кроме того, через эту точку должны проходить линии взаимного пересечения плоскостей. Следовательно, прямые линии 1, 2, 3 должны пересекаться в одной точке.
Но это не так. Следовательно, представленная конструкция невозможна.
«Невозможное» искусство
Судьба той или иной идеи — научной, технической, политической — зависит от очень многих обстоятельств. И далеко не в последнюю очередь от того, в какой именно форме эта идея будет представлена, в каком образе она явится широкой публике. Будет ли воплощение сухим и сложным для восприятия, или, наоборот — явление идеи будет ярким, захватывающим наше внимание даже вопреки нашей воле.
У невозможного треугольника судьба счастливая. В 1961 г. голландский художник Мориц Эшер завершил литографию, названную им «Водопад» . Художник прошел немалый, но быстрый путь от самой идеи невозможного треугольника до ее потрясающего художественного воплощения. Напомним, статья Пенроузов появилась в 1958 году.
В основе «Водопада» — два невозможных треугольника, показанных. Один треугольник — большой, внутри него расположен другой треугольник. Может показаться, что изображены три одинаковых невозможных треугольника. Но не в этом суть, представленная конструкция достаточно сложная.
При беглом взгляде ее абсурдность не всякому и не сразу будет видна, так как каждое соединение, представленное, — возможно. как говорят, локально, то есть на небольшом участке чертежа, такая конструкция осуществима… Но в целом она невозможна! Ее отдельные куски не стыкуются, не согласуются друг с другом.
А чтобы понять это, мы должны затратить определенные интеллектуальные и зрительные усилия.
Давайте совершим путешествие по граням конструкции. Этот путь замечателен тем, что вдоль него, как нам кажется, уровень относительно горизонтальной плоскости остается неизменным. Двигаясь вдоль этого пути, мы ни вверх не поднимаемся, ни вниз не опускаемся.
И все-то было бы хорошо, привычно, если бы в конце пути — а именно в точке — мы не обнаружили бы, что относительно исходной, начальной точки мы каким-то таинственным немыслимым образом поднялись вверх по вертикали!
Чтобы прийти к этому парадоксальному результату, мы должны выбрать именно этот путь, да еще следить за уровнем относительно горизонтальной плоскости… Непростая задача. В ее решении Эшеру на помощь пришла…вода. Вспомним песню о движении из чудесного вокального цикла Франца Шуберта «Прекрасная Мельничиха»:
И сначала в воображении, а затем под рукой замечательного мастера голые и сухие конструкции превращаются в акведуки, по которым бегут чистые и быстрые потоки воды. Их движение захватывает наш взгляд, и вот уже помимо нашей воли мы устремляемся по течению, следуя всем поворотам и изгибам пути, вместе с потоком срываемся вниз, падаем на лопасти водяной мельницы, затем снова устремляемся вниз по течению…
Обходим этот путь раз, другой, третий… и только тут осознаем: двигаясь в н и з, мы каким-то фантастическим образом подымаемся в в е р х! Первоначальное удивление перерастает в некий интеллектуальный дискомфорт. Кажется, что мы стали жертвой какого-то розыгрыша, объектом какой-то шутки, которую пока еще не поняли.
И снова мы повторяем этот путь по странному водоводу, теперь уже не спеша, с осторожностью, словно опасаясь подвоха со стороны парадоксальной картинки, критически воспринимая все то, что происходит на этом таинственном пути.
Мы пытаемся разгадать ту тайну, которая поразила нас, и не можем вырваться из ее плена до тех пор, пока не найдем скрытую пружину, лежащую в ее основе и приводящую немыслимую круговерть в безостановочное движение.
Художник специально подчеркивают, навязывает нам восприятие его картины как изображения реальных трехмерных объектов. Объемность подчеркивается изображением вполне реальных многогранников на башнях, кирпичной кладкой с аккуратнейшим представлением каждого кирпича в стенах акведука, поднимающимися вверх террасами с садами на заднем плане. Все призвано убедить зрителя в реальности происходящего. И благодаря искусству и великолепной технике эта цель достигнута.
Когда же мы вырываемся из плена, в который попадает наше сознание, начинаем сравнивать, сопоставлять, анализировать, то находим что основа, источник этой картины скрыты в особенностях проектирования.
И мы получили еще одно — «физическое» доказательство невозможности «невозможного треугольника»: если бы такой треугольник существовал, то существовал бы и «Водопад» Эшера, который есть по сути дела вечный двигатель. Но вечный двигатель невозможен, следовательно, невозможен и «невозможный треугольник». И, наверное, это «доказательство» — самое убедительное.
Что сделало Морица Эшера феноменом, уникумом, который не имел в искусстве явных предшественников и которому невозможно подражать? Это комбинация плоскостей и объемов, пристальное внимание к причудливым формам микромира — живого и неживого, к необычным точкам зрения на обычные вещи. Основной эффект его композиций — эффект появления невозможных отношений между знакомыми предметами. Эти ситуации с первого взгляда могут и напугать, и вызвать улыбку. Можно радостно смотреть на забаву, которую предлагают художник, а можно серьезно погрузиться в глубины диалектики.
Мориц Эшер показал, что мир может быть совсем не таким, каким мы его видим и привыкли воспринимать — надо только посмотреть на него под другим, новым углом зрения!
Мориц Эшер
Морицу Эшеру более повезло как ученому, чем как художнику. В его гравюрах и литографиях видели ключи к доказательству теорем или оригинальные контрпримеры, бросающие вызов здравому смыслу. На худой конец их воспринимали как прекрасные иллюстрации к научным трактатам по кристаллографии, теории групп, когнитивной психологии или компьютерной графике. Мориц Эшер работал в области соотношений пространства, времени и их тождественности, использовал базовые образцы мозаик, применяя к ним трансформации. Это великий мастер оптических обманов. Гравюры Эшера изображают не мир формул, а красоту мира. Их интеллектуальный склад коренным образом противоположен алогичным творениям сюрреалистов.
Голландский художник Мориц Корнелиус Эшер родился 17 июня 1898 года в провинции Голландии. В доме, котором родился Эшер, сейчас находится музей.
С 1907 года Мориц учится плотницкому делу и игре на пианино, обучается в средней школе. Оценки по всем предметам у Морица были плохими за исключением рисования. Учитель рисования заметил талант у мальчика и научил его делать гравюры по дереву.
В 1916 году Эшер выполняет свою первую графическую работу, гравюру на фиолетовом линолеуме — портрет своего отца Г. А. Эшера. Он посещает мастерскую художника Герта Стигемана, имевшего печатный станок. На этом станке были отпечатаны первые гравюры Эшера.
В 1918-1919 годах Эшер посещает Технический колледж в голландском городке Дельфт. Он получает отсрочку от службы в армии для продолжения учебы, но из-за плохого здоровья Мориц не справился с учебным планом, и был отчислен. В результате, он так и не получил высшего образования. Он учится в Школе архитектуры и орнамента в городе Гаарлеме, Там он берет уроки рисования у Самюэля Джесерена де Месквита, оказавшего формирующее влияние на жизнь и творчество Эшера.
В 1921 году семья Эшера посетила Ривьеру и Италию. Очарованный растительностью и цветами средиземноморского климата, Мориц сделал детальные рисунки кактусов и оливковых деревьев. Он зарисовал много эскизов горных пейзажей, которые позже легли в основу его работ. Позже он будет постоянно возвращаться в Италию, которая будет служить для него источником вдохновения.
Эшер начинает экспериментировать в новом для себя направлении, уже тогда в его работах встречаются зеркальные отображения, кристаллические фигуры и сферы.
Конец двадцатых годов оказалась очень плодотворным периодом для Морица. Его работы демонстрировались на многих выставках Голландии, а к 1929 году его популярность достигла такого уровня, что за один год прошли пять персональных выставок в Голландии и Швейцарии. Именно в этот период картины Эшера впервые были названы механическими и «логическими».
Эшер много путешествует. Живет в Италии и Швейцарии, Бельгии. Изучает мавританские мозаики, делает литографии, гравюры. На основе эскизов путешествий он создает свою первую картину невозможной реальности Still Life with Street.
В конце тридцатых годов Эшер продолжает эксперименты с мозаиками и трансформациями. Он создает мозаику в виде двух птиц, летящих навстречу друг другу, которая легла в основу картины «День и ночь».
В мае 1940 года нацисты оккупируют Голландию и Бельгию, а 17 мая в зону оккупации попадает и Брюссель, где на тот момент проживал Эшер с семьей. Они находят дом в Варне и переезжают туда в феврале 1941 года. До конца своих дней Эшер будет жить в этом городе.
В 1946 году Эшер начинает интересоваться технологией глубокой печати. И хотя эта технология была намного сложнее той, которой пользовался Эшер до этого и требовала больше времени для создания картины, но результаты были впечатляющими — тонкие линии и точная передача теней. Одна из самых известный работ в технике глубокой печати «Капля росы» была закончена в 1948 году.
В 1950 году Мориц Эшер обретает популярность как лектор. Тогда же в 1950 году проходит его первая персональная выставка в Соединенных Штатах и начинают покупаться его работы. 27 апреля 1955 года Морица Эшера посвящают в рыцари и он становится дворянином.
В середине 50-х годов Эшер объединяет мозаику с фигурами, уходящими в бесконечность.
В начале 60-х годов вышла в свет первая книга с работами Эшера «Grafiek en Tekeningen», в которой 76 работ прокомментировал сам автор. Книга помогла обрести понимание среди математиков и кристаллографов, включая некоторых из России и Канады.
В августе 1960 Эшер прочитал лекцию по кристаллографии в Кембридже. Математические и кристаллографические аспекты творчества Эшера становятся очень популярными.
В 1970 году после новой серии операций Эшер переехал в новый дом в Ларене, в котором была студия, но плохое здоровье не давало возможности много работать.
В 1971 году Мориц Эшер скончался в возрасте 73 лет. Эшер прожил достаточно долго, чтобы увидеть книгу «Мир М. К. Эшера», переведенную на английский язык и остался ею очень доволен.
Различные невозможные картины встречаются на сайтах математиков и программистов. Самой полной версией из просмотренных нами, на наш взгляд, является сайт Влада Алексеева
На этом сайте представлены не только широко известные картины, в том числе и М. Эшера, но, и анимированные изображения, забавные рисунки невозможных животных, монет, марок и т.п. Этот сайт живет, он периодически обновляется и пополняется удивительными рисунками.
Дмитрий Раков
Наши глаза познавать не умеют
природу предметов.
А потому не навязывай им
заблуждений рассудка.
Тит Лукреций Кар
Расхожее выражение «обман зрения» по сути своей неверно. Глаза не могут обмануть нас, поскольку являются только промежуточным звеном между объектом и мозгом человека. Обман зрения обычно возникает не из-за того, что мы видим, а из-за того, что бессознательно рассуждаем и невольно заблуждаемся: «посредством глаза, а не глазом смотреть на мир умеет разум».
Одним из наиболее эффектных направлений художественного течения оптического искусства (op-art) является имп-арт (imp-art, impossible art) , основанный на изображении невозможных фигур. Невозможные объекты представляют собой рисунки на плоскости (любая плоскость двухмерна), изображающие трехмерные структуры, существование которых в реальном трехмерном мире невозможно. Классической и одной из самых простых фигур является невозможный треугольник.
В невозможном треугольнике каждый угол сам по себе является возможным, но парадокс возникает, когда мы рассматриваем его целиком. Стороны треугольника направлены одновременно и к зрителю, и от него, поэтому отдельные его части не могут образовать реальный трехмерный объект.
Собственно говоря, наш мозг интерпретирует рисунок на плоскости как трехмерную модель. Сознание задает «глубину», на которой находится каждая точка изображения. Наши представления о реальном мире сталкиваются с противоречием, с некоей непоследовательностью, и приходится делать некоторые допущения:
- прямые двухмерные линии интерпретируются как прямые трехмерные линии;
- двухмерные параллельные линии интерпретируются как трехмерные параллельные линии;
- острые и тупые углы интерпретируются как прямые углы в перспективе;
- внешние линии рассматриваются как граница формы. Эта внешняя граница чрезвычайно важна для построения полного изображения.
Человеческое сознание сначала создает общее изображение предмета, а затем рассматривает отдельные части. Каждый угол совместим с пространственной перспективой, но, воссоединившись, они образуют пространственный парадокс. Если закрыть любой из углов треугольника, то невозможность пропадает.
История невозможных фигур
Ошибки пространственного построения встречались у художников и тысячу лет тому назад. Но первым построившим и проанализировавшим невозможные объекты по праву считается шведский художник Оскар Рейтерсвэрд (Oscar Reutersvärd) , нарисовавший в 1934 г. первый невозможный треугольник, состоявший из девяти кубиков.
«Москва», графика (тушь, карандаш), 50х70 см, 2003 г. |
Независимо от Рейтерсвэрда английский математик и физик Роджер Пенроуз повторно открывает невозможный треугольник и публикует его изображение в британском журнале по психологии в 1958 г. В иллюзии использована «ложная перспектива». Иногда такую перспективу называют китайской, так как подобный способ рисования, когда глубина рисунка «двусмысленна», часто встречался в работах китайских художников.
На рисунке «Три улитки» маленький и большой кубы ориентированы не в нормальной изометрической проекции. Меньший по размерам куб сопрягается с большим по передним и задним сторонам, а значит, следуя трехмерной логике, он имеет такие же размеры некоторых сторон, что и большой. Сначала рисунок кажется реальным представлением твердого тела, но по мере анализа выявляются логические противоречия этого объекта.
Рисунок «Три улитки» продолжает традиции второй знаменитой невозможной фигуры — невозможного куба (ящика).
«IQ», графика (тушь, карандаш), 50х70 см, 2001 г. | «Вверх и вниз», М. Эшер |
Сочетание различных объектов можно найти и в не совсем серьезном рисунке «IQ» (intelligence quotient — коэффициент интеллекта). Интересно, что некоторые люди не воспринимают невозможные объекты из-за того, что их сознание не способно отождествлять плоские картины с трехмерными объектами.
Дональд Е. Симанек высказал мнение, что понимание визуальных парадоксов является одним из признаков того вида творческого потенциала, которым обладают лучшие математики, ученые и художники. Многие работы с парадоксальными объектами можно отнести к «интеллектуальным математическим играм». Современная наука говорит о 7-мерной или 26-мерной модели мира. Моделировать подобный мир можно только с помощью математических формул, человек представить его просто не в состоянии. И здесь оказываются полезными невозможные фигуры. С философской точки зрения они служат напоминанием о том, что любые явления (в системном анализе, науке, политике, экономике и т. д.) следует рассматривать во всех сложных и неочевидных взаимосвязях.
Разнообразные невозможные (и возможные) объекты представлены на картине «Невозможный алфавит».
Третьей популярной невозможной фигурой является невероятная лестница, созданная Пенроузом. Вы будете по ней непрерывно или подниматься (против часовой стрелки) или спускаться (по часовой стрелке). Модель Пенроуза легла в основу знаменитой картины М. Эшера «Вверх и вниз» («Ascending and Descending») .
Существует еще одна группа объектов, реализовать которые не получится. Классической фигурой является невозможный трезубец, или «чертова вилка» .
При внимательном изучении картинки можно заметить, что три зубца постепенно переходят в два на едином основании, что приводит к конфликту. Мы сравниваем количество зубцов сверху и снизу и приходим к выводу о невозможности объекта.
Есть ли какая-либо более существенная польза от невозможных рисунков, чем игра ума? В некоторых больницах специально развешивают изображения невозможных объектов, поскольку их рассматривание способно надолго занять больных. Логично было бы развесить такие рисунки в кассах, в милиции и прочих местах, где ожидание своей очереди длится порой целую вечность. Рисунки могли бы выступить в роли этаких «хронофагов», т.е. пожирателей времени.
Приветствую вас уважаемые читатели блога сайт. На связи Рустам Закиров и у меня для вас очередная статья, тема которой как нарисовать треугольник Пенроуза. Сегодня я хочу вам показать как легко и просто можно нарисовать невозможный треугольник. Мы с вами нарисуем два рисунка этого треугольника, один будет обычный, а второй самый настоящий 3д рисунок. И все это будет на удивление просто. Настоящий 3д рисунок этого треугольника вы сможете . Сомневаюсь, что такое вам покажут где-то еще, поэтому читайте статью до конца и очень внимательно.
Для наших рисунков нам как всегда понадобятся: листок бумаги простые карандаши (желательно один «средний», «другой мягкий») и несколько цветных карандашей или фломастеров.
Как легко рисовать любые 3д рисунки.Эту невозможный треугольник я вытащил вот из этой обычной картинки, которую просто нашел в интернете. Вот она.
А затем за пару минут с помощью перевел ее в 3д. Так можно переводить в 3д почти любые изображения. Кто хочет научиться так же, жмите сюда .
А мы переходим к нашему рисунку.
Рисуем обычный рисунок треугольник.ШАГ №1. Переводим c экрана монитора.
Для того чтобы вам нарисовать треугольник, вам нужно будет сделать следующее. Вы берете ваш листок бумаги и прислоняете ее к треугольнику на экране монитора, и просто переводите его.
А так как наш треугольник совсем не сложный, достаточно поставить только основные точки во всех его углах.
А затем смотрим на оригинал и по соединяем эти точки при помощи линейки. У меня получилось вот так.
Все наш треугольник готов. Можно оставить так, но давайте мы его еще немножечко разукрасим. Я это сделал с помощью цветных карандашей. После того как мы полностью разукрасили наш треугольник, еще раз полностью обводим его простым мягким карандашом.
На этом наш обычный треугольник Пенроуза полностью готов, и мы переходим к этого же треугольника.
Рисуем 3д рисунок треугольник.ШАГ №1. Переводим.
Действуем по той же самой схеме, как и с обычным рисунком. Я даю вам готовый, уже переведенный в 3д формат треугольник. Вот он.
А вы переводите его. Делаем все так же как с обычным рисунком. Вы берете свой листок, прислоняете его к на экране монитора, листок просвечивает, и вы просто переводите готовый 3д рисунок на свой листок.
Вот что вышло у меня.
Размер треугольника можно увеличить или уменьшить. Для этого нужно просто изменить масштаб вашего монитора. Зажмите клавишу Ctrl и покрутите колесико мышки.
Можно смело сказать, что наш 3д рисунок уже готов. Ушло на него у меня примерно 3 минуты. На этом в принципе можно смело закончить, но давайте еще разукрасим наш треугольник.
Невозможная фигура — один из видов оптических иллюзий, фигура, кажущаяся на первый взгляд проекцией обычного трёхмерного объекта,
при внимательном рассмотрении которой становятся видны противоречивые соединения элементов фигуры. Создаётся иллюзия невозможности существования такой фигуры в трёхмерном пространстве.
Невозможные фигуры
Наиболее известные невозможные фигуры: невозможный треугольник, бесконечная лестница и невозможный трезубец.
Невозможный треугольник Перроуза
Иллюзия Рейтерсварда (Reutersvard, 1934)
Обратите внимание также и на то, что изменение организации «фигура-фон» сделало возможным восприятие расположенной в центре «звезды».
_________
Невозможный куб Эшера
На самом деле все невозможные фигуры могут существовать в реальном мире. Так, все объекты, нарисованные на бумаге, являются проекциями трёхмерных объектов, следовательно, можно создать такой трёхмерный объект, который при проецировании на плоскость будет выглядеть невозможным. При взгляде на такой объект из определённой точки он также будет выглядеть невозможным, но при обзоре с любой другой точки эффект невозможности будет теряться.
13-метровая скульптура невозможного треугольника из алюминия была воздвигнута в 1999 году в городе Перт (Австралия). Здесь невозможный треугольник был изображен в наиболее общей форме — в виде трёх балок, соединённых друг с другом под прямыми углами.
Чёртова вилка
Среди всех невозможных фигур особое место занимает невозможный трезубец («чертова вилка»).
Если закрыть рукой правую часть трезубца, то мы увидим вполне реальную картину — три круглых зуба. Если закрыть нижнюю часть трезубца, то мы тоже увидим реальную картину — два прямоугольных зубца. Но, если рассматривать всю фигуру целиком, то получается что три круглых зубца постепенно превращаются в два прямоугольных.
Таким образом, можно увидеть, что передний и задний планы данного рисунка конфликтуют. То есть, то что было изначально на переднем плане уходит назад, а задний план (средний зуб) вылезает вперед. Кроме смены переднего и заднего планов в данном рисунке присутствует еще один эффект — плоские грани правой части трезубца становятся круглыми в левой.
Эффект невозможности достигается за счет того, что наш мозг анализирует контур фигуры и пытается подсчитать количество зубцов. Мозг сравнивает количество зубцов фигуры в левой и правой части рисунка, из-за чего возникает ощущение невозможности фигуры. Если количество зубцов у фигуры было значительно больше (например, 7 или 8), то этот парадокс был бы менее ярко выражен.
Некоторые книги утверждают, что невозможный трезубец принадлежит к классу невозможных фигур, которые не могут быть воссозданы в реальном мире. На самом деле это не так. ВСЕ невозможные фигуры можно увидеть в реальном мире, но невозможными они будут выглядеть только с одной единственной точки зрения.
______________
Невозможный слон
Сколько ног у слона?
Психолог из Стенфорда Роджер Шепард (Roger Shepard) использовал идею трезубца для своей картины невозможного слона.
______________
Лестница Пенроуза (бесконечная лестница, невозможная лестница)
Бесконечная лестница» — одна из самых известных классических невозможностей.
Представляет собой такую конструкцию лестницы, при которой в случае движения по ней в одном направлении (на рисунке к статье против часовой стрелки) человек будет бесконечно подниматься, а при движении в обратном — постоянно спускаться.
Другими словами, перед нами предстает лестница, ведущая, казалось бы, вверх или вниз, но при этом человек, шагающий по ней, не поднимается и не опускается. Завершив свой визуальный маршрут, он окажется в начале пути. Если бы вам в самом деле пришлось пройти по этой лестнице, вы бы бесцельно поднимались и спускались по ней бесконечное число раз. Можно назвать это нескончаемым сизифовым трудом!
С тех пор как Пенроузы опубликовали эту фигуру, она появлялась в печати чаще, чем какой-либо другой невозможный объект. «Бесконечную лестницу» можно встретить в книгах об играх, головоломках, иллюзиях, в учебниках по психологии и другим предметам.
«Восхождение и нисхождение»
«Бесконечной лесницей»» с успехом воспользовался художник Мауриц К. Эшер, на этот раз в своей чарующей литографии «Восхождение и нисхождение», созданной в 1960 году.
В этом рисунке, отражающем все возможности фигуры Пенроуза, вполне узнаваемая Бесконечная лестница аккуратно вписана в крышу монастыря. Монахи в капюшонах непрерывно движутся по лестнице в направлении по часовой стрелке и против нее. Они идут навстречу друг другу по невозможному пути. Им так и не удается ни подняться наверх, ни спуститься вниз.
Соответственно, «Бесконечная лестница» стала чаще ассоциироваться с Эшером, перерисовавшим ее, чем с Пенроузами, которые ее придумали.
Сколько тут полок?
Куда открыта дверь?
Наружу или вовнутрь?
Невозможные фигуры изредка появлялись на полотнах мастеров прошлого, например, такова виселица на картине Питера Брейгеля (Старшего)
«Сорока на виселице» (1568)
__________
Невозможная арка
Жос де Мей (Jos de Mey) — фламандский художник, обучался в Королевской Академии Изящных Искусств в Генте (Бельгия), а затем обучал студентов дизайну интерьеров и цвету на протяжении 39 лет. Начиная с 1968 года центром его внимания стало рисование. Он наиболее известен тщательным и реалистичным исполнением невозможных структур.
Наиболее известны невозможные фигуры в работах художника Мориса Эшера. При рассматривании таких рисунков каждая отдельная деталь кажется вполне правдоподобной, однако при попытке проследить линию, оказывается, что эта линия уже, например, не внешний угол стены, а внутренний.
«Относительность»
Эта литография голландского художника Эшера впервые была напечатана в 1953 году.
На литографии изображен парадоксальный мир, в котором не применяются законы реальности. В одном мире объединены три реальности, три силы тяжести направлены перпендикулярно одна другой.
Создана архитектурная структура, реальности объединены лестницами. Для людей, живущих в этом мире, но в разных плоскостях реальности, одна и та же лестница будет направлена или вверх или вниз.
«Водопад»
Эта литография голландского художника Эшера впервые была напечатана в октябре 1961 года.
В этой работе Эшера изображен парадокс — падающая вода водопада управляет колесом, которое направляет воду на вершину водопада. Водопад имеет структуру «невозможного» треугольника Пенроуза: литография была создана по мотивам статьи в «Британском журнале психологии».
Конструкция составлена из трёх перекладин, положенных друг на друга под прямым углом. Водопад на литографии работает как вечный двигатель. Кажется также, что обе башни одинаковы; на самом деле та, что справа, на этаж ниже левой башни.
Ну и более современные работы:о)
Бесконечная фотография
Удивительная стройка
Шахматная доска
Перевёрнутые картинки
Что вы видите: огромную ворону с добычей или рыбака в лодке, рыбу и остров с деревьями?
Распутин и Сталин
Молодость и старость
_________________
Вельможа и Королева
Невозможное все-таки возможно. И яркое подтверждение тому — невозможный треугольник Пенроуза. Открытый еще в прошлом веке, он до настоящего время часто встречается в научной литературе. И как бы это удивительно ни звучало, но его можно изготовить даже самостоятельно. И сделать это совсем несложно. Многие любители рисовать или собирать оригами уже давно смогли это сделать.
Значение треугольника Пенроуза
Существует несколько названий данной фигуры. Одни называют ее невозможным треугольником, другие — просто трибаром. Но чаще всего можно встретить определение именно «треугольник Пенроуза».
Понимают под данными определениями одну из основных невозможных фигур. Если судить по названию, то получить подобную фигуру в реальности невозможно. Но на практике было доказано, что сделать это все-таки можно. Вот только форму треугольника фигура будет принимать, если смотреть на нее с определенной точки под нужным углом. Со всех остальных сторон фигура вполне реальная. Она представляет собой три ребра куба. И изготовить подобную конструкцию легко.
История открытия
Треугольник Пенроуза был открыт в далеком 1934 году художником из Швеции Оскаром Реутерсвардом. Фигура была представлена в виде собранных вместе кубиков. В дальнейшем художника стали называть «отцом невозможных фигур».
Возможно, рисунок Реутерсварда так и остался бы малоизвестным. Но в 1954 году шведский математик Роджер Пенроуз написал статью о невозможных фигурах. Это стало вторым рождением треугольника. Правда, ученый представил его в более привычном виде. Он использовал не кубики, а балки. Три балки соединялись между собой под углом в 90 градусов. Отличие также было в том, что Реутерсвард использовал параллельную перспективу во время рисования. А Пенроуз применил перспективу линейного характера, что придало рисунку еще больше невозможности. Такой треугольник был опубликован в 1958 году в одном из британских журналов о психологии.
В 1961 году художник Мауриц Эшер (Голландия) создал одну из своих наиболее популярных литографий «Водопад». Создана она была под впечатлением, которое было вызвано статьей о невозможных фигурах.
В восьмидесятых годах прошлого столетия трибар и другие невозможные фигуры изображались на государственных почтовых марках Швеции. Продолжалось это на протяжении нескольких лет.
В конце прошлого века (а точнее в 1999 году) в Австралии была создана скульптура из алюминия, изображавшая невозможный треугольник Пенроуза. Она достигала в высоту 13 метров. Подобные скульптуры, только меньшие по размерам, встречаются и в других странах.
Невозможное в реальности
Как можно было уже догадаться, треугольник Пенроуза на самом деле не является треугольником в обычном понимании. Он представляет собой три грани куба. Но если смотреть с определенного угла, получается иллюзия треугольника за счет того, что на плоскости полностью совпадают 2 угла. Зрительно совмещается ближний от смотрящего и дальний углы.
Если быть внимательным, то можно догадаться, что трибар является не чем иным, как иллюзией. Реальный вид фигуры может выдать тень от нее. По ней видно, что на самом деле углы не соединяются. Ну и, конечно же, все становится понятно, если фигуру взять в руки.
Изготовление фигуры своими руками
Треугольник Пенроуза можно собрать самостоятельно. К примеру, из бумаги или картона. И помогут в этом схемы. Их нужно всего лишь распечатать и склеить. В Интернете представлено две схемы. Одна из них немного легче, другая — посложнее, но более популярная. Обе представлены на рисунках.
Треугольник Пенроуза станет интересным изделием, которое обязательно понравится гостям. Он точно не останется незамеченным. Первым этапом для его создания является подготовка схемы. Она переносится на бумагу (картон) с помощью принтера. А далее все еще проще. Ее нужно просто вырезать по периметру. На схеме уже имеются все необходимые линии. Удобнее будет работать с более плотной бумагой. Если схема распечатана на тонкой бумаге, а хочется чего-то поплотнее, заготовка просто прикладывается на выбранный материал и вырезается по контуру. Чтобы схема не сдвигалась, ее можно прикрепить скрепками.
Далее нужно определить те линии, по которым заготовка будет сгибаться. Как правило, на схеме она представлена пунктирной линией. Сгибаем деталь. Далее определяем места, которые подлежат склеиванию. Они промазываются клеем ПВА. Деталь соединяется в единую фигуру.
Деталь можно раскрасить. А можно изначально использовать цветной картон.
Невозможный треугольник своими руками. Парадоксальный мир невозможных объектов
руководитель
учитель математики
1.Введение ………………………………………………….……3
2. Историческая справка………………………………………..…4
3. Основная часть………………………………………………….7
4. Доказательство невозможности треугольника Пенроузов……9
5. Выводы………………………………………………..…………11
6. Литерарура……………………………………………….…… 12
Актуальность: Математика – предмет, изучающийся с первого по выпускной класс. Многие ученики считают его сложным, неинтересным и ненужным. Но если заглянуть за страницы учебника, почитать дополнительную литературу, математические софизмы и парадоксы, то изменится представление о математике, появится желание изучать больше, чем изучается в школьном курсе математики.
Цель работы:
показать, что существование невозможных фигур расширят кругозор, развивает пространственное воображение, применяется не только математиками, но и художниками.
Задачи :
1. Изучить литературу по данной теме.
2. Рассмотреть невозможные фигуры, сделать модель невозможного треугольника, доказать, что невозможный треугольник не существует на плоскости.
3. Сделать развертку невозможного треугольника.
4. Рассмотреть примеры использования невозможного треугольника в изобразительном искусстве.
Введение
Исторически, математика играла важную роль в изобразительном искусстве, в частности при изображении перспективы, подразумевающем реалистичное изображение трехмерной сцены на плоском холсте или листе бумаги. Согласно современным взглядам, математика и изобразительное искусство очень удаленные друг от друга дисциплины, первая — аналитическая, вторая — эмоциональная. Математика не играет очевидной роли в большинстве работ современного искусства, и, фактически, многие художники редко или вообще никогда не используют даже использование перспективы. Однако, есть много художников, у которых математика находится в центре внимания. Несколько значительных фигур в изобразительном искусстве проложили дорогу этим индивидуумам.
Вообще-то не существует каких-либо правил или ограничений на использование различных тем в математическом искусстве, таких как, невозможные фигуры, лента Мебиуса, искажение или необычные системы перспективы, а также фракталы.
История невозможных фигур
Невозможные фигуры — определённый вид математических парадоксов, состоящих из регулярных деталей, соединённых в нерегулярном комплексе. Если попытаться сформулировать определение термина «невозможные объекты» он бы, наверно, звучал примерно так — физически возможные фигуры, собранные в невозможном виде. Но смотреть на них гораздо приятнее, составления определений.
Ошибки пространственного построения встречались у художников и тысячу лет тому назад. Но первым построившим и проанализировавшим невозможные объекты по праву считается шведский художник Оскар Рейтерсвэрд, нарисовавший в 1934г. первый невозможный треугольник, состоявший из девяти кубиков.
Треугольник Рейтерсвэрда
Независимо от Рейтерсвэрда английский математик и физик Роджер Пенроуз повторно открывает невозможный треугольник и публикует его изображение в британском журнале по психологии в 1958г. В иллюзии использована «ложная перспектива». Иногда такую перспективу называют китайской, так как подобный способ рисования, когда глубина рисунка «двусмысленна», часто встречался в работах китайских художников.
Водопад Эшера
В 1961г. голландец М. Эшер, вдохновленный невозможным треугольником Пенроуза, создает известную литографию «Водопад». Вода на картине течет бесконечно, после водяного колеса она проходит дальше и попадает обратно в исходную точку. По сути, это изображение вечного двигателя, но любая попытка в реальности построить данную конструкцию обречена на неудачу.
Еще один пример невозможных фигур представлен на рисунке «Москва», на котором изображена не совсем обычная схема московского метрополитена. Сначала мы воспринимаем изображение целиком, но прослеживая взглядом отдельные линии, убеждаемся в невозможности их существования.
« Москва», графика (тушь, карандаш), 50х70 см, 2003 г.
Рисунок «Три улитки» продолжает традиции второй знаменитой невозможной фигуры — невозможного куба (ящика).
«Три улитки» Невозможный куб
Сочетание различных объектов можно найти и в не совсем серьезном рисунке «IQ» (коэффициент интеллекта). Интересно, что некоторые люди не воспринимают невозможные объекты из-за того, что их сознание не способно отождествлять плоские картины с трехмерными объектами.
Дональд Симанек высказал мнение, что понимание визуальных парадоксов является одним из признаков того вида творческого потенциала, которым обладают лучшие математики, ученые и художники. Многие работы с парадоксальными объектами можно отнести к «интеллектуальным математическим играм». Современная наука говорит о 7-мерной или 26-мерной модели мира. Моделировать подобный мир можно только с помощью математических формул, человек представить его просто не в состоянии. И здесь оказываются полезными невозможные фигуры.
Третьей популярной невозможной фигурой является невероятная лестница, созданная Пенроузом. Вы будете по ней непрерывно или подниматься (против часовой стрелки) или спускаться (по часовой стрелке). Модель Пенроуза легла в основу знаменитой картины М. Эшера «Вверх и вниз» Невероятная лестница Пенроуза
Невозможный трезубец
«Чертова вилка»
Существует еще одна группа объектов, реализовать которые не получится. Классической фигурой является невозможный трезубец, или «чертова вилка». При внимательном изучении картинки можно заметить, что три зубца постепенно переходят в два на едином основании, что приводит к конфликту. Мы сравниваем количество зубцов сверху и снизу и приходим к выводу о невозможности объекта. Если закрыть рукой верхнюю часть трезубца, то мы увидим вполне реальную картину — три круглых зуба. Если закрыть нижнюю часть трезубца, то мы тоже увидим реальную картину — два прямоугольных зубца. Но, если рассматривать всю фигуру целиком, то получается что три круглых зубца постепенно превращаются в два прямоугольных.
Таким образом, можно увидеть, что передний и задний планы данного рисунка конфликтуют. То есть, то, что было изначально на переднем плане уходит назад, а задний план (средний зуб) вылезает вперед. Кроме смены переднего и заднего планов в данном рисунке присутствует еще один эффект – плоские грани верхней части трезубца становятся круглыми в нижней части.
Основная часть.
Треугольник – фигура, состоящая из 3-х примыкающих частей, которая с помощью неприемлемых соединений этих частей создаёт иллюзию с математической точки зрения невозможной структуры. По-другому ещё этот трехбалочник называют угольником Пенроузов
Графический принцип, скрывающийся за этой иллюзией, обязан своей формулировкой психологу и его сыну Роджеру, физику. Угольник Пенрузов состоит из 3-х брусков квадратного сечения, расположенных в 3-х взаимно-перпендикулярных направлениях; каждый соединяется со следующим под прямым углом, всё это помещается в трёхмерном пространстве. Вот простой рецепт, как нарисовать эту изометрическую проекцию угольника Пенрузов:
· Обрежьте углы у равностороннего треугольника по линиям, параллельным сторонам;
· Проведите внутри обрезанного треугольника параллели к сторонам;
· Ещё раз обрежьте углы;
· Ещё раз проведите внутри параллели;
· Представьте себе в одном из углов какой-нибудь из двух возможных кубов;
· Продолжите его L — образной “штукой”;
· Прогоните эту конструкцию по кругу.
· Если бы мы выбрали другой куб, то угольник был бы “закручен” в другую сторону.
Развертка невозможного треугольника.
Линия перегиба
Линия разреза
Из каких элементов строится невозможный треугольник? Точнее, из каких элементов он кажется нам (именно кажется!) построенным? В основе конструкции лежит прямоугольный уголок, который получается соединением под прямым углом двух одинаковых прямоугольных брусков. Таких уголков требуется три штуки, а брусков, стало быть, шесть штук. Эти уголки надо определенным образом зрительно «соединить» один с другим так, чтобы они образовали замкнутую цепь. То, что получится, и есть невозможный треугольник.
Первый уголок поместим в горизонтальной плоскости. К нему присоединим второй уголок, направив одно из его ребер вверх. Наконец, к этому второму уголку пристроим третий уголок так, чтобы его ребро было параллельно исходной горизонтальной плоскости. При этом два ребра первого и третьего уголков будут параллельны и направлены в разные стороны.
А теперь попробуем мылено посмотреть на фигуру из разных точек пространства (или сделайте реальный макет из проволоки). Представьте, как она выглядит из одной точки, из другой, из третьей… При изменении точки наблюдения (или – что то же самое – при повороте конструкции в пространстве) будет казаться, что два «концевых» ребра наших уголков перемещаются относительно друг друга. Нетрудно подобрать такое положение, при котором они соединятся (конечно, при этом ближний уголок будет казаться нам толще, чем более длинный).
Но если расстояние между ребрами намного меньше расстояния от уголков до точки, из которой мы рассматриваем нашу конструкцию, то оба ребра будут иметь для нас одинаковую толщину, и возникнет представление о том, что эти два ребра – на самом деле продолжение один другого.
Кстати, если мы одновременно посмотрим на отображение конструкции в зеркале, то там замкнутой цепи не увидим.
А из выбранной точки наблюдения мы собственными глазами видим свершившееся чудо: имеется замкнутая цепь из трех уголков. Только не меняйте точку наблюдения, чтобы эта иллюзия (на самом деле именно иллюзия!) не разрушилась. Теперь можно нарисовать видимый вам объект или поместить в найденную точку объектив фотоаппарата и получить фотографию невозможного объекта.
Первыми этим явлением заинтересовались Пенроузы. Они использовали возможности, которые возникают при отображении трехмерного пространства и трехмерных объектов на двумерную плоскость (то есть при проектировании) и обратили внимание на некоторую неопределенность проектирования – незамкнутая конструкция из трех уголков может восприниматься как замкнутая цепь.
Как уже говорилось, из проволоки можно легко изготовить простейшую модель, в принципе поясняющую наблюдаемый эффект. Возьмите прямолинейный кусок проволоки и разделите его на три равные части. Затем согните крайние части так, чтобы они образовали прямой угол со средней частью, и поверните друг относительно друга на 900 . Теперь поворачивайте эту фигурку и наблюдайте за ней одним глазом. При некотором ее положении будет казаться, что она образована из замкнутого куска проволоки. Включив настольную лампу, можно понаблюдать за тенью, падающей на стол, которая также при определенном расположении фигуры в пространстве превращается в треугольник.
Впрочем, эту особенность проектирования можно наблюдать и в другой ситуации. Если сделать кольцо из проволоки, а затем его развести в разные стороны, то получится один виток цилиндрической спирали. Этот виток, разумеется, разомкнут. Но при проектировании его на плоскость можно получить замкнутую линию.
Мы еще раз убедились, что по проекции на плоскость, по рисунку трехмерная фигура восстанавливается неоднозначно. То есть в проекции заключена некоторая двусмысленность, недосказанность, которые и порождают «невозможный треугольник».
И можно сказать, что «невозможный треугольник» Пенроузов, как многие другие оптические иллюзии, стоит в одном ряду с логическими парадоксами и каламбурами.
Доказательство невозможности треугольника Пенроузов
Анализируя особенности двумерного изображения трехмерных объектов на плоскости, мы поняли, как особенности этого отображения приводят к невозможному треугольнику.
Доказать, что невозможный треугольник не существует, крайне легко, ведь каждый его угол прямой, а их сумма равна 2700 вместо «положенных» 1800.
Более того, даже если мы будем рассматривать невозможный треугольник, склеенный из уголков, меньших 900, то и в этом случае можно доказать, что невозможный треугольник не существует.
Рассмотрим ещё один треугольник, который состоит из нескольких частей. Если части, из которого он состоит, расположить по другому, то получится точно такой же треугольник, но с одним маленьким изъяном. Не будет хватать одного квадрата. Как такое возможно? Или все-таки это иллюзия.
https://pandia.ru/text/80/021/images/image016_2.jpg» alt=»Невозможный треугольник»>
Использование феномена восприятия
Можно ли как-нибудь усилить эффект невозможности? «Невозможнее» ли одни объекты, чем другие? И тут на помощь приходят особенности человеческого восприятия. Психологами установлено, что глаз начинает осмотр объекта (картины) с левого нижнего угла, затем взгляд скользит направо к центру и опускается в правый нижний угол картины. Такая траектория, возможно, связана с тем, что наши предки при встрече с противником сначала смотрели на самую опасную правую руку, а затем взгляд перемещался влево, на лицо и фигуру. Таким образом, художественное восприятие будет существенно зависеть от того, как строится композиция картины. Эта особенность в Средние века ярко проявилась при изготовлении гобеленов: их рисунок был зеркальным отражением оригинала, и впечатление, которое производят гобелены и оригиналы, различается.
Данное свойство можно с успехом использовать при создании творений с невозможными объектами, увеличивая или уменьшая «степень невозможности». Открывается также перспектива получать интересные композиции с использованием компьютерных технологий либо из нескольких картин, повернутых (может быть, с использованием различного вида симметрий) одна относительно другой, создающих у зрителей различное впечатление от объекта и более глубокое понимание сущности замысла, либо из одной, поворачивающейся (постоянно или рывками) при помощи нехитрого механизма на некоторые углы.
Такое направление можно назвать полигональным (многоугольным). На иллюстрациях представлены изображения, повернутые одно относительно другого. Композиция создавалась следующим образом: рисунок на бумаге, выполненный тушью и карандашом, сканировался, переводился в цифровую форму и обрабатывался в графическом редакторе. Можно отметить закономерность — повернутая картинка обладает большей «степенью невозможности», чем исходная. Это легко объяснимо: художник в процессе работы подсознательно стремится создать «правильное» изображение.
Заключение
Использование различных математических фигур и законов не ограничивается лишь вышеприведенными примерами. Внимательно изучая все приведенные фигуры, можно обнаружить и другие, не упомянутые в данной статье, геометрические тела или визуальную интерпретацию математических законов.
Математические изобразительное искусство процветает сегодня, и многие художники создают картины в стиле Эшера и в своем собственном стиле. Эти художники работают в различных направлениях, включая скульптуру, рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и компьютерную графику. А наиболее популярными темами математического искусства остаются многогранники, невозможные фигуры, ленты Мебиуса, искаженные системы перспективы и фракталы.
Выводы:
1. Итак, рассмотрение невозможных фигур развивают наше пространственное воображение, помогают «выйти» из плоскости в трехмерное пространство, что поможет при изучении стереометрии.
2. Модели невозможных фигур помогают рассматривать проекции на плоскости.
3. Рассмотрение математических софизмов и парадоксов прививают интерес к математике.
При выполнении данной работы
1. Я узнал — как, когда, где и кем была впервые рассмотрены невозможные фигуры, что таких фигур много, эти фигуры постоянно пытаются изображать художники.
2. Я, вместе с папой сделал модель невозможного треугольника, рассмотрел её проекции на плоскость, увидел парадокс данной фигуры.
3. Рассмотрел репродукции художников, на которых изображены данные фигуры
4. Мои исследования заинтересовали одноклассников.
В дальнейшем полученные знания я буду использовать на уроках математики и меня заинтересовали, а существуют ли другие парадоксы?
ЛИТЕРАТУРА
1. Кандидат технических наук Д. РАКОВ История невозможных фигур
2. Невозможные фигуры. — М.: Стройиздат, 1990.
3. Алексеева Иллюзии · 7 Comments
4. Дж. Тимоти Анрах. – Удивительные фигуры.
(ООО «Издательство АСТ», ООО «Издательство Астрель», 2002, 168 с.)
5. . – Графика.
(Арт-Родник, 2001)
6. Даглас Хофштадтер. – Гедель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда. (Издательский дом «Бахрах-М», 2001)
7. А. Коненко – Тайны невозможных фигур
(Омск:Левша, 199)
Приветствую вас уважаемые читатели блога сайт. На связи Рустам Закиров и у меня для вас очередная статья, тема которой как нарисовать треугольник Пенроуза. Сегодня я хочу вам показать как легко и просто можно нарисовать невозможный треугольник. Мы с вами нарисуем два рисунка этого треугольника, один будет обычный, а второй самый настоящий 3д рисунок. И все это будет на удивление просто. Настоящий 3д рисунок этого треугольника вы сможете . Сомневаюсь, что такое вам покажут где-то еще, поэтому читайте статью до конца и очень внимательно.
Для наших рисунков нам как всегда понадобятся: листок бумаги простые карандаши (желательно один «средний», «другой мягкий») и несколько цветных карандашей или фломастеров.
Как легко рисовать любые 3д рисунки.Эту невозможный треугольник я вытащил вот из этой обычной картинки, которую просто нашел в интернете. Вот она.
А затем за пару минут с помощью перевел ее в 3д. Так можно переводить в 3д почти любые изображения. Кто хочет научиться так же, жмите сюда .
А мы переходим к нашему рисунку.
Рисуем обычный рисунок треугольник.ШАГ №1. Переводим c экрана монитора.
Для того чтобы вам нарисовать треугольник, вам нужно будет сделать следующее. Вы берете ваш листок бумаги и прислоняете ее к треугольнику на экране монитора, и просто переводите его.
А так как наш треугольник совсем не сложный, достаточно поставить только основные точки во всех его углах.
А затем смотрим на оригинал и по соединяем эти точки при помощи линейки. У меня получилось вот так.
Все наш треугольник готов. Можно оставить так, но давайте мы его еще немножечко разукрасим. Я это сделал с помощью цветных карандашей. После того как мы полностью разукрасили наш треугольник, еще раз полностью обводим его простым мягким карандашом.
На этом наш обычный треугольник Пенроуза полностью готов, и мы переходим к этого же треугольника.
Рисуем 3д рисунок треугольник.ШАГ №1. Переводим.
Действуем по той же самой схеме, как и с обычным рисунком. Я даю вам готовый, уже переведенный в 3д формат треугольник. Вот он.
А вы переводите его. Делаем все так же как с обычным рисунком. Вы берете свой листок, прислоняете его к на экране монитора, листок просвечивает, и вы просто переводите готовый 3д рисунок на свой листок.
Вот что вышло у меня.
Размер треугольника можно увеличить или уменьшить. Для этого нужно просто изменить масштаб вашего монитора. Зажмите клавишу Ctrl и покрутите колесико мышки.
Можно смело сказать, что наш 3д рисунок уже готов. Ушло на него у меня примерно 3 минуты. На этом в принципе можно смело закончить, но давайте еще разукрасим наш треугольник.
Дмитрий Раков
Наши глаза познавать не умеют
природу предметов.
А потому не навязывай им
заблуждений рассудка.
Тит Лукреций Кар
Расхожее выражение «обман зрения» по сути своей неверно. Глаза не могут обмануть нас, поскольку являются только промежуточным звеном между объектом и мозгом человека. Обман зрения обычно возникает не из-за того, что мы видим, а из-за того, что бессознательно рассуждаем и невольно заблуждаемся: «посредством глаза, а не глазом смотреть на мир умеет разум».
Одним из наиболее эффектных направлений художественного течения оптического искусства (op-art) является имп-арт (imp-art, impossible art) , основанный на изображении невозможных фигур. Невозможные объекты представляют собой рисунки на плоскости (любая плоскость двухмерна), изображающие трехмерные структуры, существование которых в реальном трехмерном мире невозможно. Классической и одной из самых простых фигур является невозможный треугольник.
В невозможном треугольнике каждый угол сам по себе является возможным, но парадокс возникает, когда мы рассматриваем его целиком. Стороны треугольника направлены одновременно и к зрителю, и от него, поэтому отдельные его части не могут образовать реальный трехмерный объект.
Собственно говоря, наш мозг интерпретирует рисунок на плоскости как трехмерную модель. Сознание задает «глубину», на которой находится каждая точка изображения. Наши представления о реальном мире сталкиваются с противоречием, с некоей непоследовательностью, и приходится делать некоторые допущения:
- прямые двухмерные линии интерпретируются как прямые трехмерные линии;
- двухмерные параллельные линии интерпретируются как трехмерные параллельные линии;
- острые и тупые углы интерпретируются как прямые углы в перспективе;
- внешние линии рассматриваются как граница формы. Эта внешняя граница чрезвычайно важна для построения полного изображения.
Человеческое сознание сначала создает общее изображение предмета, а затем рассматривает отдельные части. Каждый угол совместим с пространственной перспективой, но, воссоединившись, они образуют пространственный парадокс. Если закрыть любой из углов треугольника, то невозможность пропадает.
История невозможных фигур
Ошибки пространственного построения встречались у художников и тысячу лет тому назад. Но первым построившим и проанализировавшим невозможные объекты по праву считается шведский художник Оскар Рейтерсвэрд (Oscar Reutersvärd) , нарисовавший в 1934 г. первый невозможный треугольник, состоявший из девяти кубиков.
«Москва», графика (тушь, карандаш), 50х70 см, 2003 г. |
Независимо от Рейтерсвэрда английский математик и физик Роджер Пенроуз повторно открывает невозможный треугольник и публикует его изображение в британском журнале по психологии в 1958 г. В иллюзии использована «ложная перспектива». Иногда такую перспективу называют китайской, так как подобный способ рисования, когда глубина рисунка «двусмысленна», часто встречался в работах китайских художников.
На рисунке «Три улитки» маленький и большой кубы ориентированы не в нормальной изометрической проекции. Меньший по размерам куб сопрягается с большим по передним и задним сторонам, а значит, следуя трехмерной логике, он имеет такие же размеры некоторых сторон, что и большой. Сначала рисунок кажется реальным представлением твердого тела, но по мере анализа выявляются логические противоречия этого объекта.
Рисунок «Три улитки» продолжает традиции второй знаменитой невозможной фигуры — невозможного куба (ящика).
«IQ», графика (тушь, карандаш), 50х70 см, 2001 г. | «Вверх и вниз», М. Эшер |
Сочетание различных объектов можно найти и в не совсем серьезном рисунке «IQ» (intelligence quotient — коэффициент интеллекта). Интересно, что некоторые люди не воспринимают невозможные объекты из-за того, что их сознание не способно отождествлять плоские картины с трехмерными объектами.
Дональд Е. Симанек высказал мнение, что понимание визуальных парадоксов является одним из признаков того вида творческого потенциала, которым обладают лучшие математики, ученые и художники. Многие работы с парадоксальными объектами можно отнести к «интеллектуальным математическим играм». Современная наука говорит о 7-мерной или 26-мерной модели мира. Моделировать подобный мир можно только с помощью математических формул, человек представить его просто не в состоянии. И здесь оказываются полезными невозможные фигуры. С философской точки зрения они служат напоминанием о том, что любые явления (в системном анализе, науке, политике, экономике и т. д.) следует рассматривать во всех сложных и неочевидных взаимосвязях.
Разнообразные невозможные (и возможные) объекты представлены на картине «Невозможный алфавит».
Третьей популярной невозможной фигурой является невероятная лестница, созданная Пенроузом. Вы будете по ней непрерывно или подниматься (против часовой стрелки) или спускаться (по часовой стрелке). Модель Пенроуза легла в основу знаменитой картины М. Эшера «Вверх и вниз» («Ascending and Descending») .
Существует еще одна группа объектов, реализовать которые не получится. Классической фигурой является невозможный трезубец, или «чертова вилка» .
При внимательном изучении картинки можно заметить, что три зубца постепенно переходят в два на едином основании, что приводит к конфликту. Мы сравниваем количество зубцов сверху и снизу и приходим к выводу о невозможности объекта.
Есть ли какая-либо более существенная польза от невозможных рисунков, чем игра ума? В некоторых больницах специально развешивают изображения невозможных объектов, поскольку их рассматривание способно надолго занять больных. Логично было бы развесить такие рисунки в кассах, в милиции и прочих местах, где ожидание своей очереди длится порой целую вечность. Рисунки могли бы выступить в роли этаких «хронофагов», т.е. пожирателей времени.
Известная также под названиями невозможный треугольник и трибар .
История
Широкую известность эта фигура обрела после опубликования статьи о невозможных фигурах в Британском журнале психологии английским математиком Роджером Пенроузом в 1958 году . В этой статье невозможный треугольник был изображен в наиболее общей форме — в виде трёх балок, соединённых друг с другом под прямыми углами. Под влиянием этой статьи в голландский художник Мауриц Эшер создал одну из своих знаменитых литографий «Водопад ».
Скульптуры
13-метровая скульптура невозможного треугольника из алюминия была воздвигнута в 1999 году в городе Перт (Австралия)
Deutsches Technikmuseum Berlin February 2008 0004.JPG
Та же скульптура при изменении точки просмотра
Другие фигуры
Хотя вполне возможно построение аналогов треугольника Пенроуза на основе правильных многоугольников, визуальный эффект от них не столь впечатляющий. При увеличении количества сторон объект кажется просто искривлённым или скрученным.
См. также
- Три зайца (англ. Three hares )
Напишите отзыв о статье «Треугольник Пенроуза»
Отрывок, характеризующий Треугольник Пенроуза
Высказав все, что ему было приказано, Балашев сказал, что император Александр желает мира, но не приступит к переговорам иначе, как с тем условием, чтобы… Тут Балашев замялся: он вспомнил те слова, которые император Александр не написал в письме, но которые непременно приказал вставить в рескрипт Салтыкову и которые приказал Балашеву передать Наполеону. Балашев помнил про эти слова: «пока ни один вооруженный неприятель не останется на земле русской», но какое то сложное чувство удержало его. Он не мог сказать этих слов, хотя и хотел это сделать. Он замялся и сказал: с условием, чтобы французские войска отступили за Неман.Наполеон заметил смущение Балашева при высказывании последних слов; лицо его дрогнуло, левая икра ноги начала мерно дрожать. Не сходя с места, он голосом, более высоким и поспешным, чем прежде, начал говорить. Во время последующей речи Балашев, не раз опуская глаза, невольно наблюдал дрожанье икры в левой ноге Наполеона, которое тем более усиливалось, чем более он возвышал голос.
– Я желаю мира не менее императора Александра, – начал он. – Не я ли осьмнадцать месяцев делаю все, чтобы получить его? Я осьмнадцать месяцев жду объяснений. Но для того, чтобы начать переговоры, чего же требуют от меня? – сказал он, нахмурившись и делая энергически вопросительный жест своей маленькой белой и пухлой рукой.
– Отступления войск за Неман, государь, – сказал Балашев.
– За Неман? – повторил Наполеон. – Так теперь вы хотите, чтобы отступили за Неман – только за Неман? – повторил Наполеон, прямо взглянув на Балашева.
Балашев почтительно наклонил голову.
Вместо требования четыре месяца тому назад отступить из Номерании, теперь требовали отступить только за Неман. Наполеон быстро повернулся и стал ходить по комнате.
– Вы говорите, что от меня требуют отступления за Неман для начатия переговоров; но от меня требовали точно так же два месяца тому назад отступления за Одер и Вислу, и, несмотря на то, вы согласны вести переговоры.
Он молча прошел от одного угла комнаты до другого и опять остановился против Балашева. Лицо его как будто окаменело в своем строгом выражении, и левая нога дрожала еще быстрее, чем прежде. Это дрожанье левой икры Наполеон знал за собой. La vibration de mon mollet gauche est un grand signe chez moi, [Дрожание моей левой икры есть великий признак,] – говорил он впоследствии.
Невозможный треугольник — один из удивительных математических парадоксов. При первом взгляде на него ни на секунду не можешь усомниться в его реальном существовании. Однако это только иллюзия, обман. А саму возможность такой иллюзии объяснит нам математика!
Открытие Пенроузов
В 1958 году Британский психологический журнал опубликовал статью Л. Пенроуза и Р. Пенроуза, в которой они ввели в рассмотрение новый тип оптической иллюзии, названной ими «невозможный треугольник».
Зрительно невозможный треугольник воспринимается как реально существующая в трехмерном пространстве конструкция, составленная из прямоугольных брусков. Но это всего лишь оптическая иллюзия. Построить реальную модель невозможного треугольника нельзя.
Статья Пенроузов содержала несколько вариантов изображения невозможного треугольника. — его «классическое» представление.
Из каких элементов строится невозможный треугольник?
Точнее, из каких элементов он кажется нам построенным? В основе конструкции лежит прямоугольный уголок, который получается соединением под прямым углом двух одинаковых прямоугольных брусков. Таких уголков требуется три штуки, а брусков, стало быть, шесть штук. Эти уголки надо определенным образом зрительно «соединить» один с другим так, чтобы они образовали замкнутую цепь. То, что получится, и есть невозможный треугольник.
Первый уголок поместим в горизонтальной плоскости. К нему присоединим второй уголок, направив одно из его ребер вверх. Наконец, к этому второму уголку пристроим третий уголок так, чтобы его ребро было параллельно исходной горизонтальной плоскости. При этом два ребра первого и третьего уголков будут параллельны и направлены в разные стороны.
Если считать брусок отрезком единичной длины, то концы брусков первого уголка имеют координаты, и, второго уголка — , и, третьего — , и. Мы получили реально существующую в трехмерном пространстве «закрученную» конструкцию.
А теперь попробуем мысленно посмотреть на нее из разных точек пространства. Представьте, как она выглядит из одной точки, из другой, из третьей. При изменении точки наблюдения будет казаться, что два «концевых» ребра наших уголков перемещаются относительно друг друга. Не трудно подобрать такое положение, при котором они соединятся.
Но если расстояние между ребрами намного меньше расстояния от уголков до точки, из которой мы рассматриваем нашу конструкцию, то оба ребра будут иметь для нас одинаковую толщину, и возникнет представление о том, что эти два ребра — на самом деле продолжение один другого. Такая ситуация изображена 4.
Кстати, если мы одновременно посмотрим на отражение конструкции в зеркале, то там замкнутой цепи не увидим.
А из выбранной точки наблюдения мы собственными глазами видим свершившееся чудо: имеется замкнутая цепь из трех уголков. Только не меняйте точку наблюдения, чтобы эта иллюзия не разрушилась. Теперь можно нарисовать видимый вам объект или поместить в найденную точку объектив фотоаппарата и получить фотографию невозможного объекта.
Первыми этим явлением заинтересовались Пенроузы. Они использовали возможности, которые возникают при отображении трехмерного пространства и трехмерных объектов на двумерную плоскость и обратили внимание на некоторую неопределенность проектирования — незамкнутая конструкция из трех уголков может восприниматься как замкнутая цепь.
Доказательство невозможности треугольника Пенроузов
Анализируя особенности двумерного изображения трехмерных объектов на плоскости, мы поняли, как особенности этого отображения приводят к невозможному треугольнику. Возможно, кого-то заинтересует и чисто математическое доказательство.
Доказать, что невозможный треугольник не существует, крайне легко, ведь каждый его угол прямой, а их сумма равна 270 градусов вместо «положенных» 180 градусов.
Более того, даже если мы будем рассматривать невозможный треугольник, склеенный из уголков, меньших 90 градусов, то в этом случае можно доказать, что невозможный треугольник не существует.
Мы видим три плоские грани. Они попарно пересекаются вдоль прямых. Плоскости, содержащие эти грани, попарно ортогональны, поэтому они пересекаются в одной точке.
Кроме того, через эту точку должны проходить линии взаимного пересечения плоскостей. Следовательно, прямые линии 1, 2, 3 должны пересекаться в одной точке.
Но это не так. Следовательно, представленная конструкция невозможна.
«Невозможное» искусство
Судьба той или иной идеи — научной, технической, политической — зависит от очень многих обстоятельств. И далеко не в последнюю очередь от того, в какой именно форме эта идея будет представлена, в каком образе она явится широкой публике. Будет ли воплощение сухим и сложным для восприятия, или, наоборот — явление идеи будет ярким, захватывающим наше внимание даже вопреки нашей воле.
У невозможного треугольника судьба счастливая. В 1961 г. голландский художник Мориц Эшер завершил литографию, названную им «Водопад» . Художник прошел немалый, но быстрый путь от самой идеи невозможного треугольника до ее потрясающего художественного воплощения. Напомним, статья Пенроузов появилась в 1958 году.
В основе «Водопада» — два невозможных треугольника, показанных. Один треугольник — большой, внутри него расположен другой треугольник. Может показаться, что изображены три одинаковых невозможных треугольника. Но не в этом суть, представленная конструкция достаточно сложная.
При беглом взгляде ее абсурдность не всякому и не сразу будет видна, так как каждое соединение, представленное, — возможно. как говорят, локально, то есть на небольшом участке чертежа, такая конструкция осуществима… Но в целом она невозможна! Ее отдельные куски не стыкуются, не согласуются друг с другом.
А чтобы понять это, мы должны затратить определенные интеллектуальные и зрительные усилия.
Давайте совершим путешествие по граням конструкции. Этот путь замечателен тем, что вдоль него, как нам кажется, уровень относительно горизонтальной плоскости остается неизменным. Двигаясь вдоль этого пути, мы ни вверх не поднимаемся, ни вниз не опускаемся.
И все-то было бы хорошо, привычно, если бы в конце пути — а именно в точке — мы не обнаружили бы, что относительно исходной, начальной точки мы каким-то таинственным немыслимым образом поднялись вверх по вертикали!
Чтобы прийти к этому парадоксальному результату, мы должны выбрать именно этот путь, да еще следить за уровнем относительно горизонтальной плоскости… Непростая задача. В ее решении Эшеру на помощь пришла…вода. Вспомним песню о движении из чудесного вокального цикла Франца Шуберта «Прекрасная Мельничиха»:
И сначала в воображении, а затем под рукой замечательного мастера голые и сухие конструкции превращаются в акведуки, по которым бегут чистые и быстрые потоки воды. Их движение захватывает наш взгляд, и вот уже помимо нашей воли мы устремляемся по течению, следуя всем поворотам и изгибам пути, вместе с потоком срываемся вниз, падаем на лопасти водяной мельницы, затем снова устремляемся вниз по течению…
Обходим этот путь раз, другой, третий… и только тут осознаем: двигаясь в н и з, мы каким-то фантастическим образом подымаемся в в е р х! Первоначальное удивление перерастает в некий интеллектуальный дискомфорт. Кажется, что мы стали жертвой какого-то розыгрыша, объектом какой-то шутки, которую пока еще не поняли.
И снова мы повторяем этот путь по странному водоводу, теперь уже не спеша, с осторожностью, словно опасаясь подвоха со стороны парадоксальной картинки, критически воспринимая все то, что происходит на этом таинственном пути.
Мы пытаемся разгадать ту тайну, которая поразила нас, и не можем вырваться из ее плена до тех пор, пока не найдем скрытую пружину, лежащую в ее основе и приводящую немыслимую круговерть в безостановочное движение.
Художник специально подчеркивают, навязывает нам восприятие его картины как изображения реальных трехмерных объектов. Объемность подчеркивается изображением вполне реальных многогранников на башнях, кирпичной кладкой с аккуратнейшим представлением каждого кирпича в стенах акведука, поднимающимися вверх террасами с садами на заднем плане. Все призвано убедить зрителя в реальности происходящего. И благодаря искусству и великолепной технике эта цель достигнута.
Когда же мы вырываемся из плена, в который попадает наше сознание, начинаем сравнивать, сопоставлять, анализировать, то находим что основа, источник этой картины скрыты в особенностях проектирования.
И мы получили еще одно — «физическое» доказательство невозможности «невозможного треугольника»: если бы такой треугольник существовал, то существовал бы и «Водопад» Эшера, который есть по сути дела вечный двигатель. Но вечный двигатель невозможен, следовательно, невозможен и «невозможный треугольник». И, наверное, это «доказательство» — самое убедительное.
Что сделало Морица Эшера феноменом, уникумом, который не имел в искусстве явных предшественников и которому невозможно подражать? Это комбинация плоскостей и объемов, пристальное внимание к причудливым формам микромира — живого и неживого, к необычным точкам зрения на обычные вещи. Основной эффект его композиций — эффект появления невозможных отношений между знакомыми предметами. Эти ситуации с первого взгляда могут и напугать, и вызвать улыбку. Можно радостно смотреть на забаву, которую предлагают художник, а можно серьезно погрузиться в глубины диалектики.
Мориц Эшер показал, что мир может быть совсем не таким, каким мы его видим и привыкли воспринимать — надо только посмотреть на него под другим, новым углом зрения!
Мориц Эшер
Морицу Эшеру более повезло как ученому, чем как художнику. В его гравюрах и литографиях видели ключи к доказательству теорем или оригинальные контрпримеры, бросающие вызов здравому смыслу. На худой конец их воспринимали как прекрасные иллюстрации к научным трактатам по кристаллографии, теории групп, когнитивной психологии или компьютерной графике. Мориц Эшер работал в области соотношений пространства, времени и их тождественности, использовал базовые образцы мозаик, применяя к ним трансформации. Это великий мастер оптических обманов. Гравюры Эшера изображают не мир формул, а красоту мира. Их интеллектуальный склад коренным образом противоположен алогичным творениям сюрреалистов.
Голландский художник Мориц Корнелиус Эшер родился 17 июня 1898 года в провинции Голландии. В доме, котором родился Эшер, сейчас находится музей.
С 1907 года Мориц учится плотницкому делу и игре на пианино, обучается в средней школе. Оценки по всем предметам у Морица были плохими за исключением рисования. Учитель рисования заметил талант у мальчика и научил его делать гравюры по дереву.
В 1916 году Эшер выполняет свою первую графическую работу, гравюру на фиолетовом линолеуме — портрет своего отца Г. А. Эшера. Он посещает мастерскую художника Герта Стигемана, имевшего печатный станок. На этом станке были отпечатаны первые гравюры Эшера.
В 1918-1919 годах Эшер посещает Технический колледж в голландском городке Дельфт. Он получает отсрочку от службы в армии для продолжения учебы, но из-за плохого здоровья Мориц не справился с учебным планом, и был отчислен. В результате, он так и не получил высшего образования. Он учится в Школе архитектуры и орнамента в городе Гаарлеме, Там он берет уроки рисования у Самюэля Джесерена де Месквита, оказавшего формирующее влияние на жизнь и творчество Эшера.
В 1921 году семья Эшера посетила Ривьеру и Италию. Очарованный растительностью и цветами средиземноморского климата, Мориц сделал детальные рисунки кактусов и оливковых деревьев. Он зарисовал много эскизов горных пейзажей, которые позже легли в основу его работ. Позже он будет постоянно возвращаться в Италию, которая будет служить для него источником вдохновения.
Эшер начинает экспериментировать в новом для себя направлении, уже тогда в его работах встречаются зеркальные отображения, кристаллические фигуры и сферы.
Конец двадцатых годов оказалась очень плодотворным периодом для Морица. Его работы демонстрировались на многих выставках Голландии, а к 1929 году его популярность достигла такого уровня, что за один год прошли пять персональных выставок в Голландии и Швейцарии. Именно в этот период картины Эшера впервые были названы механическими и «логическими».
Эшер много путешествует. Живет в Италии и Швейцарии, Бельгии. Изучает мавританские мозаики, делает литографии, гравюры. На основе эскизов путешествий он создает свою первую картину невозможной реальности Still Life with Street.
В конце тридцатых годов Эшер продолжает эксперименты с мозаиками и трансформациями. Он создает мозаику в виде двух птиц, летящих навстречу друг другу, которая легла в основу картины «День и ночь».
В мае 1940 года нацисты оккупируют Голландию и Бельгию, а 17 мая в зону оккупации попадает и Брюссель, где на тот момент проживал Эшер с семьей. Они находят дом в Варне и переезжают туда в феврале 1941 года. До конца своих дней Эшер будет жить в этом городе.
В 1946 году Эшер начинает интересоваться технологией глубокой печати. И хотя эта технология была намного сложнее той, которой пользовался Эшер до этого и требовала больше времени для создания картины, но результаты были впечатляющими — тонкие линии и точная передача теней. Одна из самых известный работ в технике глубокой печати «Капля росы» была закончена в 1948 году.
В 1950 году Мориц Эшер обретает популярность как лектор. Тогда же в 1950 году проходит его первая персональная выставка в Соединенных Штатах и начинают покупаться его работы. 27 апреля 1955 года Морица Эшера посвящают в рыцари и он становится дворянином.
В середине 50-х годов Эшер объединяет мозаику с фигурами, уходящими в бесконечность.
В начале 60-х годов вышла в свет первая книга с работами Эшера «Grafiek en Tekeningen», в которой 76 работ прокомментировал сам автор. Книга помогла обрести понимание среди математиков и кристаллографов, включая некоторых из России и Канады.
В августе 1960 Эшер прочитал лекцию по кристаллографии в Кембридже. Математические и кристаллографические аспекты творчества Эшера становятся очень популярными.
В 1970 году после новой серии операций Эшер переехал в новый дом в Ларене, в котором была студия, но плохое здоровье не давало возможности много работать.
В 1971 году Мориц Эшер скончался в возрасте 73 лет. Эшер прожил достаточно долго, чтобы увидеть книгу «Мир М. К. Эшера», переведенную на английский язык и остался ею очень доволен.
Различные невозможные картины встречаются на сайтах математиков и программистов. Самой полной версией из просмотренных нами, на наш взгляд, является сайт Влада Алексеева
На этом сайте представлены не только широко известные картины, в том числе и М. Эшера, но, и анимированные изображения, забавные рисунки невозможных животных, монет, марок и т.п. Этот сайт живет, он периодически обновляется и пополняется удивительными рисунками.
Имп-арт — невозможное искусство
Рисовать — значит обманывать. (М. К. Эшер.)
Если Вы ищите источник вдохновения для разработки оригинального дизайна или фирменного стиля или просто логотипа, то рекомендуем обратить внимание и на этот оригинальный вид художественного творчества.
Итак, имп-арт это отдельная ветвь оп-арта (от английского optical art — оптическое искусство, художественного течения конца XX века использующие всевозможные оптические иллюзии).
Имп-арт образовано от английского impossible art — невозможное искусство. Целью имп-арта является изображение невозможных фигур и объектов, т.е. оптической иллюзии изображения трехмерного объекта элементы которого расположены в противоречивой, препятствующей однозначному восприятию взаимосвязи.
Примеры невозможных фигур
Треугольник Пенроуза | Бесконечная лестница Реутерсварда | Куб Эшера |
Представители имп-арта
Оскар Рутерсвард (1915 — 2002) Не смотря на то, что элементы невозможных фигур встречались и до него, «отцом» и родоначальником невозможных фигур по праву считается шведский художник Оскар Реутерсвард. Первую невозможную фигуру он изобразил еще в 30-ые годы XX века — это был невозможный треугольник состоящий из 9 кубиков. За свою жизнь Реутерсвард изобразил более 2000 фигур. Но работы Реутерсварда на тот момент не получили большой известности.
В дальнейшем спустя около 20 лет невозможный треугольник независимо от Реутерсварда был повторно открыт английским математиком и физиком Роджером Пенроузом. Он изобразил его в том виде который сейчас и является для нас привычным. В 1958 году Пенроуз вместе со своим отцом публикую статью о невозможных фигурах в «Британском журнале психологии». Эта статья и вдохновила других художников использовать невозможные фигуры в своих работах.
Ма́уриц Корне́лис Э́шер (1898 — 1972) Нидерландский художник-график. Один из самых ярких представителей имп-арта. Использовал принципы невозможных фигур для изображения невозможной реальности. Именно ему принадлежит фраза вынесенная в начало нашей заметки «Рисовать значит обманывать».
Сандро дель Пре (Швейцария)
Жос де Мей (Бельгия)
Иштван Орос (Венгрия)
Первопроходцы Реустравд, Пентроуз, Эшер и другие вдохновили многих художников по всему миру. Мы надеемся что эта заметка тоже сможет Вас вдохновить использовать имп-арт в своем творчестве или дизайне.
Статья подготовлена дизайнерами проекта
Треугольник Пенроуза — Энциклопедия Нового Света
Треугольник Пенроуза , также известный как трибар или невозможный треугольник , представляет собой невозможный объект, впервые созданный шведским художником Оскаром Реутерсвардом, популяризированный Роджером Пенроузом, а затем широко использованный в работах художника М.С. Эшера. . Невозможные фигуры, такие как невозможный куб и бливет, представляют собой особый класс неоднозначных фигур, в которых части изображения, которые не являются неоднозначными, нарисованы в несовместимых перспективах.Неоднозначные фигуры — это фигуры, которые для зрителя переключаются между одинаково возможными перспективами изображаемого объекта. Куб Неккера — хорошо известный пример такого неоднозначного рисунка, на котором перспектива меняется при просмотре фигуры.
Невозможные фигуры, такие как треугольник Пенроуза, предоставляют возможности как для ценных исследований процессов человеческого восприятия, так и для многих других благодаря их включению в произведения искусства. Такие произведения искусства демонстрируют безграничное увлечение человечества творческим и необычным.Эти примеры также могут помочь нам понять, что наше собственное восприятие может быть ограничено или отличаться от восприятия другого человека, наблюдающего то же самое.
Дискавери
Треугольники Пенроуза в водопаде , водопад , автор М. К. ЭшерТреугольник Пенроуза был впервые создан шведским художником Оскаром Реутерсвардом в 1934 году. Известный как «отец невозможных фигур», Рейтерсвард создал первый треугольник Пенроуза из кубов. В 1982 году правительство Швеции отметило создание Reutersvärd, разместив его на почтовой марке.
Лишь в 1954 году, когда физик Роджер Пенроуз посетил лекцию художника М. К. Эшера, треугольник Пенроуза привлек всеобщее внимание. Желая создать что-то, чтобы проиллюстрировать невозможность в ее пуристической форме, Пенроуз создал перспективный линейный рисунок невозможного треугольника, который он опубликовал в статье 1958 года в British Journal of Psychology. Важно отметить, что к этому моменту Эшер еще не создал своих трех невозможных гравюр ( Бельведер, По восходящей и нисходящей, и Водопад, ).Пенроуз также был незнаком с работами Рейтерсварда и других в области невозможных объектов. Статья Пенроуза, написанная в соавторстве с его отцом, во многом способствовала популярности треугольника. Копию статьи отправили Эшеру, который вдохновил ее на создание знаменитой литографии «Водопад ». [1]
Описание
На первый взгляд треугольник Пенроуза кажется двухмерным изображением трехмерного треугольника, построенного из квадратных балок.Однако свойства этого двухмерного чертежа не могут быть реализованы ни одним трехмерным объектом. Следовательно, треугольник Пенроуза — «невозможный объект».
Однако можно создать трехмерный объект, который выглядит как двухмерное представление только с определенного направления просмотра. [2] Интересно, что даже когда зритель видел объект под другими углами и поэтому полностью осознает, что фигура не «невозможна», восприятие с критического угла обзора не меняется — фигура по-прежнему воспринимается как невозможная. [3]
Пояснение
Иллюзия играет на интерпретации человеческим глазом двумерных изображений как трехмерных объектов. Визуальная перспектива искажена и используется для создания иллюзии трехмерного объекта, который не может существовать. Проблема возникает из-за того, что зритель предполагает, что элементы фигуры, соприкасающиеся в двухмерном представлении, находятся на одинаковом расстоянии от зрителя. Использование перспективы для создания глубины усиливает эффект иллюзии.
Приложения
Треугольник Пенроуза вдохновил многих художников. M.C. Литография Эшера « Водопад » изображает водоток, который зигзагообразно течет по длинным сторонам двух вытянутых треугольников Пенроуза, так что в конце он оказывается на два этажа выше, чем начинался. Образовавшийся водопад, образующий короткие стороны обоих треугольников, приводит в движение водяное колесо. (Эшер услужливо указывает, что для того, чтобы колесо продолжало вращаться, время от времени нужно добавлять немного воды, чтобы компенсировать испарение.)
Треугольник Пенроуза также послужил источником вдохновения для создания скульптур. В скульптуре в Восточном Перте, Австралия, есть скульптура, которая, если смотреть с одной из двух определенных точек обзора, кажется физическим трехмерным треугольником Пенроуза. На самом деле скульптура разобщена и только кажется невозможным объектом.
Существует некоторая терминологическая путаница в отношении того, относится ли «треугольник Пенроуза» к двухмерному изображению невозможного трехмерного объекта или к самому невозможному объекту.(С философской точки зрения неясно, что означает «невозможный объект», кроме набора условий, которые не могут быть выполнены.)
Другие многоугольники Пенроуза
Хотя можно построить треугольник Пенроуза с другими правильными многоугольниками, чтобы создать многоугольник Пенроуза, визуальный эффект не такой поразительный, и по мере увеличения сторон изображение кажется искаженным или искаженным. Треугольник Пенроуза остается самым прочным и популярным среди невозможных объектов этого типа.
Банкноты
Список литературы
- Грегори, Ричард Л.1997. Глаз и мозг . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0691048371
- Huggett, S.A., L.J. Mason, K.P. Тод, С. Цоу и Н.М.Дж. Вудхаус. Геометрическая Вселенная: наука, геометрия и работы Роджера Пенроуза . Июнь 1998 г. Издательство Оксфордского университета. ISBN 0198500599
- Пенроуз, Роджер, Эбнер Шимони, Нэнси Картрайт и Стивен Хоуинг. Большое, маленькое и человеческий разум . Январь 2000. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0521785723
- Schattschneider, Дорис и Мишель Эммер. Наследие М. К. Эшера: празднование столетия . Сентябрь 2005 г. Springer. ISBN 3540201009
Кредиты
Энциклопедия Нового Света Писатели и редакторы переписали и завершили статью Википедия в соответствии со стандартами New World Encyclopedia . Эта статья соответствует условиям лицензии Creative Commons CC-by-sa 3.0 (CC-by-sa), которая может использоваться и распространяться с указанием авторства. Кредит предоставляется в соответствии с условиями этой лицензии, которая может ссылаться как на участников Энциклопедии Нового Света, , так и на самоотверженных добровольцев Фонда Викимедиа.Чтобы процитировать эту статью, щелкните здесь, чтобы просмотреть список допустимых форматов цитирования. История более ранних публикаций википедистов доступна исследователям здесь:
История этой статьи с момента ее импорта в Энциклопедия Нового Света :
Примечание. Некоторые ограничения могут применяться к использованию отдельных изображений, на которые распространяется отдельная лицензия.
Как нарисовать невозможный треугольник | by Easy Drawing Guides
Невозможный треугольник, также называемый треугольником Пенроуза или невозможным трибаром, был впервые нарисован шведским художником по имени Оскар Реутерсвард в 1934 году.Он использовался в работах психиатра Лайонела Пенроуза, математика Роджера Пенроуза и голландского художника-математика М. Эшера, а также других художников. Форма была описана как «невозможность в чистом виде».
Невозможный треугольник — это разновидность оптической иллюзии — изображение, которое из-за восприятия глазами и мозгом отличается от реальности. Невозможные объекты — это оптические иллюзии, в которых двухмерная фигура (что-то плоское, например, рисунок на бумаге) интерпретируется мозгом как трехмерный объект, который не может существовать на самом деле из-за своих физических пропорций.Присмотритесь к невозможному треугольнику, и вы увидите, что его стороны необычным образом соединяются.
В то время как невозможные объекты не могут существовать в реальном мире — вот почему они называются невозможными — художники приложили усилия, чтобы приблизить их. Например, уличная скульптура, выставленная в Восточном Перте, Австралия, при взгляде под определенным углом принимает вид невозможного треугольника. Однако при взгляде под другим углом становится очевидным, что линии «треугольника» на самом деле не соединяются.
Психологи и другие ученые издавна интересовались оптическими иллюзиями. Леонардо да Винчи, возможно, был первым, кто нарисовал оптическую иллюзию, серию линий, которые, когда вы наклонили бумагу под правильным углом, превратились в глаз. Исследователи говорят, что оптические иллюзии возникают потому, что когда наш мозг узнает о нашем окружении, он начинает делать предположения. Иногда эти предположения ошибочны, например, когда плоский рисунок выглядит трехмерным, и этот сдвиг может вызвать чувство замешательства.
Хотите нарисовать невозможный треугольник? В этом нет ничего невозможного. На самом деле, это легко сделать с помощью этого простого пошагового руководства по рисованию. Все, что вам понадобится, — это карандаш, ручка или маркер и лист бумаги. Вы также можете использовать линейку, чтобы рисовать прямые линии, и цветные карандаши, цветные карандаши или краски, чтобы закрасить законченный рисунок.
Понравились мои уроки рисования? Узнайте больше на YouTube: ПОДПИСАТЬСЯ на
1. Начните с рисования небольшого равностороннего треугольника, то есть треугольника со сторонами равной длины.Это сформирует отверстие в середине невозможного треугольника.
2. Вытяните короткую прямую линию по диагонали от каждой точки треугольника. Эти линии образуют основу трехмерного изображения невозможного треугольника.
3. От самой верхней диагональной линии проведите прямую линию, параллельную стороне маленького треугольника. Затем от этой линии проведите еще одну прямую, параллельную нижней части маленького треугольника.
4. Проведите прямую горизонтальную линию от самой нижней из исходных диагоналей.Эта линия должна быть параллельна двум другим горизонтальным линиям и на равном расстоянии от них.
5. Проведите длинную прямую линию вверх от оставшейся диагональной линии, параллельную стороне маленького треугольника.
6. От самой верхней точки линии, проведенной на предыдущем шаге, проведите длинную прямую линию, параллельную противоположной стороне треугольника.
7. От средней горизонтальной линии вытяните длинную прямую линию вверх, параллельно стороне существующего треугольника.
8. Остается только заключить фигуру невозможного треугольника. Начните с закрытия одного из углов короткой прямой линией.
9. Обведите оставшиеся углы невозможного треугольника короткими прямыми линиями.
10. Раскрась свой рисунок.
Готовы к другим геометрическим рисункам? Ознакомьтесь с нашими руководствами по рисованию кристаллов, снежинок и звезд.
Этот учебник по рисованию изначально был размещен в Простые руководства по рисованию> Как нарисовать невозможный треугольник.
Невозможный треугольник — Иллюзии
Невозможный треугольник
Скульптура, которую вы видите, выглядит как равносторонний треугольник, но только если вы посмотрите на нее под определенным углом. Как только вы немного отодвинетесь в сторону, вы увидите, что это всего лишь иллюзия. Первоначальная иллюзия воображаемого треугольника — это двухмерный рисунок, который наш мозг интерпретирует в соответствии со своим прошлым опытом как трехмерный.Картина кажется нам логичной, потому что мозг поочередно фокусируется на разных областях, каждая из которых логична. Однако все они вместе создают нелогичную ситуацию.
Эта иллюзия, как и Бесконечная лестница, связана с математиком Роджером Шепардом и известным художником М. Эшер, картины которого содержат иллюзии и невозможные объекты. В 1954 году воображение Пенроуза вспыхнуло, когда он услышал лекцию Эшера на математической конференции, и он приступил к «изобретению» воображаемого треугольника.Позднее Эшер включил треугольник в свою знаменитую литографию «Водопад». С тех пор фигуру называют «Треугольником Пенроуза», хотя впервые она была нарисована 20 годами ранее шведским художником Оскаром Реутерсвардом.
Эти две иллюзии свидетельствуют о диссоциации между локальными и глобальными процессами восприятия в головном мозге. Однако исследователи еще не пришли к единому мнению о том, как эти два типа восприятия работают вместе.
Ссылки:
Статья в Википедии с примерами других невозможных изображений:
http: // en.wikipedia.org/wiki/Penrose_triangle
Воображаемый треугольник в науке и искусстве (иврит):
http://alefefes.macam98.ac.il/article/article.asp?n=27
Подробное объяснение и исторический обзор:
http://www.psychologie.tu-dresden.de/i1/kaw/diverses%20Material/www.illusionworks.com/html/impossible_triangle.html
Можем ли мы даже вообразить построение воображаемого треугольника? Да! Посмотрите здесь (файл PDF):
http://www.coolopticalillusions.com/illusions/coolprinttriangle.pdf
Связанный экспонат:
Бесконечная лестница
Duke University Press — Невозможный треугольник
“ Невозможный треугольник написано хорошо. Профессиональные ученые и непрофессиональная аудитория, интересующаяся международными делами и внешней политикой Советского Союза, Мексики и США в исследуемый период, сочтут работу хорошим прочтением ». — Элвин Магид, Перспективы политологии
«[Прекрасный пример амбициозной международной исследовательской программы, дающей авторитетный отчет.Плотно переплетенная структура истории, созданная в этом увлекательном исследовании, является результатом обширных поисков свидетельств, освещающих внешнюю политику трех стран, Мексики, Советского Союза и Соединенных Штатов, в течение бурного и поворотного десятилетия. . . . [] Важный вклад в наше понимание запутанной послереволюционной дипломатии Мексики и интернационалистских амбиций Советского Союза в тот же период. . . . [T] его книга имеет замечательный успех, устанавливая высокие стандарты глобальных исторических исследований, которым следовало бы подражать изучающим международные отношения.»- Эрик Пол Рорда, Hispanic American Historical Review
«[Ценное исследование. . . на основе впечатляющих архивных исследований. . . . [Полезный . . . . » — Дэвид С. Фоглсонг, Russian Review
«[A] Хорошо сбалансированный подход к трем рассматриваемым перспективам. . . . Спенсер написал интересное исследование, в котором Мексика была представлена как независимый международный субъект, эффективно преследующий свои цели революционного национализма ». — Стефан Ринке, Журнал американской истории
«Спенсер использует новые документальные свидетельства, чтобы выяснить, почему русская революция не сильно повлияла на направление мексиканской революции 1910 года.. . . Специалисты, а также обычные читатели сочтут книгу « Невозможный треугольник » хорошо изученной и интересной книгой ». — Д. Болдуин, Choice
«Ясное и оригинальное исследование Спенсера — новаторская попытка включить давно скрытый аспект советского влияния в более широкое понимание дипломатической и политической истории современной Мексики». — Адриан А. Бантьес, Журнал латиноамериканских исследований
«Работа Спенсера хорошо изучена и написана.Он действительно пополняет литературу о Мексике и ее отношениях с Соединенными Штатами и Советским Союзом в 1920-е годы. Его настоятельно рекомендуется к прочтению как специалистам, так и изучающим американскую дипломатию и историю Мексики ». — Лонни Э. Манесс, Юго-восточный латиноамериканец
«Невозможный треугольник» из названия Даниэлы Спенсер описывает отношения между Мексикой, Россией и антиреволюционными Соединенными Штатами, странный трехсторонний танец диалога и недоверия, который никого не оставил удовлетворенным.. . [Я] новаторский ». — Джон У. Шерман, TLS
«Это выдающееся произведение дипломатической истории. Даниэла Спенсер добыла архивы в Мексике, России, США и других странах, чтобы написать увлекательное исследование этого дипломатического треугольника. Она объединяет три истории двусторонних связей в историю, которая намного больше, чем просто сумма ее частей. . . . Всегда ясно, Невозможный треугольник окажется важным чтением для всех, кто интересуется внешней политикой Мексиканской революции, леворадикалами в Мексике, советско-латиноамериканскими отношениями и США.Политика С. в Мексике ». — Дэвид Шейнин, American Studies International
« Невозможный Трианж успешен на многих уровнях, но, пожалуй, не более чем в своем новаторском трехстороннем подходе. Мексика, возникающая из повествования Спенсера, является одновременно объектом неравной борьбы за влияние между Соединенными Штатами и Советским Союзом и субъектом, способным справиться с этими двумя «придворными» на своих собственных условиях. Эта увлекательно рассказанная история напоминает нам о радикальных непредвиденных обстоятельствах, вызванных большевистской революцией, и о том, как эта революция навсегда изменила поведение в международных отношениях.»- Льюис Сигельбаум, Университет штата Мичиган,
« Невозможный треугольник документирует комедию ошибок, которая рассказывает нам, как в подобных непредвиденных ситуациях, прежде чем преследовать реальность, каждая дипломатия преследует свои собственные фантомы ». — Адольфо Гилли, Национальный автономный университет Мексики
Как создать невозможный треугольник в Illustrator — Medialoot
Узнайте, как воссоздать культовый «Треугольник Пенроуза»
Треугольник Пенроуза — это невозможная форма, которая была популярна среди художников и дизайнеров с 1934 года, когда ее впервые создал Оскар Рейтерсврд.Даже сегодня он все еще часто используется в графическом дизайне, но, хотя это кажется простой формой, на самом деле может быть очень сложно воссоздать в Illustrator, поскольку форма требует точности и планирования. Этот урок покажет вам самый простой способ воссоздать знаковый невозможный треугольник с помощью Illustrator.
Шаг 1
Запустите Illustrator и создайте новый документ:- Ширина: 800 пикселей
- Высота: 600 пикселей
- Цветовой режим: RGB
Шаг 2
Прежде чем мы сможем нарисовать треугольник, нам нужно настроить некоторые направляющие, которым нужно следовать, включите линейки («Вид»> «Линейки»> «Показать линейки») и перетащите новую вертикальную направляющую к левому краю холста, чтобы она встала на место.Шаг 3
Затем, не снимая выделения с направляющей, нажмите клавишу Enter, чтобы открыть диалоговое окно «Перемещение». Это гораздо более точный метод размещения направляющих, чем простое перетаскивание, потому что мы можем вводить точные значения:- По горизонтали: 200 пикселей
- По вертикали: 0 пикселей
- Угол 0 °
Шаг 4
Снова нажмите клавишу Enter и на этот раз введите следующие значения:- По горизонтали: 400 пикселей
- По вертикали: 0 пикселей
- Угол 0 °
Шаг 5
На этот раз перетащите новую горизонтальную направляющую и поместите ее так, чтобы она выровнялась по верхнему краю холста.Шаг 6
Нажмите клавишу Enter и на этот раз введите следующие значения:- По горизонтали: 0 пикселей
- По вертикали: 400 пикселей
- Угол 0 °
Шаг 7
Снова нажмите клавишу Enter и на этот раз введите следующие значения:- По горизонтали: 0 пикселей
- По вертикали: 60 пикселей
- Угол 0 °
Шаг 8
Либо нажмите CMD + D / CTRL + D, чтобы повторить последнее действие , либо снова нажмите клавишу Enter и введите те же значения:- По горизонтали: 0 пикселей
- По вертикали: 60 пикселей
- Угол 0 °
Шаг 9
Дважды проверьте свои направляющие, чтобы убедиться, что они выглядят как на скриншоте ниже:Шаг 10
Щелкните и перетащите с помощью инструмента «Выделение», чтобы выделить 3 горизонтальные направляющие, и выберите «Объект»> «Трансформировать»> «Повернуть».. чтобы открыть диалоговое окно «Поворот», введите 120 ° , затем нажмите Копировать , чтобы дублировать слои.Шаг 11
Перетащите новые дублированные направляющие вправо, чтобы средняя направляющая пересекалась там, где встречаются существующие вертикальная и средняя горизонтальная направляющие. Возможно, вам потребуется увеличить масштаб, чтобы сделать это точно.Шаг 12
Не снимая выделения с 3 повернутых направляющих, перейдите в Object> Transform> Rotate .., чтобы снова вызвать диалоговое окно Rotate, снова введите 120 ° , затем нажмите Copy , чтобы дублировать слои.Шаг 13
Перетащите новые дублированные направляющие на этот раз влево и пересеките среднюю направляющую в том же месте, что и в прошлый раз (но с другой стороны).Шаг 14
На этом этапе еще раз проверьте свои направляющие, если вы правильно их настроили, вы действительно сможете визуализировать, где будет треугольник.Шаг 15
Возьмите инструмент «Перо» и нарисуйте первую «сторону» треугольника, щелкнув точки, выделенные на скриншоте ниже. Все точки должны прикрепиться к направляющим, если вы щелкнете достаточно близко (увеличьте масштаб, если у вас возникли трудности с этим).Еще один совет — удалять любые заливки или штрихи во время рисования, поскольку они могут мешать привязке направляющих. Когда вы закончите фигуру, залейте ее светло-серым цветом.Шаг 16
Снова нарисуйте следующую «сторону» с помощью инструмента «Перо», щелкнув выделенные точки на скриншоте ниже и залейте ее средним серым цветом.Шаг 17
Нарисуйте последнюю «сторону», щелкнув по выделенным точкам на скриншоте ниже и залейте ее темно-серым цветом. Теперь вы можете скрыть направляющие, так как они больше не понадобятся.Шаг 18
Чтобы создать пространство между «сторонами» треугольника, выделите все объекты на холсте и перейдите в Эффект> Контур> Смещение контура. Введите -4 пикселя и нажмите ОК.Шаг 19
Давайте добавим цвета треугольнику, в том порядке, в котором мы рисовали, раскрасьте стороны следующим образом:- Сторона 1: # C6F9ED
- Сторона 2: # 82EEDB
- Сторона 3: # A6F7E5
Шаг 20
Выделите все объекты на холсте и сгруппируйте их, затем скопируйте и вставьте на место (CMD + SHIFT + V / CTRL + SHIFT + V), чтобы дублировать треугольник.Затем примените градиент от черного к белому по умолчанию 0 ° только для верхней группы .Шаг 21
Выберите первую «сторону» и измените угол наклона на 180 °.Шаг 22
Вторая сторона уже должна быть 0 °, поэтому мы можем пропустить ее, выбрать третью «сторону» и изменить угол градиента на 90 °.Шаг 23
Выделите всю верхнюю группу и измените режим наложения на Soft Light. Это добавит немного тонких оттенков к исходным цветам.Шаг 24
Нарисуйте прямоугольник, заполняющий холст (800 x 600 пикселей), переместите его в нижнюю часть слоев (CMD + SHIFT + [/ CTRL + SHIFT + [), затем залейте его цветом # 22B69D .Результат
Воссоздание треугольника Пенроуза в Illustrator может стать забавным экспериментом, чтобы проверить свои навыки в Illustrator и освежить в памяти основы.Надеюсь, вам понравилось следовать этому руководству и, возможно, вы узнали что-то новое. (Профессиональный совет: с его помощью можно продемонстрировать друзьям свои навыки работы с Illustrator)5 реальных оптических иллюзий, которые вам захочется посетить!
Мы и раньше писали об оптических иллюзиях. В нашей публикации Объяснение оптических иллюзий мы поделились изображениями и диаграммами, чтобы проиллюстрировать различные типы существующих оптических иллюзий.
А как насчет реальной жизни?
Некоторым архитекторам и дизайнерам нравится включать их в свои работы, хотя они могут существовать и в природе! Вот наша пятерка.
Невозможный треугольник, Перт — Австралия
Источник: Википедия
Невозможный треугольник в Перте — пример парадоксальной иллюзии — иллюзии, порождаемой объектами, которые являются парадоксальными или невозможными. Невозможный треугольник на самом деле является примером треугольника Пенроуза, впервые созданного шведским художником Оскаром Реутерсвардом в 1934 году, но независимо разработанного и популяризированного психиатром Лайонелом Пенроузом и его сыном математиком Роджером Пенроузом.
Мост Сторсейсундет — Аверёй, Норвегия
Источник: Мартин Истенес
Мост Сторсейсундет — пример искажающей иллюзии. Если смотреть под определенным углом, изгиб моста создает впечатление, будто дорога просто исчезает в воздухе!
Мост Сторсейсундет — самый длинный из восьми мостов, составляющих Атлантерхавсвейен, дорогу, соединяющую материковый полуостров Ромсдал с островом Аверёйя в графстве Мёре-ог-Ромсдал, Норвегия.
Книжный магазин Чжуншугэ — Янчжоу, Китай
S ource: Shao Feng, как показано в Dezeen
Шанхайская студия XL-Muse использовала черный зеркальный пол и арочные полки, чтобы создать иллюзию туннеля книг внутри книжного магазина Zhongshuge в Янчжоу.
Озеро Сёрвагсватн — Вагар, Фарерские острова
Источник: Roman Polepar
Озеро Сёрвагсватн на Фарерских островах пользуется популярностью у туристов со всего мира — не только потому, что это самое большое озеро на островах, но и потому, что при осмотре под определенными углами кажется, что озеро уравновешено высоко над Атлантическим океаном.По сути, это еще одна искажающая иллюзия. Ступеньки скалы в сторону озера делают его намного выше, чем есть на самом деле!
Salar de Uyuni — Боливия
Источник: tripzumi.com
Самая большая соляная равнина в мире — популярное место для фотографирования туристов, сделавших свою иллюзию. Кажущийся бесконечным горизонт невероятен для создания искажающих иллюзий.
Какая ваша любимая?
Похожие сообщения:
Объяснение оптических иллюзий
Создайте свой собственный 3D-оптический обман
3 лучших тактильных иллюзии, чтобы обмануть ваш мозг
Слушать сердцебиение партнера успокаивающе
Создать невозможный треугольник
Фон
Восприятие глубины строится на основе различных сигналов глубины.Глядя на фотографию, которая плоская, мы делаем вывод глубина от реплик, имеющихся на фотографии. Взгляните на фотографию ниже.
На фотографии Луна явно находится за облаками, потому что облака закрывают часть Луны. Отзывать Судя по тексту, это сигнал глубины монокуляра, называемый окклюзией. Однако, поскольку фотография действительно плоская, вы можете заставить зрительную систему неверно истолковать сцену, управляя сигналами глубины и углом.
Взгляните на следующую страницу и увидите цифру, которая может оказаться невозможной.
Невозможный треугольник
Не могли бы вы построить этот треугольник из своего лего? Проверьте следующую страницу, чтобы увидеть, как была создана эта структура. Этот фигура называется невозможным или треугольником Пенроуза.
Lego Объяснение невозможного треугольника
Фотография действительно двухмерная.Таким образом, необходимо сделать вывод о глубине. См. Главу 7, особенно обсуждение окклюзии и рисунок 7.4 для более полного обсуждения этого вопроса. Однако вкратце, поскольку вы определяют глубину из фотографии, и у вас есть только один конкретный вид, иллюзия возможна, поскольку окклюзия сигналов глубины не обеспечивает сильного восприятия глубины. Верхняя панель закрывает часть нижней панели и наш мозг воспринимает, что нижняя полоса соприкасается с верхней полоской.Просмотрите иллюзию ниже.
Если я сдвину камеру, чтобы дать вам новый вид, вы увидите, что верхняя и нижняя полоски параллельны и никогда трогать. Иллюзия возникает из-за ограниченной глубины и очень избирательной точки зрения камеры. Полагать Мне потребовалось много времени, чтобы поставить камеру даже примерно в нужное место.
Как построить и сфотографировать треугольник Пенроуза
Эти направления изменены из этого видео.
Что вам понадобитсяВам понадобятся следующие типы частей Lego (все части показаны на фотографии ниже):
1 2 x 10 частей или комбинации, которые образуют этот размер. Я использовал красный 2 x 8 и красный 2 x 2.
1 2 х 8 шт. Он должен быть такого размера. Я использовал апельсин 2 x 8 штук.
4 2 х 2 шт.
1 база 4 x 10 (или что-то еще, чтобы обеспечить противовес)
Сборка
- Сначала разместите детали 2 x 10 вдоль одной стороны основания 4 x 10, как показано ниже.