Нарисовать звезды: 7 способов нарисовать пятиконечную звезду

Как нарисовать звезду (и не только) в полярных координатах / Хабр

Вопрос о формуле для многоугольника в полярных координатах регулярно возникает на тематических ресурсах — и так же регулярно остаётся без внятного ответа. В лучшем случае попадается решение через функцию остатка от деления — что не является «чистым» с математической точки зрения, поскольку не позволяет производить над функцией аналитические преобразования. Видимо, настоящие математики слишком заняты решением проблем тысячелетия и поисками простого доказательства теоремы Ферма, чтобы обращать внимание на подобные банальные задачи. К счастью, в этом вопросе воображение важнее знания, и для решения этой задачи не нужно быть профессором топологических наук — достаточно знания школьного уровня.

Формула для равностороннего многоугольника в полярных координатах выглядит очень просто

и имеет следующие параметры:

— угол;
— количество выпуклых вершин;

— определяет, через какое количество вершин стороны будут лежать на одной прямой. Для него допустимы и отрицательные значения — от знака будет зависеть, в какую сторону будет выгибаться звезда;
— жёсткость — при мы получим окружность вне зависимости от прочих параметров, при — многоугольник с прямыми линиями, при промежуточных значениях от до — промежуточные фигуры между окружностью и многоугольником.

С этой формулой можно нарисовать звезду двумя путями:

1)

2) . В этом случае требуется сделать два оборота вместо одного:

Параметр влияет на многоугольник следующим образом (здесь он изменяется от -1 до 5):

Параметр в анимации:

Комплексная форма и модификации

Можно переписать исходную формулу в комплексном виде, и, несмотря на наличие в ней мнимых единиц, значение радиуса по-прежнему будет оставаться действительным:

На первый взгляд это может показаться бессмысленным, поскольку формула стала чуть более громоздкой — но не стоит спешить с выводами.

Во-первых, в ней отсутствует арксинус, что полностью меняет математический смысл формулы и позволяет по-другому посмотреть на построение звёздчатого многоугольника. Во-вторых, из неё также можно получить компактные формулы для частных случаев, например . В-третьих (и самое интересное), её можно творчески модифицировать и получать другие, неожиданные формы. Для того, чтобы появление возможной мнимой компоненты в радиусе не вызывало неоднозначности при вычислении, можно её сразу привести к декартовым координатам умножением на . Вот примеры некоторых модификаций:

Как вы наверняка заметили, вращение вектора перестало быть равномерным — и именно из-за появления мнимой составляющей в радиусе.

Квадрокруги и прочее

У нашей формулы есть замечательный частный случай — квадрат, формулу для которого можно выписать как

или

(выбирайте, какая больше нравится).

В чуть более развёрнутом случае можно определить промежуточные фигуры между кругом и квадратом через точку на плоскости

Можно также добавить вариативности этим фигурам с сохранением условия прохождения их через точку — модулируя непосредственно сам параметр в зависимости от угла таким образом, чтобы при прохождении через диагонали его множитель был равен единице. Например, подставив вместо функцию , мы получим дополнительный параметр , которым можно регулировать дополнительные изгибы. В частности, для получится следующее:

В ещё более развёрнутом случае можно определить не просто квадрат — а прямоугольник, и по прежнему в полярных координатах:

И даже посчитать его площадь (через эллиптические интегралы):

Примечание

Для крайних значений ( и ) эта функция имеет особые точки, которые можно посчитать через предел и они ожидаемо будут равны и .

Это позволит делать профили с переходом из окружности в прямоугольник с контролируемой площадью сечения. Здесь площадь константна:

А здесь площадь расширяется по экспоненциальному закону:

Переход к декартовым координатам

Любую формулу в полярных координатах можно выразить через уравнение в декартовых координатах, причём как минимум двумя способами — в зависимости от чего будет изменяться вид градиента на границе фигуры. Для этого достаточно посчитать угол через арктангенс от координат и привести формулу к константе через радиус-вектор вычитанием

или делением

Второй вариант предпочтительнее, поскольку даёт прямые градиенты вдоль сторон многоугольника.

Примечание

Здесь также нужно помнить, что в точке (0,0) возникает неопределенность из-за деления на ноль — которая, впрочем, легко разрешается через предел (который будет равным в первом случае и нулю во втором).

Выражение также можно упростить до , коэффициенты числителя которого при разложении образуют знакочередующий вариант последовательности A034839.

Значение формулы из правой части уравнения (во 2-м случае) будет меняться от до если точка попадает внутрь фигуры, и от до бесконечности — если нет. Выбирая различные функции для преобразования её в яркость, можно получать различные варианты растеризации. Для экспоненты ( для первого и для второго варианта) получим

или, если с насыщением

Можно использовать классический фильтр нижних частот , в котором — порядок фильтра, определяющий степень затухания.

Для первого варианта:

И для второго:

Можно использовать и кусочно-непрерывную функцию, явно задавая границы интерполяции.

Помимо растеризации как таковой, можно задавать и деформации — например, сжать шахматную доску в круг:

Или даже натянуть её на сферу:

Формула

Классический стиль повествования в математических текстах состоит из чередования лемм/теорем и их доказательств — как если бы доказуемые утверждения появлялись у авторов в голове откровением свыше. И хотя в этом и бывает доля истины, чаще появлению формул предшествует некоторая исследовательская работа, описание которой может дать большее понимание их смысла, чем формальное доказательство; а верность утверждений, в свою очередь, можно проследить через верность шагов, к ним приведших.

Так и здесь — если бы статья началась с формулы в комплексной форме, то её появление было бы неочевидным и контр-интуитивным, а заявленные свойства требовали бы дополнительных доказательств. Но в тригонометрической форме записи историю её появления вполне возможно проследить.

1) начинаем с самого простого случая — задаче начертить прямую в полярных координатах. Для этого нужно решить уравнение , решение которого очевидно .

2) далее аргумент секанса нужно «зациклить», чтобы обеспечить изломы в прямой. Именно на этом этапе другие решения используют «грязный хак» в виде остатка от деления. Здесь же используется последовательное взятие прямой и обратной функции синуса —

Такой подход позволяет производить стандартные математические операции над получившейся формулой,

например

можно её продифференцировать и получить функцию для прямоугольной волны:

Благодаря этой же записи можно упростить функцию квадрата в полярных координатах до более эстетического вида, используя представление тригонометрический функций в комплексном виде.

2))] /. \[Phi] -> ArcTan[x, y]
// TrigToExp // Simplify
// # /. {x -> Cos[\[Phi]], y -> Sin[\[Phi]]} &
// TrigToExp // Simplify // FullSimplify
↓

Заключение

Как видите, даже в такой простой и банальной вещи как многоугольник, можно найти и придумать что-то новое. И на этом история не заканчивается — осталась неизвестной формула площади для общего случая, осталась неизвестной формула для произвольного, а не только правильного многоугольника, остались без рассмотрения разложения в степенные и тригонометрические ряды. Также, вероятно, подобного рода формула существует и для 3-мерного случая.

Поэтому если вам говорят, что в математике уже всё придумано и остались лишь задачи недоступные пониманию обычного человека — не верьте. Есть много сугубо практических задач, о существовании которых настоящие математики не подозревают, или их решение им не интересно из-за отсутствия достаточного хайпа вокруг них, или потому что у них уже есть примерное представление путей достижения для их решения.

Не бойтесь браться за задачи, решение которых отсутствует в википедии, не бойтесь публиковать их решения и не бойтесь читать комментарии под статьями о бесполезности всего сущего.

P.S. скачать оригинальный документ для Mathematica можно здесь.

Как нарисовать звезду | Рисуем поэтапно карандашом

14 апреля 2018

Для детей, Фигуры

Легко

В этом поэтапном руководстве мы научимся рисовать звезду. Начнем с общих принципов построения пятиконечной звезды, а потом добавим ей немного мультяшности, чтобы сделать ее более детской.

Материалы:

Карандаш, бумага, ластик, циркуль, линейка, транспортир, цветные карандаши или краски

Шаг 1

Итак, для начала нарисуем круг и две пересекающиеся линии в его центре. Это будет основой нашей будущей звезды.

Шаг 1. Основа звезды: круг и две пересекающиеся линии

Шаг 2

Далее построим правильный пятиугольник, в который вписан наш круг.

Есть несколько вариантов, как это сделать. Первый — использовать общеизвестные принципы построения таких пятиугольников, используя циркуль и линейку.

Второй вариант — это транспортир, с помощью которого нужно разделить наш круг на пять равных частей, и каждый из получившихся пяти углов будет равен 72°.

Ну и, конечно, можно просто нарисовать на глаз, если нам для нашего рисунка не требуется особая точность.

Шаг 2. Рисуем правильный пятиугольник

Шаг 3

Теперь делим каждую из сторон пятиугольника на 2 равных отрезка. Соединяем получившиеся точки с центром. Должно получиться пять линий, это оси нашей будущей звезды.

Шаг 3. Рисуем оси звезды

Шаг 4

Далее из углов пятиугольника рисуем прямые линии, пересекающие оси в выбранной точке.

Имейте в виду, что если продлить ребра пятиугольника напрямую, то мы получим стандартную остроконечную звезду.

Но если вы хотите сделать ее более выпуклой, тогда длину луча нужно немного сократить по сравнению со стандартной.

Шаг 4. Рисуем лучи звезды

Шаг 5

Стираем вспомогательные линии, и наша звезда готова.

Шаг 5. Стираем вспомогательные линии

Шаг 6

Теперь давайте добавим немного мультяшности. Для этого сотрем все внутренние оси, а сами ребра звезды немного скруглим.

Нарисуем глаза — два основных круга с двумя внутренними линиями каждый. Эти внутренние линии — зрачок и блик на нем.

Нарисуем изогнутые горизонтальные линии в нижней части наших глаз, это будет верхней частью щечек.

Шаг 6. Рисуем скругленный контур и глаза

Шаг 7

Теперь нарисуем полукруглую разомкнутую линию, частично перекрывающую глаз с правой стороны — носик нашей звезды.

Сотрем вспомогательные линии для глаз.

Шаг 7. Рисуем нос

Шаг 8

Осталось нарисовать рот, добавив маленькие изогнутые линии в уголках.

Также обозначим нижнюю губу.

Шаг 8. Рисуем губы

Шаг 9

Теперь раскрасим рисунок в выбранные цвета.

Обратите внимание, что черты лица лучше раскрашивать не в черный цвет, а в темно-коричневый: так наша звезда будет выглядеть более гармоничной.

А вот зрачок вполне можно раскрасить в черный.

Шаг 9. Раскрашиваем звезду

Теперь наша мультяшная звездочка окончательно готова.

Комментариев нет

Я даю согласие на обработку персональных данных.

Как рисовать звезды и звезду Давида с помощью простых пошаговых уроков рисования и руководств для детей

Главная > Справочник уроков рисования > Рисование объектов и вещей > Геометрические фигуры > Как рисовать звезды

Как рисовать 5 остроконечных звезд и Звезду Давида со следующими уроками и учебными пособиями.

Как нарисовать пятиконечные звезды Хочешь учиться как нарисовать пятиконечные звезды? Если вы не умеете рисовать звезды, но тогда это пошаговое руководство поможет вам разобраться как нарисовать пятиконечную звезду, используя круг и стрелки для построения форма. Как легко нарисовать шестиконечные морские звезды Следуйте дальнейшим пошаговым инструкциям, и вы сможете легко рисовать его в будущем. Как нарисовать причудливую звезду Давида Научитесь рисовать Звезду Давида, также известную как Еврейская Звезда. Научитесь рисовать звезду Марио Сегодня мы покажем вам, как нарисовать Звезду из Super Mario Bros от Nintendo. Узнайте, как нарисовать Звезду с помощью следующего простого пошагового руководства. Как Нарисовать звезду А пятиконечная звезда так полезна. Вы можете использовать его, чтобы рисовать картинки, делать дизайн канцелярских принадлежностей или украшение открыток для праздничных мероприятий. это также отлично подходит для учителей, которые могут использовать его для оценки работ или для создания картонная форма для вручения призов или подвески в качестве мобильного телефона. Как нарисовать морскую звезду Позволяет начните этот первый шаг, нарисовав несколько простых линий, которые помогут Вы рисуете морскую звезду намного лучше. Как нарисовать звезду Там Есть два способа нарисовать звезду: с помощью циркуля, линейки и транспортира или свободной рукой. Линейка и циркуль помогут вам нарисовать с точностью. — отлично пятиконечная звезда или любая звезда, которую вы хотите. Как нарисовать звезду Давида, Вифлеемскую звезду Техника рисования звезды Давида. Как нарисовать звезду Давида звезда Давида, также известная как «еврейская звезда». в основном два треугольника друг над другом. Эта статья покажет вы, как нарисовать эту звезду. Как рисовать мультяшных звезд Рисунок мультипликационные звезды: несколько забавных фактов перед тем, как начать рисовать!

 

 

 

Политика конфиденциальности.

• Искусство
• Битвы
• Жить
• Новости
• Конкурс
• Свяжитесь с нами

• Присоединиться
• Авторизоваться

• Битвы
• Учебники
• Искусство
• Новости
• Жить
• Конкурс
• Свяжитесь с нами
• Политика конфиденциальности
• Авторизоваться
• Присоединиться

Контент для взрослых

Как нарисовать галактику

Последние пару месяцев я действительно увлекся наблюдением за звездами и чтением информации о галактиках, звездах и других вещах, которые…

Контент для взрослых

Как нарисовать череп Монро

Я получаю огромное удовольствие от создания действительно крутых артов, из которых получаются удивительные татуировки. Сегодня я покажу вам очень…

Контент для взрослых

Как нарисовать рождественскую звезду

Прежде чем Рождество придет и уйдет, я хотел сделать этот урок, который покажет вам, как нарисовать Рождественскую звезду, шаг за шагом, с …

Контент для взрослых

Как рисовать Rockstar, Rockstar…

Итак, все знакомы с логотипом, который вы видите перед собой, верно? Ну, я хотел сделать этот урок, потому что я …

Контент для взрослых

Как нарисовать языческую звезду

Должен признаться, я всегда был очарован искусством викканских заклинаний и предметов. Чтобы отдать дань уважения, я думал, что с …

Контент для взрослых

Учебник по рисованию Нирваны

Хватит футбольных логотипов и нудных уроков. Сегодня я буду выкладывать кое-что интересное, и я…

Контент для взрослых

Как рисовать звезды

У меня есть еще один урок для вас, все это одновременно прекрасно и отчасти иллюзорно. Далее я покажу вам, как…

Контент для взрослых

Как нарисовать телескоп

Привет всем, это я ваш дружелюбный сосед Драгоарт. Я вернулся сегодня с некоторыми забавными уроками, которые будут на немного …

Контент для взрослых

Как нарисовать созвездие

Что может быть лучше, чем нарисовать вымышленное созвездие в ночном небе головы грифона, чтобы пойти с уроком телескопа …

Контент для взрослых

Как рисовать Шакиру

Кто бы мог подумать, что лицу, которое вы сейчас видите перед собой, почти сорок лет. Сегодня я покажу вам «как др…

Контент для взрослых

Как нарисовать Пола Уокера

Я знаю, что должен был загрузить этот урок некоторое время назад, но я был так занят другими делами и пытался заполнить другие …

Контент для взрослых

Как нарисовать Джеймса Франко

Я завершаю свою серию актеров This Is The End с потрясающим Джеймсом Франко! Он был фантастическим с тех пор, как его э …

Контент для взрослых

Как нарисовать Эмму Уотсон

Знаменитая актриса — лишь одна из многих в новом фильме «Это конец». Узнайте, как нарисовать Эмму Уотсон в комиксе st …

Контент для взрослых

Как нарисовать Джея Барушеля

Джей Барушель — один из тех замечательных актеров, которые время от времени появляются в отличных фильмах. Вы можете знать его из …

Контент для взрослых

Как рисовать Майкл Сера, Мичиган

Взгляните на неловкость Майкла Сера! Талантливый актер — еще один из многих в новой комедии This Is The En …

Контент для взрослых

Как нарисовать Джона Хилла, Джона…

Я думаю, Джона Хилл, наверное, самый смешной человек в Голливуде в наши дни. Я смотрел SuperBad бесчисленное количество раз, и я все еще …

Контент для взрослых

Как рисовать Крейга Робинсона, Кр…

Еще один талантливый актер из This Is The End. Крейг Робинсон добился успеха в «Офисе» и с тех пор снялся во многих фильмах …

Контент для взрослых

Как рисовать Сета Рогена, Сет Р.

..

Я был большим поклонником Сета Рогена с тех пор, как он снялся в сериале «Чудики и чокнутые». Я так взволнован, увидев его рядом с моей…

Контент для взрослых

Как нарисовать невесту в черной фате…

Я не собираюсь тратить время на описание этого урока, потому что я знаю, что многие из вас знают, на что вы смотрите. Это …

Контент для взрослых

Как нарисовать Далласских ковбоев…

Это последний учебник, связанный с футболом, который я отправлю сегодня, но завтра я вернусь с новыми, так что не …

Контент для взрослых

Как нарисовать пепел из «Зловещих мертвецов»

«Приходите получить некоторые!» Зловещие мертвецы всегда были частью моего детства с 10 лет.