Как нарисовать семиугольник: Как начертить семиугольник

Содержание

Семиугольник — frwiki.wiki

Для одноименной статьи см Heptagone (альбом) .

Угольник представляет собой многоугольник с семью вершинами , так семь сторон и четырнадцать диагоналей .

Сумма внутренних углов в качестве перекрещивания семиугольника является ей радиан .

Регулярный угольник является угольник со стороны все равны и все внутренние углы равны. Их три: две звездочки ( правильные гептаграммы ) и одна выпуклая . Именно о последнем мы говорим, когда говорим о «правильном семиугольнике».

Правильный семиугольник — самый маленький из правильных многоугольников, который невозможно построить с помощью линейки и циркуля . Однако можно выполнить построение с помощью линейки и циркуля, если используются другие геометрические инструменты или если линейка может быть градуированной ( построение Neusis ). Также можно нарисовать приблизительный вариант, с небольшими ошибками, с помощью циркуля и безградуированной линейки.

Резюме

1 Характеристики правильного семиугольника
2 Невозможность построения с помощью линейки и компаса
3 Построение пересечением коник
4 Строительство от neusis
- 4.1 Предварительная конструкция
- 4.2 Конструкция Neusis
5 Примерные конструкции
- 5.1 Использование равностороннего треугольника
6 Правильный семиугольник в повседневной жизни
7 фрагментов истории
8 Примечания и ссылки
9 См. Также
- 9.1 Статья по теме
- 9.2 Внешние ссылки

Характеристики правильного семиугольника

Все внутренние углы равны 5π / 7 рад .
В углы в центре все равно 2л / 7 рад .

Если сторона имеет длину а :

радиус г по окружности равенрзнак равнов2грех⁡(π7)≈1.

{2} -4x-1) = 0}.

Для к не кратно 7, реальный х , следовательно , является корнем из 8 х ³ + 4 х ² — 4 х — 1 , который является несократима наQ{\ displaystyle \ mathbb {Q}} и степени 3. Это находится в противоречии с результатом , установленным Wantzel , который утверждает, что минимальный многочлен конструктивного числа всегда имеет степень степени 2 . Таким образом, cos a невозможно построить, если k не делится на 7, следовательно, семиугольник не может быть построен.

Построение пересечением коник

Построение пересечением коник.

Однако семиугольник можно построить, используя коники , поскольку 7 — простое число в форме 2 ^α 3 ^β + 1 , или еще раз: поскольку семиугольник можно построить с помощью невзиса ( см. Ниже ).

На прилагаемом чертеже показана конструкция семиугольника с использованием единичной окружности и прямоугольный гиперболой центр Q (1/4 √ 7 /4) и проходящей через

А (1, 0) .

{2} -2}}} {4}}}.

Строительство от neusis

Конструкция по neusis или путем наклона является метод строительства с помощью градуированной линейки и состоящий в построении отрезка заданной длины, концы которого лежат на двух заданных кривых. Здесь речь идет о построении угла π / 7 .

Предварительная конструкция

На прилагаемом рисунке ABCDEFGA представляет собой многоугольник, все сегменты которого имеют длину 1. ABFD и AGCE выровнены.

Докажем, что угол DAE равен π / 7 :

обозначим этот угол a , который также является углом BAC

треугольник ABC равнобедренный, противоположный угол ACB также имеет значение a ;

сумма углов треугольника равна π , угол ABC равен π — 2 a, а дополнительный угол CBD равен 2 a ;

треугольник BCD равнобедренный, противоположный угол CDB также имеет такое же значение ( 2
a ), а угол BCD равен π — 4 a ;

сумма углов ACB (которая равна a ), BCD ( π — 4 a ) и DCE равна π , поэтому DCE равна 3 a .

Треугольник CDE равнобедренный, противоположный угол DEC также равен 3 a ; угол DEA такой же.

Треугольник ADE равнобедренный, это также значение угла EDA, а сумма углов равна 7 a , но также π

поэтому a = π / 7 .

Докажем, что длина BE равна √ 2 :

Обозначим через s и t длины BF и FD.

Треугольник FDE равнобедренный, 2 cos (EDF) = t .

Прямые (FC) и (DE) параллельны, угол ACF равен 3 a . Поскольку угол ACB равен a , угол BCF равен 3 a — a = 2 a . Следовательно, треугольник BFC равнобедренный и FC = FB = s

Тот же параллелизм позволяет утверждать, согласно теореме Фалеса, что

1+s1+s+тзнак равноs1{\ displaystyle {\ frac {1 + s} {1 + s + t}} = {\ frac {s} {1}}}

что в результате перекрестного произведения и упрощения дает s ² + st = 1 .

Тогда теорема Аль-Каши в треугольнике BDE дает

BE2знак равноBD2+DE2-2.

{2} + st = 2}.

Строительство от neusis

Речь идет о построении точки A на серединном перпендикуляре отрезка [DE] и точки B на отрезке [AD], таких что AB = 1 и BE = √ 2 . Затем мы воссоздадим предыдущий треугольник.

Строим квадрат CDEF со стороной 1, рисуем серединный перпендикуляр (d) к [DE], а также к [CF], а также окружность с центром E и радиусом EC.

Мы помещаем начало линейки на серединный перпендикуляр, линейка опирается на точку D, мы тащим по серединному перпендикуляру начало линейки к вершине фигуры, сохраняя давление на D, пока не появится окружность (C) пересекает линейку на градуировке 1. Затем мы получаем точки B и A на градациях 0 и 1 соответственно.

Мы строим окружность, описанную в равнобедренный треугольник ADE (методом пересечения серединных перпендикуляров двух его сторон, который определяет центр O строящейся окружности, наиболее точное позиционирование заключается в том, чтобы взять две самые длинные стороны который также должен совпадать на уже начерченном срединном перпендикуляре (d) к DE), который также является описанной окружностью основного семиугольника DEGHAIJ DE, который достаточно построить, перенеся на циркуль по описанной окружности длину его первая дуга DE, начинающаяся из точек D, E и A, уже начерчена (DE = EG = GH = HA = AI = IJ = JD).

Этот метод, позволяющий нарисовать по крайней мере один правильный семиугольник со стороной 1 (но описанного радиуса, первоначально неизвестного), затем позволяет разделить диск на 7 равных частей, перемещая центр этого контрольного семиугольника в центр круга, который будет разделить, затем с помощью линейки, опираясь на общий центр и вершины первого семиугольника, нарисуйте радиусы, разрезающие круг, который нужно разрезать на 7 равных дуг:

Эта вторая конструкция требует только, чтобы линейка и циркуль «скользили» по уже построенному унитарному семиугольнику, чтобы центры смещенного семиугольника совпадали с центром круга, который нужно разделить.

Достаточно просто провести первую линию, соединяющую центр первого семиугольника с центром круга, который нужно разделить, затем провести параллели, проходящие через вершины первого семиугольника, и сослаться на циркуль на этих параллелях. расстояние между двумя центрами.

После того, как второй единичный семиугольник нарисован и выровнен с центром круга, который нужно разделить, остается только использовать его, чтобы нарисовать 7 радиусов, пересекающих круг, который нужно разделить, и проходящих через вершины перемещенного единичного семиугольника, чтобы получить вписанный в диск правильный семиугольник любого радиуса, который нужно разделить на 7 равных частей.

Примерные конструкции

Использование равностороннего треугольника

Отношение между стороной семиугольника и радиусом описанной окружности равно . Это число очень близко к, и это число очень легко получить, используя равносторонний треугольник . 2грех⁡(π/7)≈0,8677{\ Displaystyle 2 \ грех (\ пи / 7) \ приблизительно 0 {,} 8677}32≈0,866{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ приблизительно 0 {,} 866}

Отсюда следующая конструкция:

Нарисуйте круг с радиусом 1 и центром M.

Возьмите точку X на окружности. Окружность с центром X и радиусом XM пересекает предыдущую окружность в точках A и Y

Прямые (AY) и (MX) пересекаются в точке H.

Длина AH является хорошим приближением стороны семиугольника, вписанного в тот же круг.

По этому методу центральный угол составляет приблизительно 51,32 градуса вместо ожидаемых 51,43 (приблизительно) или относительной погрешности 2,15 на тысячу.

Правильный семиугольник в повседневной жизни

Семигранное розовое окно, церковь аббатства Больё-ан-Руэрг .

Семигранное окно в саду Юй в Шанхае ( Китай ).

Огранка монеты 20 евроцентов выполнена в виде правильного семиугольника.
В британских 20 и 50 пенсов монеты являются Рело семиугольники .

Фрагменты истории

Семиугольник — первый правильный многоугольник, который невозможно построить с помощью линейки и циркуля. Поэтому естественно, что после построения пятиугольника и шестиугольника греки, а затем арабы рассмотрели конструкцию семиугольника. Единственный текст греческого происхождения, прослеживаемый в точном построении семиугольника, приписывается Архимеду: « О делении круга на семь равных частей» . Он дошел до нас через арабский перевод Табита ибн Курры . Метод построения использует промежуточный шаг, состоящий в построении точки, уравнивающей площадь двух треугольников, но детали этого построения не приводятся. Поэтому мнения комментаторов разделились: это дыра в демонстрации? — отсутствующее сооружение требовало постройки neusis? — точка была получена пересечением коник?

Многие арабские математики , чтобы прокомментировали текст Архимеда и от X — ^го века , методы строительства с использованием пересечения два конических (два или гиперболой гиперболы и притчи ) предлагаются, либо заполнить пробел демонстрация Архимеда, либо предложить другие постройки (Абу аль-Джуд, Ас-Сиджи , Ас-Сагани (англ. ) , Абу Сахл аль-Кухи , Ибн Сахл , Ибн аль-Хайтам , Камаль ад-Дин ибн Юнус (умер около 1242 г.)). Связь между построением семиугольника и разрешением уравнения третьей степени изучается Абу Насром Мансуром .

Кажется, что из всех этих трактатов о семиугольнике ни один не был переведен на латынь. Тем не менее, мы находим следы строительства семиугольника со ссылкой на метод Архимеда в

Де трицепсе по Иордану Nemorarius .

Примечания и ссылки

↑ См. Теорему 3.6, с. 195 Ж.-М. Арнодьеса и П. Делезоида, « Числа (2, 3) -конструкции », Adv. Математика. , т. 158, п ^о 22001 г., стр. 169-252 ( читать онлайн ).
↑ См. Стр. 373-374 по Ж.-М. Arnaudiès и П. Delezoide, « Геометрические построения на пересечениях коники », Бюллетень де л ‘ APMEP , т. 446, г.2003 г., стр. 367-382 ( читать онлайн ).
↑ Эта цифра подробно описана в книге Жана-Дени Эйдена, Le jardin d’Eiden: Une année de colles en Math Spé MP , Paris, Calvage & Mounet,2012 г., 690 с. ( ISBN 978-2-916352-27-5 ).
↑ (in) Январь Хогендийк , « Греческое и арабское построение правильного семиугольника » , Arch. Hist. Exact Sci. , т. 30,1984, стр. 197–330, стр. 204 .
↑ (in) Генри Менделл, « Архимед и регулярный гептагон», селон Сабит ибн Курра ‘ на CSULA .
↑ (in) Рошди Рашед , Теория коник, геометрических конструкций и практической геометрии Ибн аль-Хайтама: История арабских наук и математики , т. 3, стр. 299 в Google Книгах .
↑ Hogendijk 1984 , стр. 201.
↑ Hogendijk 1984 , стр. 240.
↑ Hogendijk 1984 , стр. 270.

Смотрите также

Связанная статья

Тригонометрические формулы в kπ / 7

Внешние ссылки

Батист Горин, О правильном семиугольнике и его построении [PDF]
Еще одна примерная конструкция ( GeoGebra с линейкой и компасом). Точность: 0,1%.

Полигоны
От 1 до 10 сторон	Хенагон (1) Дигон (2) Треугольник (3) Четырехугольник (4) Трапеция Описывающая трапеция Параллелограмм Алмаз Прямоугольник Квадратный Антипараллелограмм Псевдоквадрат воздушные змеи Записываемый четырехугольник Пентагон (5) Правильный выпуклый пятиугольник Шестиугольник (6) Гептагон (7) Восьмиугольник (8) Эннеагон (9) Десятиугольник (10)
От 11 до 20 сторон	Хендекагон (11) · Додекагон (12) · Трехкадр (13) · Тетрадекагон (14) · Пентадекагон (15) · Шестиугольник (16) · Гептадекагон (17) · Октадекагон (18) · Эннеадекагон (19) · Икосагон (20)
Превосходство до 20 сторон	Триаконтагон (30) · тетраконтагон (40) · пентаконтагон (50) · гексаконтагон (60) · гептаконтагон (70) · октаконтагон (80) · Эннеаконтагон (90) · гектогон (100) · Дигектогон (200) · Тригектогон (300) · Тетрагектогон (400) · Пентагектогон (500) · Гексагектогон (600) · Гептагектогон (700) · Октагектогон (800) · Эннеагектогон (900) · чилигон (1000) · мириагон (10000)
Другие классификации, кроме количества сторон	Классификация по выпуклости Перекрестный многоугольник Простой многоугольник Невыпуклый многоугольник Звездный многоугольник Выпуклый многоугольник Классификация по углам и сторонам Равноугольный многоугольник Равносторонний многоугольник Правильный многоугольник Рейтинг по кругу Записываемый многоугольник Описывающий многоугольник Бицентрический многоугольник
Правильные звездчатые многоугольники	Пентаграмма · Гексаграмма · гептаграмма · Octogramme (в) · Эннеаграмма · декаграмм (в) · Hendécagramme (в) · dodecagram
Описание	Боковая сторона горная вершина Вершина На основе Внутренний угол / Внешний угол Периметр Область Теорема Пика
Замечательные линии и круги	Диагональ Апофема Описанный круг Написанный круг
Отношения между полигонами	Двойственность Огранка Звездчатость
Строительство	Теорема Гаусса-Вантцеля Построение правильного пятиугольника
Расслоение	Теорема Уоллеса-Больяи-Гервиена Равнодушие

Python turtle рисует правильные многоугольники и многоугольники

Теги: обучение черепахи python python Топология Обмен опытом

Python turtle рисует правильные многоугольники и многоугольники

Правильный многоугольник
Правильный многоугольник

Рассчитать внутренний угол
Код чертежа

Сделайте угловой многоугольник

Обратите внимание на угловой многоугольник
Краткое заключение
Код
Проблемы с кодом

Гаусс и гептагон

Сделайте правильный семиугольник

подводить итоги

Исходная статья, укажите источник для перепечатки

Правильный многоугольник

Сумма внутренних углов правильного n-стороннего многоугольника:x = (n — 2) * 180° / n

import turtle
# Обычные n-сторонние параметры
n = 7
x = (n - 2) * 180 / n
# Отрегулируйте скорость кисти
turtle. speed(1)
# Отрегулируйте цвет кисти
turtle.color('green')
# Отрегулируйте ширину кисти
turtle.pensize(3)
for _ in range(n):
	# Кисть движется вперед
	turtle.forward(100)
	# Направление кисти вращается по часовой стрелке
	turtle.right(180 - x)
turtle.done()

Правильный многоугольник

Самый простой многоугольник — этоПентаграмма

Рассчитать внутренний угол

Вот мой метод. Если у учащихся есть свои методы, поделитесь ими в комментариях.

Как показано на рисунке, в центре пятиконечной звезды находится правильный пятиугольник, а внутренний угол правильного пятиугольника, по расчетам, составляет 108 °.
Маленький треугольник на рисунке — это равнобедренный треугольник, поэтому острый внутренний угол пятиконечной звезды равен (180-2 * 72) = 36 °.
Правильный шестиугольник, правильный семиугольник … то же самое.
Таким образом получается формула для положительного острого внутреннего угла n: z = 2x-180, где: x = (n-2) * 180 / n
Упрощенно: z = (1-4 / n) * 180 °

Код чертежа

import turtle
# Положительный параметр n-угла
n = 7
# Вычислить внутренний угол правильного n-стороннего многоугольника
x = (n - 2) * 180 / n
# Вычислить положительный n-угол острого внутреннего угла
z = (1 - 4/n) * 180
# Отрегулируйте скорость кисти
turtle. speed(1)
# Отрегулируйте цвет кисти
turtle.color('green')
# Отрегулируйте ширину кисти
turtle.pensize(3)
for _ in range(n):
    "" "Нарисуйте по углам" ""
    turtle.forward(50)
    turtle.right(180 - z)
    turtle.forward(50)
    turtle.left(180 - x)
turtle.done()

Сделайте угловой многоугольник

Если это правильный n-угол, положитеДве смежные вершины соединеныВверх, то по мере увеличения n изображение будет приближаться⚪

Фигура с 19 углами выглядит следующим образом:

Итак, мы должны позволитьДве самые дальние вершиныПодключить

Обратите внимание на угловой многоугольник

Могу желать смело угадывать закон:
n — нечетное число, острый угол при вершине правильного n-стороннего многоугольника с четкими краями: w = (n-1) / 2 * x- (n-3) / 2 * 180
и x = (n-2) * 180 / n
Упрощенно: w = 180 / n
Поскольку n — четное число, после рисования и анализа делается вывод, что w = 360 / n

Краткое заключение

Угловой правильный n-угол острый угол при вершине w
w = 180 / n (n — нечетное число)
w = 360 / n (n — четное число)
Единая формула:w = 90/n * (3+(-1)ⁿ)

Код

import turtle
# Положительный параметр n-угла
n = 7
# Вычислить острый внутренний угол положительного углового n-угла
w = 90/n * (3 + (-1)**n)
# Отрегулируйте скорость кисти
turtle. speed(3)
# Отрегулируйте цвет кисти
turtle.color('green')
# Отрегулируйте ширину кисти
turtle.pensize(3)
for _ in range(n):
    "" "Добавляйте поворот в одну сторону за раз" ""
    turtle.forward(150)
    turtle.right(180 - w)
turtle.done()

Проблемы с кодом

Код в соответствии сОстрый угол при вершинеЧтобы нарисовать картинку, из заключения рассчитывается острый угол при вершине.

Угловой правильный n-угол острый угол при вершине w
w = 180 / n (n — нечетное число)
w = 360 / n (n — четное число)

Существуют нечетные числа n1 и четные числа n2 такие, что w1 == w2. Такие как 3 и 6, 5 и 10, 7 и 14 …
Эти пары четности получают одинаковые w, поэтому нарисованная графика одинакова.
В воображении обычная десятиугольная форма выглядит так:

на самом деле это:

анализ проблемы

Глядя только на нечетные числа, невозможно получить одинаковое w для всех нечетных чисел.
СтавитьчетныйРазделены на две категории:Кратно 4，Не кратно 4。
Оно не кратно 4. После того, как 360 / n уменьшится на 2, получится нечетное число 180 /. Ему должно быть равно нечетное число w. Следовательно, программа не может быть нарисована (вы можете написать другую программу для рисования).

Гаусс и гептагон

Учитель Ли Юнлэ рассказывает о правильном семиугольнике

Следующее изображение представляет собой гауссовское изображение надгробия, предоставленное пользователями сети:

Сделайте правильный семиугольник

подводить итоги

Черепаха рисует графику, и когда направление поворачивается на 360 °, она возвращается в исходное направление, которое можно использовать для расчета количества раз рисования цикла.
При рисовании многоугольников многие выводы делаются и наблюдаются невооруженным глазом, которым не хватает строгих доказательств.
Наконец, если учащиеся обнаруживают ошибки в тексте, пожалуйста, исправьте меня.

Интеллектуальная рекомендация

FFMPEG и VS2010

Скомпилируйте ffmpeg — это болезненная вещь, которая обычно используется напрямуюZeranoe FFmpeg Builds。 Если вы используете эту версию, вам нужно обратить внимание на абзац о помощи FFMPEG: То есть фа…

Встроенная идея + Maven + Sprilboot Project Project Prience Integration MVC

Используйте идею + Maven + Springboot Создание новых проектов (1) Интегрированный MVC 1. Создайте новый файл проекта -> Новый -> Проект maven —> next 2. Заполните идентификатор организации и…

Redis Обзор и общие инструкции

Redis использует два — инструкции Окружающая среда: Redis-5.0.3, Centos605 Обзор Redis — это высокоскоростная база данных памяти NoSQL, которая является системой хранения структуры данных в памяти, а …

Режим цепочки режима дизайна режима

основная концепция Что такое цепь Цепь представляет собой коллекцию узлов. Каждый узел цепи может быть разделен и реорганизован. Режим цепочки обязанностей Сделайте несколько объектов иметь возможност…

Проникновение в сеть/динамическое сетевые сети/видео Shangyun Gateway Easynts Network Platform Номер учетной записи и пароль нельзя войти в систему, как решить

Easynts, как Gateway Video Cloud, имеет такие функции, как сети видеопотоков, удаленная работа и техническое обслуживание. До запуска он будет протестирован отделом департамента исследований и разрабо…

Аплет WeChat сообщил об ошибке: не удалось прочитать свойство 0 из undefined

Сегодня я столкнулся с ошибкой: VM4735:2 Uncaught TypeError: Cannot read property ‘0’ of undefined После долгих поисков было обнаружено, что тринокулярный расчет был неправильным.Такую низкоуровневую …

beaurifulsoup считывает данные локальной веб-страницы и сохраняет их в csv

Градуированная бедная собака использовала paperYY для проверки дубликатов. Контент проверки дубликатов отображается в формате html. Чтобы облегчить изменение повторяющихся мест в документе, содержание…

【CCF】201609-1

…

Два элемента управления JS — список и пейджер

В последние месяцы я выполнял различные работы по техническому обслуживанию, и блог не обновляется часто. В мгновение ока наступит 2011 год, и я надеюсь, что в наступающем году я найду свою страсть. З…

Начало работы с сопоставлением точек функций python opencv + цель поиска по гомографии (39)

Контент поступает из само переведенных и организованных учебных пособий OpenCV-Python. цели: Мы объединим сопоставление характерных точек и поиск гомографии, а также будем использовать модуль calib3d …

Построение правильных многоугольников — техническое черчение. Как построить правильный восьмиугольник Как начертить правильный 8 угольник

Построение вписанного в окружность правильного шестиугольника. Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения достаточно разделить окружность на шесть равных частей и соединить найденные точки между собой (фиг. 60, а).

Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4 (фиг. 60, б), строим стороны 1 -6, 4-3, 4-5 и 7-2, после чего проводим стороны 5-6 и 3-2.

Построение вписанного в окружность равностороннего треугольника . Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного циркуля.

Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность равностороннего треугольника.

Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, проведённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0-1-2 равен 30°, то для нахождения стороны

1-2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0-1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1-2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2-3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 проводим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

Второй способ основан на том, что,если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вершины через одну, то получится равносторонний треугольник.

Для построения треугольника (фиг. 61, б) намечаем на диаметре вершину-точку 1 и проводим диаметральную линию 1-4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окружностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вершинами искомого треугольника.

Построение квадрата, вписанного в окружность . Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.

Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пересекаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°. Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные стороны квадрата 4-1 и 3-2. Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1-2 и 4-3.

Второй способ основан на том, что вершины квадрата делят пополам дуги окружности, заключённые между концами диаметра (фиг. 62, б). Намечаем на концах двух взаимно перпендикулярных диаметров точки А, В и С и из них радиусом у описываем дуги до взаимного их пересечения.

Далее через точки пересечения дуг проводим вспомогательные прямые, отмеченные на фигуре сплошными линиями. Точки их пересечения с окружностью определят вершины 1 и 3; 4 и 2. Полученные таким образом вершины искомого квадрата соединяем последовательно между собою.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник (фиг. 63), производим следующие построения.

Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вершин пятиугольника. Делим отрезок АО пополам. Для этого радиусом АО из точки А описываем дугу до пересечения с окружностью в точках M и В. Соединив эти точки прямой, получим точку К, которую соединяем затем с точкой 1. Радиусом, равным отрезку A7, описываем из точки К дугу до пересечения с диаметральной линией АО в точке H. Соединив точку 1 с точкой H, получим сторону пятиугольника. Затем раствором циркуля, равным отрезку 1H, описав дугу из вершины 1 до пересечения с окружностью, найдём вершины 2 и 5. Сделав тем же раствором циркуля засечки из вершин 2 и 5, получим остальные вершины 3 и 4. Найденные точки последовательно соединяем между собой.

Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

Для построения правильного пятиугольника по данной его стороне (фиг. 64) делим отрезок AB на шесть равных частей. Из точек А и В радиусом AB описываем дуги, пересечение которых даст точку К. Через эту точку и деление 3 на прямой AB проводим вертикальную прямую.

Получим точку 1-вершину пятиугольника. Затем радиусом, равным АВ, из точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, ранее проведёнными из точек А и В. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Найденные вершины соединяем последовательно между собой.

Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей. Из точки 7 радиусом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с продолжением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника. Приняв точку VII за одну из вершин семиугольника, проводим из полюса F через чётные деления вертикального диаметра лучи, пересечение которых с окружностью определят вершины VI, V и IV семиугольника. Для получения вершин / — // — /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые. Найденные вершины соединяем последовательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведения лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра.

Приведённый способ годен для построения правильных многоугольников с любым числом сторон.

Деление окружности на любое число равных частей можно производить также, пользуясь данными табл. 2, в которой приведены коэффициенты, дающие возможность определять размеры сторон правильных вписанных многоугольников.

Куклин Алексей

Работа носит реферативный характер с элементами исследовательской деятельности. В ней рассматриваются различные способы построения правильных n-угольников. В работе содержится подробный ответ на вопрос о том, что всегда ли можно построить n-угольник с помощью циркуля и линейки. К работе прилагается презентация, которую можно найти на данном мини-сайте.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts. google.com

Предварительный просмотр:

https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Построение правильных многоугольников Работу выполнил: ученик 9 класса «В» МБОУ СОШ № 10 Куклин Алексей

Правильные многоугольники Правильным многоугольником называют выпуклый многоугольник, у которого все стороны и углы равны. Перейти к примерам Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Назад Правильные многоугольники

Основоположниками раздела математики о правильных многоугольниках являлись древнегреческие ученые. Одними из них были Архимед и Евклид.

Доказательство существования правильного n-угольника Если n (число углов многоугольника) больше 2, то такой многоугольник существует. Попробуем построить 8ми угольник и доказать это. Доказательство

Возьмем окружность произвольного радиуса с центром в точке О. Разделим её на некоторое число равных дуг, в нашем случае 8. Для этого проведем радиусы так, чтобы получилось 8 дуг, и угол между двумя ближайшими радиусами был равен 360°: количество сторон (в нашем случае 8), соответственно каждый угол будет равен 45°.

3. Получаем точки A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8. Поочередно соединяем их и получаем правильный восьмиугольник. Назад

Построение правильного многоугольника по стороне с использованием поворота Правильный многоугольник можно построить, зная его углы. Мы знаем, что сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°(n — 2). Из этого можно вычислить угол многоугольника, разделив сумму на n. Углы Построение

Угол правильного: 3-угольника равен 60° 4-угольника равен 90° 5-угольника равен 108° 6-угольника равен 120° 8-угольника равен 135° 9-угольника равен 140° 10-угольника равен 144° 12-угольника равен 150° Градусная мера углов правильных треугольников Назад

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts. google.com

Подписи к слайдам:

В 1796 году одним из величайших математиков всех времён Карл Фридрих Гаусс показал возможность построения правильных n-угольников, если выполняется равенство, где n – количество углов, а k-любое натуральное число. Тем самым получилось, что в пределах 30 возможно деление окружности на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30 равных частей. В 1836 году Ванцель доказал, что правильные многоугольники, не удовлетворяющие данному равенству при помощи линейки и циркуля построить нельзя. Теорема Гаусса

Построение треугольника Построим окружность с центром в точке О. Построим еще одну окружность того же радиуса проходящую через точку О.

3. Соединим центры окружностей и одну из точек их пересечения, получив правильный многоугольник. Назад Построение треугольника

Построение шестиугольника 1. Построим окружность с центром в точке О. 2. Проведем прямую линию через центр окружности. 3. Проведем дугу окружности того же радиуса с центром в точке пересечения прямой с окружностью до пересечения с окружностью.

4. Проведем прямые через центр начальной окружности и точки пересечения дуги с этой окружностью. 5. Соединяем точки пересечения всех прямых с исходной окружностью и получаем правильный шестиугольник. Построение шестиугольника

Построение четырёхугольника Построим окружность с центром в точке О. Проведем 2 взаимно перпендикулярных диаметра. Из точек в которых диаметры касаются окружности проводим другие окружности данного радиуса до их пересечения (окружностей).

Построение четырёхугольника 4. Проводим прямые через точки пересечения окружностей. 5. Соединяем точки пересечения прямых и окружности и получаем правильный четырехугольник.

Построение восьмиугольника Можно построить любой правильный многоугольник у которого в 2 раза больше углов, чем у данного. Построим восьмиугольник при помощи четырехугольника. Соединим противоположные вершины четырехугольника. Проведем биссектрисы углов образованных пересекающимися диагоналями.

4. Соединим точки, лежащие на окружности, получив при этом правильный восьмиугольник. Построение восьмиугольника

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Построение десятиугольника Построим окружность с центром в точке О. Проведем 2 взаимно перпендикулярных диаметра. Разделим радиус окружности пополам и из получившейся на нем точки проведем окружность проходящую через точку О.

Построение десятиугольника 4. Проведем отрезок из центра маленькой окружности к точки в которой большая окружность касается своего радиуса. 5. Из точки соприкосновения большой окружности и её радиуса проведем окружность так, что она будет соприкасаться с маленькой.

Построение десятиугольника 6. Из точек пересечения большой и полученной окружностей проведем окружности построенные в прошлый раз и так будем проводить до тех пор пока соседние окружности не соприкоснутся. 7. Соединим точки и получим десятиугольник.

Построение пятиугольника Для построения правильного пятиугольника нужно во время построения правильного десятиугольника соединить поочередно не все точки, а через одну.

Приблизительное построение правильного пятиугольника методом Дюрера Построим 2 окружности проходящие через центр друг друга. Соединим центры прямой, получив одну из сторон пятиугольника. Соединим точки пересечения окружностей.

Приблизительное построение правильного пятиугольника методом Дюрера 4. Проведем еще одну окружность того же радиуса с центром в точке пересечения двух других окружностей. 5. Проведем 2 отрезка как указано на рисунке.

Приблизительное построение правильного пятиугольника методом Дюрера 6. Соединим точки соприкосновения этих отрезков с окружностями с концами построенной стороны пятиугольника. 7. Достроим до пятиугольника.

Приблизительное построение правильного пятиугольника методами Коваржика, Биона

В черчении зачастую требуется строить положительные многоугольники. Так, скажем, положительные восьмиугольники применяются на щитах дорожных знаков.

Вам понадобится

– циркуль
– линейка
– карандаш

Инструкция

1. Пускай задан отрезок, равный длине стороны желанного восьмиугольника. Требуется возвести верный восьмиугольник. Первым шагом постройте равнобедренный треугольник на заданном отрезке, применяя отрезок, как основание. Для этого вначале постройте квадрат со стороной, равной отрезку, проведите в нем диагонали. Сейчас постройте биссектрисы углов при диагоналях (на рисунке биссектрисы указаны синим), на пересечении биссектрис образуется вершина равнобедренного треугольника, стороны которого равны радиусу окружности, описанной вокруг верного восьмиугольника.

2. Постройте окружность с центром в вершине треугольника. Радиус окружности равен стороне треугольника. Сейчас разведите циркуль на расстояние, равное величине заданного отрезка. Отложите это расстояние на окружности, начиная от всякого конца отрезка. Объедините все полученные точки в восьмиугольник.

3. Если же задана окружность, в которую должен быть вписан восьмиугольник, то построения будут еще проще. Постройте две перпендикулярные друг другу осевые линии, проходящие через центр окружности. На пересечении осевых и окружности получатся четыре вершины грядущего восьмиугольника. Осталось поделить расстояние между этими точками на дуге окружности напополам, дабы получить еще четыре вершины.

Верный треугольник – тот, у которого все стороны владеют идентичной длиной. Исходя из этого определения, построение сходственной разновидности треугольник а является нетрудной задачей.

Вам понадобится

Линейка, лист разлинованной бумаги, карандаш

Инструкция

1. Взять лист чистой бумаги, разлинованной в клеточку, линейку и подметить на бумаге три точки так, дабы они находились на идентичном друг от друга расстоянии (рис.1)

2. С подмогой линейки объединить подмеченные на листе точки ступенчато, друг за ином так, как это показано на рисунке 2.

Обратите внимание!
В верном (равностороннем) треугольнике все углы равны 60 градусам.

Полезный совет
Равносторонний треугольник так же является и равнобедренным. Если треугольник равнобедренный, то это обозначает, что 2 из 3-х его сторон равны, а третья сторона считается основанием. Всякий положительный треугольник является равнобедренным, в то время как обратное заявление не правильно.

Восьмиугольник – это, по своей сути, два квадрата, смещенных касательно друг друга на 45° и объединенных на вершинах цельной линией. А потому, для того дабы положительно изобразить такую геометрическую фигуру, нужно твердым карандашом дюже опрятно, по правилам начертить квадрат либо круг, с которыми и проводить последующие действия. Изложение ориентировано на длину стороны, равной 20 см. А значит, при расположении чертежа рассматривайте, дабы вертикальная и горизонтальная линии длиной 20 см умещались на листе бумаги.

Вам понадобится

Линейка, прямоугольный треугольник, транспортир, карандаш, циркуль, лист бумаги

Инструкция

1. Метод 1. Начертите внизу горизонтальную линию длиной 20 см. После этого с одной стороны подметьте транспортиром прямой угол, тот, что составляет 90°. То же самое дозволено сделать с поддержкой прямого треугольника. Проведите вертикальную линию и подметьте 20 см. Проделайте те же самые манипуляции с иной стороны. Объедините две полученные точки горизонтальной линией. В итоге получилась геометрическая фигура – квадрат.

2. Для того дабы возвести 2-й (смещенный) квадрат, потребуется центр фигуры. Для этого поделите всякую сторону квадрата на 2 части. Объедините вначале 2 точки параллельных верхней и нижней сторон, а потом точки боковых сторон. Проведите через центр квадрата 2 прямые линии, перпендикулярные касательно друг друга. Начиная от центра, отмерьте на новых прямых длину по 10 см, что в результате даст 4 прямые линии. Объедините 4 полученные наружные точки между собой, в итоге чего получится 2-й квадрат. Сейчас всякую точку из 8 полученных углов объедините между собой. Таким образом, будет начерчен восьмиугольник.

3. Метод 2. Для этого потребуется циркуль, линейка и транспортир. От центра листа с поддержкой циркуля начертите круг диаметром 20 см (радиус 10 см). Через центральную точку проведите прямую линию. После этого начертите вторую перпендикулярную ей линию. То же самое дозволено исполнить с подмогой транспортира либо прямого треугольника. В итоге круг будет поделен на 4 равные части. Дальше всякий из секций поделите еще на 2 части. Для этого также дозволено воспользоваться транспортиром, отмеряя 45° либо прямоугольным треугольником, тот, что приложите острым углом в 45° и проведите лучи. От центра на всякой прямой линии отмерьте по 10 см. В итоге получатся 8 «лучиков», которые объедините между собой. В итоге получится восьмиугольник.

4. Метод 3. Для этого так же начертите круг, проведите через середину линию. После этого возьмите транспортир, поставьте его на центр и отмеряйте углы, рассматривая, что всякий секция восьмиугольника имеет в центре угол 45° . Позже этого на полученных лучах отмерьте длину в 10 см. и объедините их между собой. Восьмиугольник готов.

Полезный совет
Делайте чертеж твердым карандашом, побочные линии на котором после этого легко дозволено будет удалить

Верный восьмиугольник – это геометрическая фигура, у которой всякий угол составляет 135?, и все стороны между собою равны. Эта фигура дюже зачастую используется в архитектуре, к примеру, при постройке колон, а также при изготовлении дорожного знака STOP. Как же нарисовать положительный восьмиугольник?

Вам понадобится

– альбомный лист;
– карандаш;
– линейка;
– циркуль;
– ластик.

Инструкция

1. Нарисуйте вначале квадрат. После этого проведите окружность так, дабы квадрат оказался внутри круга. Сейчас проведите две осевые серединные линии квадрата – горизонтальную и вертикальную до пересечения с кругом. Объедините прямыми отрезками точки пересечения осей с кругом и точки прикосновения описанной окружности с квадратом. Таким образом, получите стороны верного восьмиугольника.

2. Нарисуйте верный восьмиугольник иным методом. Вначале начертите окружность. После этого проведите горизонтальную линию через ее центр. Подметьте точку пересечения крайней правой границы окружности с горизонталью. Эта точка будет являться центром еще одной окружности, радиусом равным предыдущей фигуре.

3. Проведите вертикальную линию через точки пересечения 2-й окружности с первой. Поставьте ножку циркуля в точку пересечения вертикали с горизонталью и начертите небольшой круг радиусом, равным расстоянию от центра крошечной окружности до центра начального круга.

4. Начертите прямую линию через две точки – центр начального круга и точку пересечения вертикали и крошечной окружности. Продолжите ее до пересечения с рубежом изначальной фигуры. Это будет точка вершины восьмиугольника. Циркулем подметьте еще одну точку, проведя окружность с центром в точке пересечения крайней правой рубежом начального круга с горизонталью и радиусом, равным расстоянию от центра к теснее имеющейся вершине восьмиугольника.

5. Проведите прямую линию через две точки – центр начального круга и последнюю новообразованную точку. Продолжите прямую линию до пересечения с границами первоначальной фигуры.

6. Объедините прямыми отрезками ступенчато: точку пересечения горизонтали с правой рубежом начальной фигуры, после этого по часовой стрелке все образовавшиеся точки, включая точки пересечения осей с первоначальной окружностью.

Видео по теме

Построение правильных многоугольников — Техническое черчение

Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4 (фиг. 60, б), строим стороны 1 —6, 4—3, 4—5 и 7—2, после чего проводим стороны 5—6 и 3—2.

Построение вписанного в окружность равностороннего треугольника. Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного циркуля.

Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность равностороннего треугольника.

Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, проведённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0—1—2 равен 30°, то для нахождения стороны

1—2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0—1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1—2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2—3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 проводим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

Для построения треугольника (фиг. 61, б) намечаем на диаметре вершину—точку 1 и проводим диаметральную линию 1—4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окружностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вершинами искомого треугольника.

Построение квадрата, вписанного в окружность. Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.

Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пересекаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°. Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные стороны квадрата 4—1 и 3—2. Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1—2 и 4—3.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник (фиг. 63), производим следующие построения.

Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

Далее от точки К на этой прямой откладываем отрезок, равный 4/6 AB.

Получим точку 1—вершину пятиугольника. Затем радиусом, равным АВ, из точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, ранее проведёнными из точек А и В. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Найденные вершины соединяем последовательно между собой.

Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

Приведённый способ годен для построения правильных многоугольников с любым числом сторон.

В первой колонке этой таблицы указаны числа сторон правильного вписанного многоугольника, а во второй—коэффициенты.

Длина стороны заданного многоугольника получится от умножения радиуса данной окружности на коэффициент, соответствующий числу сторон этого многоугольника.

Как сделать нонагон? – Обзоры Вики

Аналогично, сколько градусов составляет девятиугольник? В геометрии нонагон (/ˈnɒnəɡɒn/) или эннагон (/ˈɛniəɡɒn/) представляет собой многоугольник с девятью сторонами или 9-угольник.
…
Нонагон.

Обычный эннагон (нонагон)
Внутренний угол (градусы)	140°
Свойства	Выпуклый, циклический, равносторонний, изогональный, изотоксальный

Что такое форма семиугольника? В геометрии семиугольник или септагон семиугольник или 7-угольник.

Как выглядит нонагон?

Правильный девятиугольник — это девятиугольная форма с равными сторонами и равные углы по 140 градусов каждый. Каждый внутренний угол правильного девятиугольника равен 140 градусам.

тогда является ли многоугольник вогнутым или выпуклым? Если один или несколько внутренних углов больше 180 °, он вогнутый. Правильный девятиугольник – это выпуклый многоугольник .
…
Классификация нонагонов.

Обычный нонагон	Неправильный нонагон
Все стороны и внутренние углы равны	Не все стороны и углы равны

Как называется пятидесятигранная фигура? Имена полигонов и прочие свойства

Имя и фамилия	Стороны
гектогон (или гекатонтагон)	100
257-угольник	257
тысячеугольник	1000
мириагон	10,000

Какова форма восьмиугольника?

В геометрии восьмиугольник (от греческого ὀκτάγωνον oktágōnon, «восемь углов») — это восьмиугольный многоугольник или 8-угольник. Правильный восьмиугольник имеет символ Шлефли {8}, а также может быть построен как квазирегулярный усеченный квадрат t {4}, который чередует два типа ребер.

Сколько сторон у семиугольника? В этом документе представлена догадка Гаусса о том, что можно построить семиугольник — правильный многоугольник с Стороны 17— с линейкой и компасом.

Как нарисовать додекагон?

Что такое правильный нонагон?

Правильный девятиугольник правильный многоугольник с девятью сторонами и символом Шлефли . Правильный многоугольник не может быть построен с использованием классических греческих правил геометрического построения, но Конвей и Гай (1996) дают конструкцию Нейзиса, основанную на трисечении угла.

Как называется 1000000000000000-сторонняя форма?

тысячеугольник

Обычный чилигон
Тип	Правильный многоугольник
Ребра и вершины	1000
Символ Шляфли	{1000}, т {500}, тт {250}, ттт {125}
Диаграммы Кокстера – Дынкина

Какова форма ундекагона? Хендекагон

Обычный девятиугольник
Правильный десятиугольник
Тип	Правильный многоугольник
Ребра и вершины	11
Символ Шляфли	11 {}

Сколько сторон и углов у неправильного девятиугольника? Нонагон – это многоугольник, состоящий из 9 сторон и 9 углов.

Как нарисовать девятиугольник с помощью циркуля и линейки?

На сколько больше сторон у девятиугольника, чем у треугольника? Многоугольник — это плоская (2D) фигура с прямыми сторонами.
…
2D-формы.

Треугольник — 3 стороны	Квадрат — 4 стороны
Нонагон – 9 Стороны	Десятиугольник — 10 сторон
Больше

Является ли нонагон простым или сложным?

Углы многоугольника

Каждый нонагон (не сложный) можно разделить на семь треугольников. Вы можете найти сумму внутренних углов, умножив 7 × 180° на 7 × 180°, так вы получите 1260°.

Сколько треугольников у девятиугольника? Обычный девятиугольник имеет до 9 равных треугольника которые не пересекаются. Нонагон — это многоугольник, состоящий из 9 отрезков.

Что такое полигон для 6 класса?

Многоугольник – это плоская фигура с прямыми сторонами. Многоугольники — это двумерные фигуры. Они состоят из прямых линий и имеют замкнутую форму, т.е. все линии соединяются. Треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники все примеры полигонов.

У какого многоугольника 13 стороны? Трехугольник. 13-сторонний многоугольник, иногда также называемый трехугольником.

Как нарисовать восьмиугольник

Как построить правильный восьмиугольник?

Нужно нарисовать квадрат, затем провести в нем диагонали. Каждую сторону следует разделить пополам. Через точку пересечения диагоналей и середину каждой стороны нужно провести отрезок, равный длине половины диагонали. Теперь осталось последовательно соединить полученные точки и вершины квадрата.

Как разделить окружность на 8 равных частей с помощью циркуля?

Деление окружности на восемь равных частей

Применяя известный прием деления прямого угла на две равные части при помощи циркуля или угольника строят биссектрисы прямых углов, которые пересекаясь с окружностью в точках 5, 6, 7, и 8 делят каждую четвертую часть окружности пополам.

Как в окружности начертить правильный Десятиугольник?

1 способ: С помощью циркуля начертите окружность. Используя транспортир, разделите ее на 10 равных секторов по 36 градусов каждый (360:10 = 36). Затем соедините последовательно все точки, отмеченные на окружности. 2 способ: Опять же, с помощью циркуля начертите окружность.

Что означает восьмиугольник?

Число восемь символизирует восстановление, обновление, возрождение, переход. Четыре стороны света плюс четыре промежуточных направления, образующие восьмиугольник, который в самых разных традициях носит название восьми ветров. .

Как построить правильный 12 угольник в окружности?

При делении окружности циркулем из четырех концов двух взаимно перпендикулярных диаметров окружности проводят радиусом, равным радиусу данной окружности, дуги до пересечения с окружностью (рис. 121). Соединив полученные точки, получают двенадцатиугольник.

Правильный восьмиугольник

Правильный восьмиугольник (октагон) — геометрическая фигура из группы правильных многоугольников. У него восемь сторон и восемь углов и все углы и стороны равны между собой.

Свойства

Восьмиугольник можно построить, проведя к сторонам квадрата серединные перпендикуляры и соединив точки их пересечения с описанной окружностью квадрата с его сторонами.
Сумма всех внутренних углов правильного восьмиугольника составляет 1080°
Угол правильного восьмиугольника составляет

Формулы расчёта параметров правильного восьмиугольника

t — длина стороны восьмиугольника
r — радиус вписанной окружности
R — радиус описанной окружности
S — площадь восьмиугольника
k — константа, равная ≈ 2,414213562373095

Так как правильный восьмиугольник можно получить соответствующим отсечением углов квадрата со стороной , радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности и площадь правильного восьмиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

Радиус вписанной окружности правильного восьмиугольника:

Радиус описанной окружности правильного восьмиугольника:

правильного восьмиугольника:

Применение восьмиугольников

В некоторых странах знак «Stop» имеет вид красного восьмиугольника.

В мультфильме Приключения Джеки Чана магические талисманы имеют форму правильного восьмиугольника.

Правильные многоугольники
Основные	Треугольник • Квадрат • Пятиугольник • Шестиугольник • Семиугольник • Восьмиугольник • Девятиугольник • Семнадцатиугольник • 257-угольник • 65537-угольник
См. также	Многоугольник • Теорема Гаусса — Ванцеля

Правильные многоугольники

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое «Правильный восьмиугольник» в других словарях:

Правильный многоугольник — Правильный семиугольник Правильный многоугольник это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и углы равны . Определение правильного многоугольника может зависеть от определения … Википедия

Восьмиугольник — Правильный восьмиугольник Восьмиугольник многоугольник с восемью углами. Сумма внутренних углов выпуклого восьмиугольника равна 1080° … Википедия

Правильный семиугольник — Правильный семиугольник это правильный многоугольник с семью сторонами. Содержание … Википедия

Правильный шестиугольник — (гексагон) это правильный многоугольник с шестью сторонами … Википедия

Правильный треугольник — Правильный треугольник. Правильный (или равносторонний) треугольник это правильный многоугольник с тремя сторонами, первый из правильных многоугольников. Все стороны … Википедия

Правильный девятиугольник — это правильный многоугольник с девятью сторонами. Свойства Правиль … Википедия

Правильный 17-угольник — Правильный семнадцатиугольник геометрическая фигура, принадлежащая к группе правильных многоугольников. Он имеет семнадцать сторон и семнадцать углов, все его углы и стороны равны между собой, все вершины лежат на одной окружности. Содержание 1… … Википедия

Правильный семнадцатиугольник — геометрическая фигура, принадлежащая к группе правильных многоугольников. Он имеет семнадцать сторон и семнадцать углов, все его углы и стороны равны между собой, все вершины лежат на одной окружности. Содержание … Википедия

Правильный 65537-угольник — 65537 угольник или окружность? Правильный 65537 угольник (шестѝдесятипятиты̀сячпятисо̀ттридцатисемиугольник) геометрическая фигура из группы правильных многоугольников, состоящая из 65537 … Википедия

Правильный 257-угольник — 257 угольник или окружность? Правильный 257 угольник правильный многоугольник с 257 сторонами. Содержание … Википедия

Как сделать восьмиугольник

Восьмиугольник — это многоугольник с восемью сторонами. В общем, когда люди думают о слове «восьмиугольник», они думают о «правильном восьмиугольнике», который имеет углы и стороны одинакового размера (как знаки «Стоп»). Создать точный восьмиугольник легко разными способами, используя только простые материалы — начните с шага 1 позже.

Определите длину стороны вашего восьмиугольника.

2 Используйте линейку, чтобы нарисовать линию заданной длины. Это будет первая из восьми сторон. Нарисуйте линию в точке, которая позволяет разместить остальную часть многоугольника.

Обратите внимание, что линии должны встречаться в конечных точках. Например, не начинайте новую строку с середины старой.

Из-за небольших человеческих ошибок, которые накапливаются в вашем дизайне, последняя нарисованная вами сторона может не учитывать угол 135 или , Обычно, если вы тщательно рисовали, вы можете просто использовать линейку, чтобы соединить конец седьмой стороны с началом первой.

1 Нарисуйте круг и два перпендикулярных диаметра. Компасы — это простые инструменты для рисования идеальных кругов. Диаметр круга, который вы нарисовали, будет главной диагональю восьмиугольника — другими словами, расстояние от угла восьмиугольника до того, который прямо противоположен. Следовательно, больший круг приведет к увеличению восьмиугольника. Используйте компас, чтобы нарисовать круг, и после этого нарисуйте два перпендикулярных диаметра, которые встречаются в центре круга.

Для остальной части процесса, держите компас с этим новым более широким открытием.

3 Нарисуйте дугу в центре круга. Поместите центр компаса на одном из пересечений между внутренним кругом и его диаметром. Используйте инструмент, чтобы нарисовать дугу около центра круга. Вам не нужно будет рисовать целый круг — достаточно дуги, идущей из одной точки в другую по окружности.

4 Повторите на противоположной стороне. Поместите центр компаса на пересечении между внутренним кругом и его диаметром в точке, противоположной той, которую вы только что использовали, и нарисуйте другую дугу в центре круга. Вы должны нарисовать форму «глаза» в центре круга.

5 Нарисуйте две линии, проходящие через уголки глаза. Используйте линейку, чтобы сделать это. Линии должны быть достаточно длинными, чтобы пересекать окружность в двух точках и перпендикулярно диаметру, который они пересекают.

Когда вы закончите, вы должны увидеть два пересекающихся «глаза».

При рисовании эти линии должны образовывать квадрат с линиями, нарисованными другим глазом.

8 Соедините углы только что завершенного квадрата с пересечением центрального креста и внутреннего круга. Эти точки образуют углы правильного восьмиугольника. Соедините их, чтобы завершить бой.

Если вы решили разрезать бумагу, используйте линейку для обеспечения точности. Например, если вы хотите разрезать лист А4 на квадрат, используйте линейку, чтобы измерить длину более короткой стороны над более длинной, а затем обрежьте ее.

полностью

1 Используйте восемь сторон различной длины. Стоит упомянуть, что, хотя почти все люди используют слово «восьмиугольник» для обозначения правильного восьмиугольника (один со сторонами и углами одинакового размера), в технических терминах это не единственный тип восьмиугольника, который существует. Любая форма с восемью сторонами — это восьмиугольник по определению. Поэтому, рисуя фигуру с восьми сторон разной длины, вы получите неправильный восьмиугольник.

Семиугольник

Гептагон (7-сторонний многоугольник) был формой большой загадки в геометрии. Невозможно построить семиугольник только с компасом и линейкой. Однако существует множество приближений, некоторые из которых я приведу здесь.

Эта первая конструкция является самой простой.

Это очень хорошее приближение к семиугольнику. Дан кружок O (желтый):

Найдите A , случайную точку на окружности.
Найдите M , середину OA .
Проведите перпендикуляр через M . Он пересекает окружность O в точке B .
Нарисуйте круг в точке B (голубой) так, чтобы он пересекал M . Окружность B пересекается с окружностью O в две точки семиугольника. Вы можете использовать их, чтобы найти остальных.

Существует метод аппроксимации почти любого правильного многоугольника с помощью циркуля и линейки. Особенно полезно с странные формы, такие как семиугольники и девятиугольники. Они сложны тем, что предполагают разделение строк.

Начертить круг O . Нарисуйте AB , диаметр круга O .
Разделить AB на n количество частей (n — количество сторон, в данном случае 7!).
Нарисуйте два круга, один в точке A и один в точке B (голубой), каждый с радиусом AB . Они пересекаются в точке C .
Точка D — вторая точка диаметра слева.
Нарисуйте линию из C до D , продолжая его до исходного круга, где он пересекается в E .
A и E — две точки семиугольника. Используйте их, чтобы найти остальных.
Вы можете использовать этот приблизительный любой n-gon !

Эта следующая конструкция была сформулирована мной. Это не так точно в других, но это относительно легко.

Начертить круг O . Нарисуйте ОА и ОВ так, чтобы они были перпендикулярны друг друга и A и B находятся на круге O .
Нарисуйте BC так, чтобы он был перпендикулярен AB (фиолетовый) и имел половину его длины.
Проведите линию через CA (голубой).
Нарисуйте круг в точке C так, чтобы он пересекал B (красный). Круг C (красный) крестики СА (голубой) по адресу D .
В точке A нарисуйте окружность, пересекающую D . Окружность A пересекает окружность O в двух точках семиугольника.

Вот очень сложная конструкция, но очень точная.

Начертить круг O . Нарисуйте ABCDE , пятиугольник, вписанный в окружность O .
Нарисуйте еще один круг в точке O , на этот раз внутри пятиугольника (фиолетовый). Для этого найдите середину одной из сторон пятиугольника и нарисуйте окружность, пересекающую эту точку.
Нарисовать OA . OA пересекается с маленьким кругом (фиолетовым) в точке F .
Нарисуйте круг в точке F (голубой), который пересекает A . Он пересекает OA в точке H . Нарисовать круг в точке A (голубой), который пересекает H . Круг A (голубой) пересекает OA на G .
Нарисуйте маленький круг в точке O (желтый), который пересекает H . Вписать равносторонний треугольник, ХИДЖ внутри этого круга (желтый).
Проведите линию через точки I и J .
Нарисуйте окружность в точке O , пересекающую точку G . Этот круг пересекает IJ в точках К и Л .
G,K,L — 3 точки семиугольника. Используйте их, чтобы найти остальных!

Подробнее см. Nexusjournal

Это новое строительство. Он предполагает использование сетки .

Найти точку (2,4) . Нарисуйте окружность с центром в начале координат, пересекающую эту точку.
Нарисуйте линию в точке y = -1 . Эта линия пересекает окружность в двух точках семиугольника.

Здесь показана конструкция Нейзиса для семиугольника, включающая отмеченную линейку. Вы можете найти больше информации на Мир математики.

Возьмите линейку (например, лист бумаги) и отметьте на ней две точки, А и В .
Построить сегмент CD , равный AB .
Найдите середину CD и назовите ее M . Проведите биссектрису через точку M .
Нарисуйте отрезок CE так, чтобы CE был перпендикулярен CD и имел одинаковую длину.
Нарисуйте окружность с центром D и точкой пересечения E .
Возьмите отмеченную линейку и поместите ее так, чтобы A касается дуги, B касается серединного перпендикуляра CD , и линейка касается точки C .
Тогда угол CBM или q равен p/14. Таким образом, 4q даст вам 2p/7, чего мы и хотели!

Построение семиугольника

КОНСТРУКЦИЯ A

Х Е П Т А Г О Н

Самая непонятная форма во всей геометрии.

Робин Ху

Строительство номер один

Шаг 1: Нарисуйте произвольную окружность с центром в точке O. Нарисуйте OA, радиус окружности O.
Шаг 2: Нарисуйте окружность с центром в точке A и радиусом AO. Окружность A пересекает исходный
окружность в точках B и C.
Шаг 3: Проведите прямую через BC. Линии OA и BC пересекаются в точке D.
Шаг 4: Нарисуйте окружность с центром в точке B и радиусом BD. Эта окружность пересекает окружность О в точке Е.
Шаг 5: BE — это сторона Гептагона, используйте ее, чтобы найти остальные.

Из всех построений, на мой взгляд, это первое самое простое и точное. Удивительно, но эта конструкция можно найти только на моем сайте. Если вы разделите одну из сторон пополам, вы можете создать приближение к 14-угольнику.

Строительство номер два

Шаг 1: Нарисуйте окружность A. Начертите отрезки AB и AC так, чтобы AB был перпендикулярен AC.
Проведите линию через BC.
Шаг 2: Проведите линию BD так, чтобы BC была перпендикулярна BD и BD составляет половину года до нашей эры.
Шаг 3: Проведите линию через DC. Нарисуйте окружность в точке D с радиусом DB. Круг Д пересекает DC в точке E.
Шаг 4: Нарисуйте окружность в точке C с радиусом CE. Эта окружность пересекает исходную окружность в двух точках. семиугольника.

Эта конструкция, с другой стороны, на самом деле была изобретена мной. Я нашел его, взяв золотую середину стороны квадрата. Довольно точно для любительской конструкции.

Строительство номер три

Шаг 1: Начертите окружность O диаметром AB, пересекающую ее.
Шаг 2: Разделите AB на 7 равных частей. Назовите вторую точку слева P.
Шаг 3: Нарисуйте два круга, один с центром в A, а другой с центром в B. Оба круга должны иметь радиус диаметра АВ. Две окружности пересекаются в точке C.
Шаг 4: Проведите линию через CP. Прямая СР пересекает окружность О в точке D. AD — сторона семиугольника.

Эта конструкция фактически основана на построении n-угольника.

Строительство номер четыре

Шаг 1: Нарисуйте окружность O. Впишите пятиугольник ABCDE внутри окружности O.
Шаг 2: Нарисуйте окружность внутри пятиугольника, касающуюся всех сторон пятиугольника (Найдите середину M AB и в точке O нарисуйте окружность радиусом OM).
Шаг 3: Проведите линию через OA. OA пересекает касательную окружность в точке F. Нарисуйте окружность в точке F. с радиусом FA. Окружность F пересекает линию OA в точке H.
Шаг 4: Нарисуйте окружность в точке A с радиусом AH или дважды скопируйте длину AF над линией ОА. AG в два раза длиннее AF.

Шаг 5: Нарисуйте окружность в точке O с радиусом OH. Вписать равносторонний треугольник HIJ внутри этого круга. Проведите линию через IJ.
Шаг 6: Нарисуйте окружность в точке O с радиусом OG. Этот большой круг пересекает линию IJ в точках Р и Р2.
Шаг 7: Точки G, P и P2 являются точками семиугольника.

См. веб-сайт NexusJournal для более подробной информации.

ЛЕГЕНДАРНАЯ ПЯТАЯ СТРОИТЕЛЬСТВО!!!

НОВЫЙ!!!

Я включил новую и совершенно другую конструкцию для семиугольника. Он предполагает использование равноотстоящей сетки x-y.
Это очень просто. Нарисуйте круг с центром (0,0) и пересечением точек (2,4) и (-2,4) на сетке. Сделайте одну из точек семиугольника точкой пересечения окружности с осью Y. Затем там, где линия y= -1 пересекает окружность, нарисуйте еще две точки. Теперь у семиугольника три вершины. Теперь вы можете легко найти остальные 4 точки.

Ошибки угла
Строительство	Измеритель угла	Процентная ошибка
Обычный семиугольник	51.428571°	0,000%
Строительство №1	51,317812°	0,215%
Строительство №2	51,827292°	0,775%
Строительство №3	51,518222°	0,174%
Строительство №4	51.460483°	0,062%
Строительство №5	51,4605°	0,062%

НАЧАЛО СТРАНИЦЫ
Напишите мне, если у вас есть вопросы или комментарии.

Другие страницы
Квадрат	Треугольник и шестиугольник	Пентагон	Золотое сечение	Нонагон
Пятиугольник	Семиугольник	Н-Гон	Квадрат круга	Основные конструкции

Нажмите, чтобы изменить фон

Запись посетителей
Знак посетителя	Дата прохождения
800	20.10.2002
1000	01.11.02

Этот сайт выиграл:

Метод ступенчатой диагонали с восемью рядами 125 мм

Последнее обновление пн, 18 июля 2022 г. | Геометрический чертеж

Чтобы построить правильный восьмиугольник по диагонали, т. е. о. внутри заданного круга (Рис. 2/29)

1. Нарисуйте круг и вставьте диаметр AE.

2. Постройте еще одну диагональ СО, перпендикулярную первой диагонали.

3. Разделите пополам четыре квадранта, полученные таким образом, чтобы разрезать круг в B. D. F и H.

ABCDEFGH — требуемый восьмиугольник.

Построить правильный восьмиугольник по заданному диаметру, т.е. внутри заданного квадрата (Рис. 2/30)

1. Построить квадратный ПОРС. длина стороны равна диаметру.

2. Проведите диагонали SQ и PR так, чтобы они пересекались с m T.

3. С центрами P. Q. R и S проведите четыре дуги радиусом PT (a QT = RT = ST), чтобы разрезать квадрат в A, B, C, Д. Э. Ф. Ганд Х.

ABCDEFGH — искомый восьмиугольник

Чтобы построить любой многоугольник g i van, зная длину стороны

Существует три довольно простых способа построения правильного многоугольника. Два метода требуют простых вычислений, а третий требует очень тщательного построения, чтобы быть точным. Показаны все три метода. Построения работают для любого многоугольника, и для их иллюстрации был выбран семиугольник (семь сторон). Способ 1 (рис. 2/31)

1. Проведите линию АВ, равную длине одной из сторон, конец АВ доведите до P.

2. Рассчитайте внешний угол многоугольника, разделив 360® на количество сторон. В этом случае экстенорный угол равен 360*/7 — 51 377.

3. Изобразите внешний угол РВС так, чтобы ВС-АВ.

4 Разделите AB и BC пополам, чтобы они пересекались в 0

5 Нарисуйте окружность с центром 0 и радиусом OA (- OB — OC). 6. Отойдите от сторон фигуры от C к D, от D к E и т. д. ABCDEFG — искомый семиугольник.

1. Проведите линию A8 длиной, равной единице o! сторона».

2. От прямоугольной полуокружности радиусом AB до пересечения с BA, изготовленным на стр.

3. Разделить полукруг на столько равных частей, сколько сторон у предложенного многоугольника. Это можно сделать методом проб и ошибок или вычислением (18077 -25 5*/7 для каждой дуги).

4. Проведите линию от точки А до точки 2 (для ВСЕХ многоугольников). Это формирует вторую сторону многоугольника.

5. Разделите AB и A2 пополам, чтобы пересечься в 0.

6. С центром O нарисуйте окружность, радиус OB (- OA — 02).

7. Отойдите от сторон фигуры от B к C, от C к D и т. д.

ABCDEFG — искомый семиугольник

1. Проведите прямую GA, равную по длине одной из сторон

2. Разделите GA пополам.

3. Из точки A построить угол 45**, который пересекает биссектрису в точке 4.

4. Из точки G построить угол 60p, который пересекает биссектрису в точке 6.

5. Разделить пополам точки 4 и 6. чтобы дать точку 5.

Точка 4 является центром круга, содержащего квадрат. Точка 5 является центром круга, содержащего пятиугольник. Точка 6 является центром окружности, содержащей шестиугольник. Отмечая точки на одинаковом расстоянии, можно получить центры окружностей, содержащих любой правильный многоугольник.

6. Отметьте точку 7 так, чтобы 6 к 7 — 5 к 6 (— 4 к 5).

7. С центром в точке 7 нарисуйте окружность, отступ 7 к А (- 7 к G).

8. Отойдите от сторон фигуры от A до B, от B до C и т. д. ABCDEFG — искомый семиугольник.

Построить правильный многоугольник по диагонали e.

1. Нарисуйте заданный круг и вставьте диаметр AM.

2. Разделите диаметр на столько делений, сколько у многоугольника сторон.

3. С центром M нарисуйте дугу. радиус MA С центром A нарисуйте еще одну дугу того же радиуса, чтобы пересечь первую дугу в N.

4. Нарисуйте N2 и произведите пересечение окружности в B (для любого многоугольника).

5. AB — первая сторона многоугольника. Выйдите с другой стороны 8C. CO. и т.д.

ABCDE — требуемый многоугольник.

Построить • правильный многоугольник заданного диаметра e (рис. 2/36)

1. Провести линию MN.

2. Из некоторой точки А на прямой провести полуокружность любого удобного радиуса.

3. Разделите полукруг на столько равных секторов, сколько у многоугольника сторон (в данном случае 9, то есть 208 интервалов).

4. Из А провести радиальные линии через точки с 1 по 8.

5. Если многоугольник имеет четное число сторон, через А проходит только один диаметр. В этом случае разделите известный диаметр пополам, чтобы получить центр 0 , Если, как в этом случае, есть два диаметра, проходящие через A (их никогда не может быть больше двух), то разделите оба диаметра пополам, чтобы пересечься в 0.

6. С центром O и радиусом OA нарисуйте окружность, чтобы пересечь радиальные линии в C, D. E, F. G и H.

7. От A отнять AB и AJ равно CD. DE и т. д.

ABCDEFG H J — требуемый многоугольник.

Построения, показанные выше, далеко не все построения, которые вам могут потребоваться. но они представляют тип, который вы можете встретить.

Если ваша геометрия нуждается в небольшой дополнительной практике, стоит проверить эти построения с помощью евклидовых доказательств. Знание некоторых геометрических теорем необходимо при ответах на многие из приведенных ниже вопросов, а доказательство приведенных выше конструкций позволит убедиться, что вы с ними знакомы.

Упражнения 2

1. Постройте равносторонний треугольник со стороной 60 мм.

2. Постройте равнобедренный треугольник с периметром 135 мм и высотой 65 мм.

3. Постройте треугольник с углами при основании 60* и 45* и высотой 76 мм.

4. Постройте треугольник с основанием 55 мм. высота 62 мм и вертикальный угол 37}*.

6. Постройте треугольник с периметром 160 мм и соотношением сторон 3:5:6.

6. Постройте треугольник с периметром 170 мм и соотношением сторон 7:3:5.

7. Постройте треугольник, периметр которого равен 115 мм. высота 40 мм, вертикальный угол 45*.

8. Постройте треугольник с основанием 62 мм. высота 50 мм и вертикальный угол 60*. Теперь начертите аналогичный треугольник с периметром 250 мм

9. Постройте треугольник с периметром 125 мм, стороны которого относятся как 2:4:5. Теперь начертите аналогичный треугольник, периметр которого равен 170 мм.

10. Постройте квадрат со стороной 50 мм. Найдите середину каждой стороны путем построения и соедините точки прямыми линиями, чтобы получился второй квадрат

11. Постройте квадрат с диагональю 68 мм.

12. Постройте квадрат с диагональю 85 мм.

13. Постройте параллелограмм по двум сторонам длиной 42 мм и 90 мм и углу между ними 67″.0331 15. Постройте ромб, если его диагональ 75 мм, а одна сторона 44 мм.

16. Постройте трапецию, если параллельные стороны имеют длину 50 мм и 80 мм и расстояние между ними 45 мм.

17. Постройте правильный шестиугольник. Сторона 45 мм.

18. Постройте правильный шестиугольник, если диаметр 75 мм.

19. Постройте правильный шестиугольник внутри круга диаметром 80 мм. Все углы шестиугольника должны лежать на окружности круга

20. Постройте квадрат со стороной 100 мм. Внутри квадрата постройте правильный восьмиугольник. Четыре чередующиеся стороны восьмиугольника должны лежать на сторонах квадрата 9.0003

21. Постройте следующие правильные многоугольники:

пятиугольник со стороной 65 мм, семиугольник со стороной 55 мм. нонегон. сторона 45 мм. десятиугольник, сторона 36 мм.

22. Постройте правильный пятиугольник диаметром 82 мм.

23. Постройте правильный семиугольник внутри окружности радиусом 60 мм. Углы семиугольника должны лежать на окружности круга.

Продолжить чтение здесь: Изометрическая проекция

Была ли эта статья полезной?

+10 -4

Эссе 2: Построение правильных многоугольников

Шон Д. Бродерик

Правильные многоугольники представляют собой замкнутые плоские фигуры, состоящие из ребер одинаковой длины и вершин одинакового размера. Простейшим правильным многоугольником является равносторонний треугольник, который состоит из трех ребер одинаковой длины и трех углов между каждой парой ребер по 60 градусов. Три ребра — это наименьшее количество ребер для построения многоугольника, потому что два ребра образуют угол, а одно ребро — это сегмент. Многоугольники — замкнутые фигуры. Правильный многоугольник из четырех ребер – это квадрат. Пять ребер составляют пятиугольник, а шесть — шестиугольник.

Мы рассмотрим, как строить правильные многоугольники с помощью циркуля и линейки, а не с помощью программы динамической геометрии, такой как Geometer’s Sketchpad.

Сначала рассмотрим построение равностороннего треугольника с помощью линейки и циркуля. Это простейший правильный многоугольник на плоскости. Он состоит из трех сторон. Начнем с произвольной точки A. наша точка B в конечном итоге будет.

3. Не отрывая циркуля от бумаги, ведем кончик карандаша вверх и к середине и делаем еще одну отметку. Это будет то место, куда в конечном итоге пойдет точка C.

4. Теперь пометим нашу точку B в любом месте на отметке. (Почему мы можем отметить его в любом месте на линии и при этом сохранить определенную длину?)

5. Теперь поместите острие компаса в точку B и сделайте отметку вверх и до середины, пересекая это место. куда пойдет точка С.

6. Mark the intersection as point C.

7. Using the straightedge, draw the first side of the triangle from A to B.

8. Опять же, используя линейку, начертите вторую сторону треугольника от B до C. На этом мы закончили построение равностороннего треугольника.

ЭКОЛИНАЛИЧЕСКИЙ ТРИУНТИРОВАНИЕ

Теперь мы сравним этот процесс с процессом, который можно использовать для построения равенственного треугольника в GSP:

1. Мы начнем с картины. . Это будет одна из сторон нашего треугольника.

2. Обозначим точки A для левой точки и B для правой точки.

3. Теперь построим окружность, используя точку B в качестве центра и точку A в качестве края.

4. Затем мы делаем еще один круг, используя точку A в качестве центра и точку B в качестве края.

5. Построим их пересечение и обозначим его точкой С.

7. Строим отрезок ВС.

8. Если мы спрячем круги, у нас получится равносторонний треугольник.

Вопросы:

1. Почему эти конструкции работают?

2. Что делает этот треугольник равносторонним в любой среде?

3. Мы что-то теряем или приобретаем, если учим студентов делать это с помощью одного, другого или обоих средств?

Ответы:

1 (и часть 2). В классе мы обсуждали, что эти равносторонние треугольники работают, потому что две окружности, которые построены, или отметки из двух окружностей, мы увидим, что сегменты треугольника являются радиусами окружностей. Если окружности одного размера, то и радиусы одинаковые и их положение таково, что они пересекаются в трех точках (центрах окружностей и их пересечении). Вот диаграмма, которая может помочь:

Мы начали с одного круга и построили два радиуса. Затем мы отразили круг через линию, чтобы получилось два круга.

Мы выберем один круг и объединим его с другим, чтобы показать, как радиусы образуют равносторонний треугольник.

По мере приближения мы видим, что радиусы образуют треугольник.

Поскольку окружности слились и теперь имеют общий радиус, который образует основание, мы можем видеть, что, поскольку все радиусы равны, если они перекрываются, образуя основание, а два других соединяются вверху, мы должны иметь равносторонний треугольник.

Остальные 2. Мы видели, что делает равносторонний треугольник в GSP, но что касается построения карандашом и бумагой, мы видим, что они одинаковы, но вместо того, чтобы использовать круги, чтобы показать конгруэнтность радиусов, компас (открытость которого остается постоянной) используется для создания конгруэнтных радиусов.

3. Мы можем немного проиграть с построением карандашом и бумагой, потому что круги полностью проиллюстрированы в GSP, а с карандашом и бумагой мы видим только дуги окружностей, а равномерное расстояние, создаваемое компасом, скрыто. Тем не менее, я чувствую, что оба типа конструкций полезны для того, чтобы иметь более полное представление о конструкциях у студентов.

Давайте посмотрим, как построить квадрат. Снова начинаем с построения циркулем и линейкой:

1. Отмечаем точку А, устанавливаем наш циркуль на определенную длину и делаем отметку. Нам нужно сохранить эту длину, так что не потеряйте ее.

2. Отметим точку на отметке компаса B.0003

4. С помощью компаса при текущих настройках делаем отметки слева от точки А и справа от точки В. квадрат, нам нужно построить перпендикулярные линии, идущие вверх из точек A и B. Итак, чтобы сделать это, нам нужно немного расширить циркуль от нашей произвольной длины. Затем мы помещаем точку на самое левое пересечение и делаем дугу, как показано выше. Затем мы помещаем точку компаса в точку B и делаем еще одну дугу вокруг точки A, чтобы они пересеклись, как показано на рисунке. Повторите этот процесс, чтобы сделать аналогичные дуги вокруг точки B. Начните с точки компаса в точке A и нарисуйте дугу вокруг B. Затем поместите точку компаса на самое правое пересечение и сделайте дугу, соединяющую другую , охватывающая точку B.

6. Сначала сделайте две отметки над точками A и B, используя исходную произвольную длину компаса. Они будут обозначать высоту квадрата. Он будет точно такой же длины, как и от А до В, следовательно, это будет квадрат. Далее нам нужно выяснить положение вершины квадрата. Вот почему мы сделали дуги. Используя линейку, проведите линию от А вверх через две дуги вокруг А и пересеките ее с отметкой сверху. На иллюстрации показано, как это могло бы теперь выглядеть.

7. Теперь закончим построение, проведя перпендикулярную линию вверх от B до отметки и обозначив точку пересечения C. Наконец, мы соединим точку D и точку C, чтобы закончить квадрат.

Квадрат

Теперь проиллюстрируем, как можно построить квадрат с помощью GSP:

1. Построить отрезок произвольной длины.

2. Постройте круг, используя A в качестве центра и B в качестве края. Теперь в верхней части круга мы отметили расстояние, равное расстоянию от A до B.

3. Итак, теперь мы проведем перпендикуляр через A к отрезку AB. Пересечение этой линии через вершину окружности обозначим как точку D.

4. Теперь проведем перпендикуляр через точку D к прямой AD.

5. Далее строим еще один перпендикуляр, на этот раз через точку B к прямой AB.

6. Обозначим эту точку C.

7. Если мы скроем наши построенные объекты с помощью CD, мы получим квадрат AB.

Комментарий:

Кажется, причина, по которой это работает, аналогична объяснению равностороннего треугольника. Вот несколько набросков:

Здесь мы имеем тот же тип построения, что и в случае с треугольником. Теперь наши радиусы перпендикулярны и имеют одинаковую длину. Это похоже на атрибуты квадрата.

Теперь выберем две точки на одном круге и объединим их с другим.

Как только они объединятся, мы увидим квадрат. Просто соединяем верхние точки и у нас получится наш квадрат.

Обратимся теперь к построению пятиугольника с помощью циркуля и линейки. Сначала я понятия не имел, как это сделать, поэтому мне нужно было использовать Интернет. Есть много разных способов построить пятиугольник. Цель этого эссе — показать, как это сделать, и обсудить, почему этот подход работает. Какая математика стоит за этим?

1. Пятиугольник построен из круга. Каждая из вершин будет пересекаться с краем окружности. Итак, сначала мы строим круг с помощью компаса. Затем мы проводим линию по центру круга, разделяя его пополам.

2. Нам нужно построить еще одну линию, делящую левую половину круга пополам. На рисунке мы сделали это, разделив пополам угол в 180 градусов, который проходит по середине круга. Для этого устанавливаем компас на определенную точку открытия. Помещаем острие компаса в центр круга и делаем отметки на обоих лучах на произвольном расстоянии. Затем мы помещаем острие компаса на сделанные отметки и делаем еще одну отметку в области, где будет проходить бисекция угла. Создает X, пересечение которого находится там, где должен пройти луч круга. Проведите биссектрису угла с помощью линейки.

3. Следующей задачей является построение середины только что нарисованного отрезка. Для этого мы открываем компас на произвольное расстояние, которое чуть больше приблизительной середины отрезка. Ставим острие компаса в центр круга и делаем отметку дуги, как на фото. Затем мы сохраняем измерение компаса как есть и помещаем точку компаса на пересечение сегмента и края круга и делаем аналогичную отметку. Если компас открыт достаточно далеко, то дуги должны пересекаться, как показано на рисунке. Если эти новые пересечения соединены, пересечение обоих сегментов является средней точкой сегмента.

4. Затем соедините середину найденного отрезка с вершиной круга и с пересечением разделительной линии и края круга. Наша следующая цель — разделить пополам угол, образованный отрезком, от центра к краю и от середины к краю, как показано на рисунке. Используем те же методы, что и в начале. Открываем циркуль на произвольную длину, которая меньше длины отрезков угла. Поместив острие циркуля в вершину угла, делаем отметки на отрезках угла. Затем мы немного закрываем компас и помещаем острие компаса на сделанные отметки и делаем новые отметки по направлению к центру угла. Эти отметки должны пересекаться на биссектрисе угла. Проведена биссектриса угла от вершины угла через Х и до линии, которая делит окружность на две равные части. (На самом деле, как показано на следующем рисунке, вам нужно продолжить биссектрису угла за вертикальную линию. )

5. Следующая задача – построить прямую, параллельную горизонтальному отрезку в точке пересечения вертикального отрезка и биссектрисы угла. Для этого поместите острие циркуля в вершину угла, разделенного пополам, и отметьте угол дугой, как показано на рисунке. Там, где биссектриса угла пересекает вертикальный отрезок, поместите точку компаса и сделайте еще одну дугу, как раньше. Затем мы открываем компас ровно настолько, чтобы переходить от сегмента угла к сегменту угла по сделанной вами отметке. Затем сделайте еще одну отметку вниз от дуги, которую вы сделали выше, и это пересечение будет точкой, где параллельная линия может быть проведена через пересечение биссектрисы угла и вертикальной линии. Иди и сделай это.

6. Соедините пересечение нового отрезка и края круга с верхним пересечением вертикальной линии и краем круга, и мы построили первую сторону нашего пятиугольника.

7. Теперь нам нужно повторить весь этот процесс, чтобы построить еще три стороны. Мы можем соединить четвертую сторону с пятой, не делая конструкции. Однако мы все равно делаем его, чтобы проверить, правильно ли построена фигура. Теперь нам просто нужно определиться с местом для начала. Поскольку мы построили сторону, начинающуюся сверху и наклоненную вниз влево, мы делаем наш сегмент, который проходит через центр круга, начиная с последней точки, которую мы только что построили.

8. Повторим этот процесс еще раз.

9. Повторяем этот процесс еще раз.

10. Теперь закончим построением последней стороны, хотя в этом нет необходимости. Теперь у нас есть пятиугольник ABCDE.

Мне также любопытно, что существуют математические побочные продукты построения пятиугольника, которые можно наблюдать. Это большой круг снаружи конструкции, прежде чем мы его спрячем. Тогда внутри пятиугольника также есть маленький круг, если бы дуги, определяющие середину отрезка, были немного более последовательными. Внутри большого тоже есть маленький пятиугольник. Однако регулярно ли? пропорциональна большому пятиугольнику? Если бы конструкция была нарисована идеально, был бы маленький пятиугольник правильным? Означает ли это, что большой пятиугольник не совсем правильный?

Теперь покажем этот же процесс с помощью GSP:

1. Строим окружность произвольной длины. Затем мы строим линию по центру круга.

2. Далее строим перпендикуляр к вертикальной линии, проходящей через центр круга. Мы делаем сегмент с линией, которую мы только что создали, от центра к левому краю. Затем мы строим середину этого отрезка.

3. Оттуда проводим линию, соединяющую среднюю точку с вершиной круга. Это создает и угол, а затем мы строим биссектрису угла.

4. Строим параллельную предыдущей горизонтальной линии, а пересечение новой линии с ребром окружности является точкой для построения первой стороны нашего пятиугольника. Теперь рисуем эту сторону. Этот процесс будет повторяться с разными цветами, начиная с боковой точки, которую мы только что построили.

5. Теперь повторим этот процесс для второй стороны темно-бордового цвета.

6. Повторяем этот процесс снова с оранжевым цветом.

7. Повторяем этот процесс с розовым или фуксией, каким бы ни был этот цвет. На данный момент мы можем просто соединить две последние стороны, но поскольку меня интересовала внутренняя геометрия, я повторил процесс еще раз, чтобы посмотреть, поможет ли точность GSP.

8. Кажется, что в середине этой конструкции происходит много всего. Однако пятиугольник, который, как я думал, будет находиться прямо внутри, не так идеально расположен, как я думал.

9. Если скрыть все тонкие линии, то можно будет увидеть наш пятиугольник.

Вопрос:

Почему это работает?

Ответ:

В классе мы обсуждали использование золотого сечения. В пятиугольнике

отношение длины красной диагонали к длине стороны равно специальному числу.

Мы будем использовать эту демонстрацию, чтобы показать, что приведенная выше конструкция является пятиугольником. Теперь создадим круг с радиусом в одну единицу длины стороны:

Затем мы нанесем несколько меток для облегчения обсуждения:

Во-первых, мы заметим, что треугольник ABF подобен треугольнику AEB . Из этого можно сделать вывод, что:

Тогда у нас есть следующее путем замены:

Что дает:

Мы знаем, что фи является золотым сечением. Таким образом, мы имеем утверждение, что отношение длины диагонали правильного пятиугольника к длине его стороны есть золотое сечение. Теперь посмотрим на нашу конструкцию:

Чтобы обсудить, почему эта конструкция является пятиугольником, мы используем приведенные выше обозначения. Наша цель доказать, что отношение диагонали пятиугольника (EF) к стороне (AE) равно фи, или золотому сечению, тогда доказывается, что фигура является пятиугольником. Изображенная выше конструкция — это та же самая конструкция, которую мы использовали, за исключением того, что я построил сегмент EO, чтобы облегчить вычисление EF.

Начну с того, что нам дано, что отрезки AO, BO и EO имеют длину 2 единицы. Отрезки ВС и СО имеют длину в одну единицу, так как С является серединой ВО. Если АО равно 2, а СО равно единице, то АС равно:

Теперь мы можем найти угол АСО с помощью тригонометрии. Таким образом, угол ACO равен:

. Таким образом, угол DCO по определению составляет половину от:

. Отрезок DO/1 равен:

. используйте теорему Пифагора, чтобы найти ED. Таким образом, ЭД ² + ДН ² = ЭО ² . Итак, имеем:

Следовательно, ED =

Умножаем это выражение на 2, чтобы получить длину EF. Итак, EF =

Теперь мы на полпути к нашей цели. Помните, что мы идем по отношению длины стороны нашей фигуры к длине диагонали. У нас есть диагональ EF. Теперь ищем длину стороны, скажем, AE. Наш план состоит в том, чтобы использовать теорему Пифагора, чтобы найти AE. Мы будем использовать уравнение AE ² = ED ² + AD ² . Мы знаем ED и можем найти AD с выражением 2 – DO. Таким образом, мы решаем:

Когда мы находим AE и используем наш калькулятор для получения десятичной аппроксимации, мы получаем AE = 2,35114100917. Десятичное приближение для EF = 3,80422606518. Тогда EF/AE = 1,61803398875. Десятичное приближение для золотого сечения — это точно то же самое, что и мое приближение для EF/AE. Следовательно, это построение дает правильный многоугольник.

Теперь перейдем к разделу построения шестиугольника с помощью линейки и циркуля:

1. Начнем с построения окружности произвольного размера.

2. Делаем отметку на краю круга с правой стороны. Сохраняя первоначальный произвольный размер компаса, ставим острие компаса на эту отметку и отмечаем пересечения окружности сверху и снизу.

3. Теперь мы проводим диаметр круга от верхнего пересечения кругов через центр и продолжаем через противоположный край внизу с нашей линейкой.

4. То же самое делаем для противоположного перекрестка.

5. Теперь мы можем начать строить стороны шестиугольника. Наша первая сторона — от правой точки, которую мы отметили, до верхнего пересечения круга.

6. Наша вторая сторона соединяет верхние перекрестки. Но подождите, куда пойдет наша третья сторона?

7. Изготовим третью сторону, построив линию, соединяющую отметки центров наших двух окружностей. Если мы продолжим эту линию через другую сторону, у нас будет пересечение слева, которое отмечает точку, где заканчивается наша третья сторона. Теперь мы можем построить эту третью сторону.

8. Мы рисуем четвертую сторону, начиная с только что сделанного перекрестка и заканчивая нижним левым перекрестком.

9. Наша пятая сторона строится путем соединения нижних пересечений.

10. Мы закончили построение сторон шестиугольника, соединив точки пересечения снизу справа до крайней правой отметки.

11. Шестигранник у нас есть!

Хм… Похоже, верх немного кривоват… Не знаю, почему так получилось. Снова мы спрашиваем, как эта конструкция производит шестиугольник. Связано ли это с возможностью построения внутренних или дополнительных углов?

Выполняем этот процесс в GSP:

1. Сначала мы строим круг произвольного размера.

2. Затем мы строим горизонтальную линию из центра круга через край.

3. Затем мы строим еще один круг, используя край первого в качестве центра и центр первого в качестве края.

4. Далее строим линию через центр первого круга и верхнее пересечение обоих кругов.

5. Далее строим еще одну линию через центр первого круга, которая проходит через нижнее пересечение кругов.

6. Теперь мы готовы нарисовать стороны нашего шестиугольника. Первая сторона начинается на нижнем пересечении обоих кругов и идет к центру второго круга.

7. Вторая сторона идет от нижнего пересечения двух кругов до нижнего пересечения первой линии, которую мы нарисовали, и первого круга.

8. Третья сторона идет от нижнего пересечения первого круга и первой линии до левого пересечения горизонтальной линии и первого круга.

9. Четвертая сторона идет от пересечения первого круга и горизонтальной линии до верхнего пересечения первого круга и второй линии.

10. Пятая сторона идет от верхнего пересечения первого круга и второй линии до верхнего пересечения обоих кругов.

11. Шестая сторона соединяет пятую сторону с первой стороной, и у нас есть наш шестиугольник.

12. Когда мы скроем линии и пометим вершины, мы получим четкое изображение нашего построенного шестиугольника.

Теперь мы подошли к рассмотрению того, как построить семиугольник. Невозможно построить идеально правильный семиугольник, используя только линейку и циркуль, как мы делали раньше. Итак, мой вопрос, почему это так?

Из-за этой невозможности я считаю, что пришло время закончить это эссе.

Неконструктивные длины

Неконструируемый Длина

[Удвоение куб] [Трещина угол] [Построение правильного семиугольника] [Квадратура круг] [Результат]

Из предыдущего раздела мы знаем, что есть определенные конструкции, которые невозможно создать используя только циркуль и линейку. 2. Пусть радиус данного круга равен 1. Итак, площадь этого круга круг будет пи. Можем ли мы построить квадрат, площадь которого равна пи? В целях чтобы построить квадрат с площадью pi, его стороны должны быть равны sqrt(pi). Поэтому мы должны построить sqrt(pi). Однако sqrt(pi) не является алгебраическое число, поэтому невозможно построить длину sqrt (pi). Если мы не можем построить длину стороны квадрата с компас и линейка тогда мы не сможем построить квадрат.

[ВЕРХ]

Неконструируемый Правильные многоугольники

R Результат: Теперь, когда мы это знаем невозможны ли определенные конструкции, мы должны присмотреться как эти построения или их отсутствие влияют на нашу способность конструировать правильные многоугольники.

Как видно выше, есть определенные действительные числа, которые мы не можем построить с помощью компаса и прямой край. Тот же результат верен, когда мы переходим к построению регулярных n-угольники, где n — целое неотрицательное число. 9n) + 1, где n — неотрицательное целое число.

Наш результат в невозможности построить семиугольник, вписанный в кружок иллюстрирует результат этой теоремы.

[ВЕРХ]

Геометрические свойства семиугольника | calcresource

Содержание

— Определения

— Свойства правильных семиугольников

— Симметрия

— Внутренний и центральный угол

-Curricirle and Incircle

-Площадь и периметр

-Ограничивающая коробка

-Примеры

-Регулярные чит -лист Heptagon

-См. Также

Определения

HEPTAGOR AS AIG ON SEMIDES SEMIDES. Как и любой многоугольник, семиугольник может быть выпуклым или вогнутым , как показано на следующем рисунке. Когда он выпуклый, все его внутренние углы меньше 180°. С другой стороны, когда он вогнутый, один или несколько его внутренних углов больше 180°. Когда все ребра семиугольника равны, он называется равносторонний. Равносторонний семиугольник может быть как выпуклым, так и вогнутым. Когда все ребра равны и, кроме того, все внутренние углы равны, тогда семиугольник является правильным . Правильный семиугольник по умолчанию выпуклый. На следующем рисунке показана классификация семиугольников, а также представлены некоторые вогнутые равносторонние, которые не являются правильными. Любой неправильный семиугольник называется неправильным .

Типы семиугольников

Сумма внутренних углов семиугольника постоянна и равна 900°. Это общая характеристика любого семиугольника, правильного или неправильного, выпуклого или вогнутого. Истинность этого свойства легко обнаружить, если мы разделим семиугольник на отдельные непересекающиеся треугольники. Для этого нам нужно провести прямые линии между всеми вершинами, избегая пересечений. В конце семиугольник делится на пять треугольников, как показано на рисунке ниже. Принимая во внимание, что в одном треугольнике сумма внутренних углов равна 180°, заключаем, что для 5 треугольников сумма внутренних углов должна составлять 5×180°=900° или 5\pi.

Свойства правильных семиугольников

Симметрия

Правильный семиугольник имеет семь осей симметрии. Каждая ось проходит через вершину семиугольника и середину противоположного ребра, как показано на следующем рисунке. Все оси симметрии пересекаются в одной точке — центре правильного семиугольника. который также является центром тяжести или центроидом формы.

Внутренний и центральный угол

По определению внутренние углы правильного семиугольника равны. Также общим свойством всех семиугольников является то, что сумма их внутренних углов всегда равна 9.\circ

Не случайно внутренний и центральный углы в сумме дают \pi:

\varphi+\theta={5\pi\over7}+{2\pi\over7}=\pi.

Другими словами \phi и \theta являются дополнительными углами.

Окружность и вписанность

Для каждого правильного многоугольника можно нарисовать окружность, которая касается всех вершин многоугольника. Это так называемая описанная окружность правильного многоугольника, а также характерное свойство правильного семиугольника. Как правило, описанная окружность также упоминается как описанная окружность . Центр этой окружности также является центром семиугольника, где пересекаются все оси симметрии. Радиус описанной окружности, R_c, обычно называют радиусом описанной окружности .

Другим характерным кругом правильных многоугольников, а следовательно, и правильного семиугольника является так называемый вписанный круг или вписанный в круг , короче. Вписанная окружность касается всех ребер, соприкасающихся с ними в их средней точке. Его радиус R_i обычно называют дюйма по радиусу . Вписанная и описанная окружность имеют один и тот же центр.

На следующем рисунке показаны описанная и вписанная окружности правильного семиугольника.

Описанная и вписанная окружность правильного семиугольника

Радиус описанной окружности R_c и внутренний радиус R_i связаны с длиной ребра правильного многоугольника a. В этом разделе мы попытаемся установить эти соотношения для правильного семиугольника. Будет рассмотрен выделенный треугольник на следующем рисунке. Одна вершина треугольника на самом деле является центром семиугольника. В результате одно из его ребер, выходящее в вершину семиугольника, должно быть равно радиусу описанной окружности R_c, а другое, выходящее в середину ребра семиугольника, должно быть равно внутреннему радиусу R_i. Последний также является биссектрисой центрального угла \theta, и, следовательно, внутренний угол треугольника относительно центра должен быть равен \theta/2. Кроме того, треугольник является прямоугольным, поскольку по определению вписанная окружность касается ребер многоугольника в их середине.

Используя базовую тригонометрию, находим:

\begin{split} R_c & = \frac{a}{2 \sin{\frac{\theta}{2}}} \\ R_i & = \frac{a}{ 2 \tan{\frac{\theta}{2}}} \\ R_i & = R_c \cos{\frac{\theta}{2}} \end{split}

где \theta — центральный угол, а a — длина стороны. Оказывается, эти выражения справедливы для любого правильного многоугольника, а не только для семиугольника. Мы можем получить конкретное выражение для правильного семиугольника, установив \theta=2\pi/7. Эти конкретные формулы для правильного семиугольника:

\begin{split} R_c & = \frac{a}{2 \sin(\pi/7)} \ приблизительно 1,152 a \\ R_i & = \frac{a}{2 \tan(\pi/7) } \ приблизительно 1,038 a \\ \\ R_i & = R_c \cos(\pi/7) \ приблизительно 0,901 R_c \end{split}

Площадь и периметр

Площадь правильного семиугольника (или любого правильного polygon) можно выразить через длину ребра a. Этого можно добиться, если разделить фигуру на более простые подобласти. На самом деле правильный семиугольник разбивается на семь одинаковых равнобедренных треугольников, если провести прямые линии из центра к каждой вершине. Эти линии являются радиусами описанной окружности и, следовательно, имеют длину R_c. Высоты треугольников (от центра семиугольника к противоположному краю) также являются медианами и, действительно, радиусами вписанной окружности с длиной, равной R_i (поскольку вписанная окружность касается всех сторон семиугольника, касаясь их середины) . Тогда площадь каждого треугольника равна: 92

Периметр любого N-стороннего правильного многоугольника представляет собой просто сумму длин всех ребер: P = N a . Следовательно, для правильного семиугольника ширина семь ребер:

P = 7a

Ограничивающая рамка

Ограничивающая рамка плоской фигуры — это наименьший прямоугольник, полностью охватывающий фигуру. Для правильного семиугольника ограничивающую рамку можно нарисовать интуитивно, как показано на следующем рисунке. Его размеры, а именно высота h и ширина w, зависят от длины ребра семиугольника a. Эти отношения рассматриваются далее.

Высота

Высота h правильного семиугольника — это расстояние от одной из его вершин до противоположного ребра. Он действительно перпендикулярен противоположному краю и проходит через центр семиугольника. Однако по определению расстояние от центра до вершины равно радиусу описанной окружности R_c семиугольника, а расстояние от центра до края равно внутреннему радиусу R_i. Таким образом, получается следующее выражение:

h=R_c+R_i

Можно выразить высоту h через радиус описанной окружности R_c, внутренний радиус R_i или длину стороны a, используя соответствующие аналитические выражения для этих величин. Выводятся следующие формулы:

h=R_c\left(1+\cos(\theta/2)\right)

h=R_i\left(1+{1\over \cos(\theta/2)}\right)

h ={a\over2}{1+\cos(\theta/2)\over\sin(\theta/2)}

, где \theta=2\pi/7.

Подставляя значение \theta правильного семиугольника в последние выражения, получаем следующие приближения: Ширина w — это расстояние между двумя противоположными вершинами правильного семиугольника (длина его диагонали). Чтобы найти это расстояние, мы будем использовать прямоугольный треугольник, выделенный пунктирной линией на рисунке выше.

Гипотенуза треугольника на самом деле является длиной стороны семиугольника, которая равна a. Кроме того, один из углов треугольника является дополнительным к соседнему внутреннему углу \varphi семиугольника. Однако ранее объяснялось, что дополнение к \varphi действительно является центральным углом \theta. Следовательно, мы можем найти длину w_1 стороны треугольника:

w_1=a \cos\theta

Наконец, мы можем определить общую ширину w, прибавив удвоенную длину w_1 к длине стороны a (из-за симметрии треугольник справа от семиугольника идентичен рассмотренному):

w=a+2a \cos\theta

Подставив \theta=2π/7, получим аппроксимацию последней формулы:

w=2.247a

радиус и площадь правильного семиугольника с длиной стороны a=10»

Мы будем использовать точные аналитические выражения для радиуса описанной окружности и радиуса внутренней стороны через длину стороны a, которые были описаны в предыдущем разделы. Это:

R_c = \frac{a}{2 \sin(\pi/7)}

R_i = \frac{a}{2 \tan(\pi/7)}

Поскольку длина стороны a задана, все нам нужно подставить его значение 10» в эти выражения. Если ваш калькулятор ожидает градусы для тригонометрических функций, угол \pi/7 равен примерно 25,71°. Радиус описанной окружности равен:

R_c= \frac{10»}{2 \sin(\pi/7)}\ приблизительно 11,52»,

и внутренний радиус:

R_i= \frac{10»}{ 2 \тангенс(\пи/7)}\приблизительно 10,38».

Площадь правильного семиугольника также выражается через длину стороны а по следующей формуле: 92}{7} \tan(\pi/7) }\приблизительно5.746\ \textrm{in}

2. Правильный семиугольник с заданной высотой

Высота правильного семиугольника связана с длиной стороны a при уравнение:

h=\frac{a\left(1+\cos(\pi/7)\right)}{2\sin(\pi/7)}

Перестановка:

a={2h\sin (\pi/7) \over 1+\cos(\pi/7)}

Из последнего выражения можно вычислить требуемую длину стороны a, если подставить h=16»:

a={2\ раз16»\sin(\pi/7) \более 1+\cos(\pi/7))}\приблизительно7.304»

3. Правильный семиугольник заданной ширины

Ширина правильного семиугольника связана с длиной стороны a по формуле:

w=a+2a \cos(2\pi/7)

Следовательно:

a=\frac{w}{1+2\cos(2\pi/7)}

Из последнего уравнения можно рассчитать требуемую длину стороны a, если подставить w=10»:

a=\ frac{10»}{1+2\cos(2\pi/7)}\приблизительно 4,450»

Шпаргалка по правильному семиугольнику

В следующей таблице приведен краткий список основных формул, относящихся к регулярному входит семиугольник.

Семиугольник — frwiki.wiki

Резюме

Характеристики правильного семиугольника

Построение пересечением коник

Строительство от neusis

Предварительная конструкция

Строительство от neusis

Примерные конструкции

Использование равностороннего треугольника

Правильный семиугольник в повседневной жизни

Фрагменты истории

Примечания и ссылки

Смотрите также

Связанная статья

Внешние ссылки

Python turtle рисует правильные многоугольники и многоугольники

Python turtle рисует правильные многоугольники и многоугольники

Python turtle рисует правильные многоугольники и многоугольники

Правильный многоугольник

Правильный многоугольник

Рассчитать внутренний угол

Код чертежа

Сделайте угловой многоугольник

Обратите внимание на угловой многоугольник

Краткое заключение

Код

Проблемы с кодом

Гаусс и гептагон

Сделайте правильный семиугольник

подводить итоги

Интеллектуальная рекомендация

FFMPEG и VS2010

Встроенная идея + Maven + Sprilboot Project Project Prience Integration MVC

Redis Обзор и общие инструкции

Режим цепочки режима дизайна режима

Проникновение в сеть/динамическое сетевые сети/видео Shangyun Gateway Easynts Network Platform Номер учетной записи и пароль нельзя войти в систему, как решить

Вам также может понравиться

Аплет WeChat сообщил об ошибке: не удалось прочитать свойство 0 из undefined

beaurifulsoup считывает данные локальной веб-страницы и сохраняет их в csv

【CCF】201609-1

Два элемента управления JS — список и пейджер

Начало работы с сопоставлением точек функций python opencv + цель поиска по гомографии (39)

Построение правильных многоугольников — техническое черчение. Как построить правильный восьмиугольник Как начертить правильный 8 угольник

Скачать:

Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Инструкция

Инструкция

Инструкция

Инструкция

Построение правильных многоугольников — Техническое черчение

Как сделать нонагон? – Обзоры Вики

Как выглядит нонагон?

Какова форма восьмиугольника?

Что такое правильный нонагон?

Как нарисовать девятиугольник с помощью циркуля и линейки?

Что такое полигон для 6 класса?

Как нарисовать восьмиугольник

Как построить правильный восьмиугольник?

Как разделить окружность на 8 равных частей с помощью циркуля?

Как в окружности начертить правильный Десятиугольник?

Что означает восьмиугольник?

Как построить правильный 12 угольник в окружности?

Правильный восьмиугольник

Свойства

Формулы расчёта параметров правильного восьмиугольника

Применение восьмиугольников

Полезное

Смотреть что такое «Правильный восьмиугольник» в других словарях:

Как сделать восьмиугольник

Семиугольник

Построение семиугольника

Самая непонятная форма во всей геометрии.

Метод ступенчатой ​​диагонали с восемью рядами 125 мм

ABCDEFG H J — требуемый многоугольник.

Метод ступенчатой диагонали с восемью рядами 125 мм