Як намалювати футбольний м яч: Як намалювати м’яч з ромбами

Як малювати м’яч |ЯкПросто

Для того щоб намалювати футбольний м’яч, не відрізняється від справжнього, не обов’язково вчитися працювати з олівцями, пензликами та фарбами — досить освоїти нескладну техніку малювання в Adobe Photoshop, за допомогою якої ви зможете намалювати не тільки м’яч, але і багато інших предметів та об’єкти різних форм .

Інструкція

1. Почніть із створення нового документа в Фотошопі розміром 1200х900 пікселів. Залийте документ сірим кольором. На сірому фоні намалюйте білий круг, використовуючи інструмент Elliptical marquee tool. При малюванні кола затисніть Ctrl, щоб зберегти його пропорції і не витягнути малюнок.
2. Відкрийте меню Select, виберіть опцію Modify, а потім опцію Contract зі значенням 15, щоб завантажити виділення. Створіть новий шар, а потім відкрийте меню Edit і оберіть розділ Stroke. Додайте обведення: value — 30, color — black, location — center. Натисніть ОК.
3. Навколо білого кола з’явиться чорна обведення — з неї ви намалюєте кутові елементи м’яча. Візьміть тверду круглу кисть, увімкніть опцію ластику на панелі управління і починайте прати обведення частиною круглого гумки так, щоб у підсумку по краях майбутнього м’яча залишилося всього три елементи зі скошеними краями.
4. На окремому шарі намалюйте невеликий чорний п’ятикутник за допомогою опції малювання багатокутників, а потім додайте п’ятикутник на поверхні м’яча і застосуйте до фігури опцію Edit> Transform> Distort, злегка сплющуючись і витягаючи п’ятикутник, щоб створити ефект обсягу. Повторюйте те ж саме, розміщуючи п’ятикутники на поверхні м’яча і видозмінюючи їх форму в залежності від перспективи.
5. За допомогою інструменту кисті (Brush Tool) на новому шарі з’єднайте п’ятикутники між собою прямими лініями. Для того щоб лінії були прямими, затисніть Shift. Відкрийте розділ Layer Style і поставте галочку на вкладках Bevel and Emboss і Color overlay (white). Лінії, що з’єднують багатокутники, посветлеют.
6. Для того щоб намалювати тінь і додати м’ячу ще більший обсяг, намалюйте на новому шарі овальну область і додайте до неї фільтр Gaussian Blur з середнім радіусом розмиття і встановіть непрозорість шару на 50%. Помістіть тінь позаду м’яча трохи лівіше від нього так, ніби він її відкидає. На нижню частину м’яча додайте градієнт і застосуйте розмиття по Гауссу.

якщо сила дії — це гравець, який б’є футбольний м’яч, то яка сила реакції?

Якщо сила дії — це гравець, який б’є футбольний м’яч, то що таке сила реакції??

Якщо силою дії є гравець, який б’є футбольний м’яч, то яка сила реакції? м’яч, що штовхає гравця в протилежному напрямку удару. Хлопець висувається на ящик з сила 100 ньютонів. Сила реакції є. ящик відштовхується від хлопчика із силою 100 ньютонів.

Які сили дії та реакції, коли ви б’єте по футбольному м’ячу?

Вибиваючи футбольний м’яч, нога діє на м’яч. Цю силу називають силою дії. У той же час м’яч діє на стопу. Ця сила називається силою реакції.

Яка сила удару по футбольному м’ячу?

м’язова сила У футбольний м’яч б’ють за допомогою м’язів стопи. Отже, прикладена сила є м’язова сила.

Дивіться також, як сказати версаль

Яка сила реакції гравця, що ловить м’яч?

Сила реакції: Сила, з якою рукавичка діє на м’яч сила реакції, протилежна удару м’яча об руку гравця. Сила, з якою рукавичка впливає на м’яч. Це обговорення на тему «А гравець ловить м’яч».

При ударі по футбольному м’ячу сили дії та реакції не скасовують одна одну?

Тому що дві сили додати до нуля, вони компенсують один одного і не змінюють рух. Чому тоді сили дії та реакції в третьому законі руху Ньютона також не скасовуються? Адже вони рівні і протилежні. сили не скасовуються, оскільки діють на різні предмети.

Що таке сила дії?

Що таке Сили дії? Починати, сили завжди діють попарно і завжди діють у протилежних напрямках. Коли ви натискаєте на предмет, він відштовхується з рівною силою.

Як бити футбольний м’яч?

Який закон руху штовхає м’яч ногами?

Третій закон руху Ньютона

Третій закон Ньютона стверджує, що «на кожну дію існує рівна і протилежна реакція». У футболі, коли ви б’єте по футбольному м’ячу, ви відчуєте силу удару назад у свою ногу. Ви не так сильно відчуваєте силу, тому що ваші ноги мають більшу масу, ніж футбольний м’яч.

Яка сила у футбольному ударі?

Професійні футболісти можуть бити по м’ячу достатньо сильно, щоб відправити його зі швидкістю 30 метрів на секунду, що дорівнює близько 1200 фунтів сили. Молодий гравець зможе розвивати швидкість 14,9 метра в секунду, що становить близько 600 фунтів сили.

Що таке пари сил реакції дії?

Відповідно до третього закону Ньютона, для кожна сила дії є рівною (за розміром) і протилежною (за напрямом) силою реакції. … Разом ці дві сили, що діють на два різні об’єкти, утворюють пару сила дія-реакція.

Там, де є сила дії, має бути сила реакції, яка?

Офіційно заявлено, Третій закон Ньютона є: для кожної дії існує рівна і протилежна реакція. Твердження означає, що в кожній взаємодії існує пара сил, що діють на два взаємодіючих об’єкта.

Піймання м’яча – це поштовх чи тяга?

зупинка м’яча ні штовхати, ні тягнути..

Який приклад сил дії та реакції?

Сили дії та реакції є взаємними (протилежними) на предмет. Приклади можуть включати: Плавець пливе вперед: Плавець штовхається до води (сила дії), вода відштовхується від плавця (сила реакції) і штовхає її вперед.

Чому футбольний м’яч легше зупинити, ніж м’яч для боулінгу?

Куль для боулінгу легше зупинити оскільки має більшу масу, але меншу інерцію. … Футбольний м’яч легше зупинити, оскільки він має меншу масу та меншу інерцію.

Чим викликаний рух снаряда?

Снаряд — це об’єкт, на який діє єдина сила тяжіння. Сила тяжіння впливає на вертикальний рух снаряда, викликаючи, таким чином, вертикальне прискорення. Горизонтальний рух снаряда є результатом тенденції будь-якого об’єкта, що рухається, залишатися в русі з постійною швидкістю. Дивіться також, як намалювати водяну хвилю

Коли ви б’єте по футбольному м’ячу, які сили дії та реакції задіяні, яка сила, якщо така є, більша?

Дія: ногою проти м’яча. Реакція: м’яч проти ноги. Обидві сили мають однакову величину, згідно з третім законом Ньютона.

Чи збалансовані сили дії та реакції?

Сили дії і реакції рівні і протилежні, але вони не є збалансованими силами тому що вони діють на різні об’єкти, тому не скасовуються.

Яка із сил вважається силою дії силою реакції?

Коли щось чинить силу на землю, земля буде відштовхуватися з такою ж силою в протилежному напрямку. У деяких галузях прикладної фізики, таких як біомеханіка, ця сила, що діє на землю, називається «сила реакції землі’; сила, що діє об’єктом на земля розглядається як «дія».

Що означає удар по м’ячу?

дієслово. Коли ви б’єте м’яч або інший предмет, ви б’єте його ногою, щоб він рухався по повітрю. Я пішов бити по м’ячу і повністю пропустив його. [ ДІЄСЛОВО Іменник]

Що входить до футбольного м’яча?

Стандартний футбольний м’яч виготовлений з синтетична шкіра, як правило, поліуретан або полівінілхлорид, зшиті навколо надутого гумового або гумового міхура. … Сучасні кульки мають клапан. На панелях із синтетичної шкіри є тканина, як правило, поліестер або суміш полібавовни.

Як ви б’єте футбольний м’яч сильніше та влучно?

За яким законом футбольний м’яч не рухатиметься, поки його не пнуть?

Закони руху Ньютона. Футбольний м’яч не рухатиметься, поки його не ударять. … Об’єкт, що перебуває в спокої, залишатиметься в спокої, а об’єкт, що рухається, залишатиметься в русі, доки на нього не буде діяти неврівноважена сила.

Чи є удар ногою по футбольному м’ячу незбалансованою силою?

Об’єкт може рухатися, навіть якщо сумарна сила, що діє на нього, дорівнює нулю. футбольний м’яч, наприклад, отримує незбалансовану силу при ударі. Однак м’яч продовжує котитися по землі ще довго після того, як сила удару закінчиться. … Тертя — це сила, яка діє в напрямку, протилежному руху.

Які сили беруть участь у футболі?

На цьому слайді показано три сили, які діють на футбольний м’яч у польоті. Сили показані синім кольором і включають вага, опір і підйомна або бічна сила. Підйом і опору насправді є двома складовими однієї аеродинамічної сили, що діє на м’яч.

Яка енергія удару по м’ячу?

Кінетична енергія Кінетична енергія це енергія будь-чого в русі. Ваші м’язи рухають вашу ногу, ваша нога б’є по м’ячу, і м’яч отримує кінетичну енергію від удару.

Як далеко футболіст може бити м’яч?

Професійний воротар повинен бити м’яч щонайменше за половину лінії. Це безпечна лінія, яку потрібно перетнути після виконання удару. Саме тоді говорять, що м’яч «вибраний». Ця відстань становить від 45 до 60 метрів або Від 50 до 65 ярдів.

На що діють сили дії та реакції?

Третій закон Ньютона також називають законом дії і реакції. … Сила дії та реакції завжди діють на різні об’єкти. Дві сили, що діють на один і той же об’єкт, навіть якщо вони мають однакову величину і спрямовані в протилежному напрямку, ніколи не утворюють пари дія-реакція.

Як знайти силу реакції?

Коли людина стоїть на місці, ця наземна сила реакції є дорівнює масі людини, помноженій на прискорення гравітації (F = m.g). Для типової людини масою 80 кг ця реакція буде (80 x 10) 800 Н.

Чи існують сили дії та реакції в парі?

Сили дії і реакції завжди рівні і протилежні. Відповідно до третього закону Ньютона, для кожної сили дії існує рівна (за розміром) і протилежна (за напрямом) сила реакції. Сили завжди йдуть парами відомі як пари сил дія-реакція.

Чи завжди сили дії та реакції призводять до руху?

Третій закон руху Ньютона стверджує, що кожна дія має рівну і протилежну реакцію. Це означає, що сили завжди діють парами. … Сили дії та реакції, навпаки, діють на різні об’єкти, тому вони не скасовуються. Насправді вони часто призводять до руху.

Коли виникає сила дії, реакція завжди?

Сили дії та реакції є завжди протилежні і рівні за розміром. Якщо сумарні сили (дія та реакція) є рівновагою, прискорення немає (1-е за Ньютоном) Якщо сумарні сили незбалансовані, є прискорення (2-е за Ньютоном)

Чому дія і сила реакції не скасовують одна одну?

Ви можете подумати, що оскільки сили дія-реакція рівні і протилежні, вони скасовуються. Однак пари дій і сили реакції не скасовуються оскільки вони діють на різні предмети. Сили можуть скасувати, тільки якщо вони діють на один і той же об’єкт.

Чи є удар ногою силою поштовху?

Поштовх — це коли прикладена сила, щоб щось віддалити від нас. Тяга — це сила, яка рухає щось до нас. Удар по м’ячу — це поштовх, оскільки м’яч відходить від нас.

Яку силу ви прикладаєте до м’яча, коли ловите м’яч?

Пояснення: Коли м’яч вдаряється в руку, він діє як сила дії. І тоді м’яч зупиняється рукою завдяки силі реакції руки, яка дорівнює за величиною, але протилежна за напрямком силі, прикладеній м’ячем.

Сили та футбол – GCSE Physics

Третій закон руху Ньютона: дія і реакція

Біомеханічний аналіз удару по футбольному м’ячу – остаточний проект з біомеханіки Кейт і Мелоді

Фізика футболу: «Неможливий» штрафний удар – Ерез Гарті

Quelle est la surface d’un terrain de football?

Поле являє собою прямокутник довжиною від 90 до 120 метрів (100-130 ярдів, одиниця, яка спочатку використовувалася в законах гри) і шириною від 45 до 90 метрів (50-100 ярдів), тобто площа, яка змінюється від 4 м050 до 2 м10.

Які розміри штрафного майданчика?

Перед кожними воротами – штрафний майданчик. Тому на футбольному полі є 2 штрафні майданчики. Кожна штрафна площа має бути 16,5 метра. Таким чином, відстань між воротами та початком штрафної має становити 16,5 метрів.

Як намалювати футбольне поле?

1. Ігрове поле у ​​футболі має бути розмежовано білими лініями. …
2. Дві найдовші лінії розмежування називаються сенсорними лініями, вони розмежовують поле вздовж і дозволяють зробити дотик, коли м’яч повністю вийшов.

1.07.2020

Стадіон — це одиниця старовинної довжини. Є кілька значень його бігового периметра: для єгиптян він становив 157,50 метра і відповідав «грецькому етапному маршруту».

Де знаходиться штрафна площа?

Штрафна площа у футболі – це прямокутна зона, обмежена білою фарбою на ігровому полі, глибиною 16,5 м і шириною 40,32 м, яка знаходиться перед клітками кожного воротаря.

Тому арбітр пропонує атакуючій команді можливість виправити заподіяну їм несправедливість. Ось чому ми говоримо про штрафний майданчик. … З 1902 року з’явився пенальті.

Наскільки великий гандбольний майданчик?

для класичного гандбольного майданчика розміри 40 метрів в довжину і 20 метрів в ширину.

Крок 1: Створіть футбольне поле

1. Натисніть на пензлик у розділі «Сцена» та намалюйте футбольне поле. Помістіть з кожного боку в клітки по прямокутнику кольору, ці кольори повинні бути різними. Тут синій і червоний.

Швидке виконання: –Використовуючи лінію крейди, намалюйте лінію xy. –На цій прямій позначаємо точку А (неважливо де). – Потім іншою лінією, яка зав’язана гнучким вузлом на кілку А, малюємо на прямій xy дугу кола, що дає точку B.

Доріжка легкоатлетичної доріжки складається з 2 прямих і 2 півколів. Кожна смуга має ширину 1,22 м. Офіційна довжина колії розрахована на відстані 30 см від бордюру, 20 см для наступних смуг.

Quelles sont les dimensions d’un terrain ?

Розміри та розміри футбольного поля для 11-х сторін

Ділянка на землі	Опис футбольного поля	Розміри (метри)
A	Довжина землі	Від 90 до 120 м
B	Ширина землі	Від 45 до 90 м
C	Діагональ місцевості	Від 150 до 180 м
D	Довжина штрафної зони	16,50 м

Quelle est la longueur d’un stade ?

Розміри офіційного футбольного поля

Для літніх людей футбольне поле має довжину від 90 до 120 метрів, а ширину – від 45 до 90 метрів. Його обов’язкові поверхні, такі як штрафний майданчик або дуги кутових кіл, також відповідають стандартам.

Quelle distance fait un stade ?

Офіційна довжина кола становить 400 м, але деякі стадіони роблять винятки з колами від 500 до 600 м.

Чому штрафний майданчик півкола?

Звідси корисність цієї дуги кола радіусом 9,15 м, центром якої є саме пенальті, що дає можливість матеріалізувати зону (за межами штрафного майданчика), в якій гравці не можуть зробити ні найменшого стрибка під час гри. штраф.

Appelé rond central, cet élément situé sur tous les terrains de foot donne une indication pour permettre le respect d’une règle du jeu. … Lorsqu’un but est marqué, l’équipe qui concèle le but doit refaire partir le jeu à la suite d’un engagement situé au milieu du terrain.

Яка відстань до пенальті?

Усередині кожного штрафного майданчика позначено штрафний майданчик на відстані 11 м від середини лінії воріт і на однаковій відстані від стійки воріт. За межами кожної штрафної площі малюється дуга кола радіусом 9,15 м, центром якої є штрафна точка.

Футбольний корнер — це що таке?

Футбольна термінологія є досить складноюпо тій простій причині, що існує величезна кількість різних понять, про які вам, безумовно, варто знати. Деякі з них відомі абсолютно всім, навіть тим, хто не особливо захоплюється футболом. Однак деякі все ж використовуються набагато рідше, тому можуть здаватися незнайомими. Наприклад, корнер. Це термін, який періодично можна почути від коментаторів або фанатів футболу, але він не є загальноприйнятим. Так що ж він означає? Корнер — це що таке?

визначення

Виявляється, корнер — це інша назвакутового удару. Воно походить від англійського слова corner, яке перекладається як «кут». Яке ж значення корнер має в футболі? Це один із способів відновлення гри, коли м’яч виходить за межі поля. Кутовий удар призначається, якщо м’яч перетнув лицьову, а не бічну лінію. Також обов’язковою умовою є торкання м’яча гравцем команди, що обороняється, в тому числі і голкіпером. Якщо останнім м’яча торкнувся гравець атакуючої команди, призначається вільний удар від воріт, якщо ж захисник — то корнер. Це що стосується визначення даного поняття, але як саме реалізується кутовий удар?

Реалізація корнера

Корнер у футболі виповнюється з кута поля — вкожному з чотирьох з них є спеціальна лінія, що утворює невелику зону. Саме в неї і повинен бути встановлений м’яч для виконання удару, причому сторона, з якої він виконується, визначається тим, з якого боку м’яч пішов за лицьову лінію. Тобто гравець не може вибрати кут подачі корнера самостійно. Подача може здійснюватися як в штрафний майданчик, так і на невелику відстань — це називається «розіграти корнер». Даний хід представляється можливим завдяки тому, що, відповідно до правил, гравці команди, що обороняється не можуть перебувати ближче ніж в дев’яти метрах від кутової зони під час подачі корнера. Як тільки гравець, що подає торкнувся м’яча, гравці оборони можуть починати рух в сторону кутовий зони. Сам гравець, що подає м’яч, не має права торкатися його повторно до тих пір, поки його не торкнеться інший футболіст будь-який з двох команд.

Тепер ви знаєте, що таке корнер: визначення цього терміна, особливості виконання кутового удару, коли саме він призначається, а також всі обмеження, які застосовуються по відношенню до нього.

тактики

Кутовий удар ніколи не виконується навмання -команди завжди заготовляють певну тактику, щоб використовувати дане стандартне положення максимально ефективно. Обороняється команда найчастіше розподіляє найбільш небезпечних гравців атаки між захисниками, найкраще грають на другому поверсі, а також встановлює двох гравців на обидві штанги, щоб гравець, що подає не міг закриття м’яч прямо в створ воріт. Що стосується атакуючої сторони, то практично всі гравці виявляються в штрафний або на підступах до неї — м’яч з корнера може розігруватися коротко, подаватися на ближню або дальню штангу і так далі. Поза штрафному майданчику обов’язково залишаються захисники, які страхують свою команду на випадок невдалого розіграшу і втрати м’яча, щоб противник не міг вільно втекти в контратаку.

Как нарисовать футбольный мяч шаг за шагом

Как легко нарисовать футбольный мяч с помощью этого обучающего видео и пошаговых инструкций по рисованию. Простой учебник по рисованию для начинающих и детей.

Пожалуйста, посмотрите урок рисования в видео ниже

Видео создано каналом: Otoons

Вы можете обратиться к простому пошаговому руководству по рисованию ниже

Шаг 1

Вы можете подумать, что мы начнем с круга для этого урока с футбольным мячом, но на самом деле мы начнем с шестиугольника.

Для этого шага понадобится линейка, чтобы получить прямые края. Нарисовать шестиугольник может быть сложнее, чем кажется, поэтому вам может потребоваться немного практики. Вы точно сможете это сделать, если постараетесь!

Шаг 2 – Нарисуйте круг для контура

Мы не нарисовали круг на предыдущем шаге, но давайте сделаем круг для следующего шага! На этом шаге использование инструмента, такого как циркуль, будет очень полезно для получения идеального круга.

Если вы никогда раньше не использовали один из этих инструментов для рисования, вы можете прикрепить к нему карандаш и вращать его кончиком, чтобы нарисовать круг.

Если у вас нет доступа к компасу для рисования, вы также можете использовать круглый предмет, который у вас есть, а затем обвести его, чтобы сформировать свой круг.

Независимо от того, как вы рисуете круг, постарайтесь расположить шестиугольник ближе к центру, как показано на рисунке.

Шаг 3. Теперь мы добавим больше фигур к шаблону

.

Используя ваш центральный шестиугольник, мы добавим больше фигур в этом уроке о том, как нарисовать футбольный мяч. Вместо шестиугольника на этом шаге мы добавим пятиугольник.

Используя эталонное изображение в качестве руководства, мы добавим три пятиугольника по сторонам центрального шестиугольника.

Все эти разговоры о фигурах могут сбить вас с толку, когда вы читаете их, но справочные изображения будут очень полезны с формами и их размещением.

Шаг 4. Продолжайте добавлять формы к футбольному мячу

Мы уже нарисовали много фигур для вашего рисунка футбольного мяча, и на этом изображении мы добавим еще больше фигур.

Используя пространство между тремя пятиугольниками в предыдущем шаге, вы можете использовать линейку, чтобы нарисовать еще несколько шестиугольников между ними.

После добавления всех этих форм большая часть внутренней части рисунка футбольного мяча будет заполнена.

Шаг 5. Теперь нарисуйте последние детали

Пришло время добавить последние детали, прежде чем перейти к последнему шагу этого урока по футбольному мячу!

Эти детали вам будет несложно нарисовать. Используя линейку, просто нарисуйте несколько линий от каждой точки формы на краях самых внешних фигур до контура шара.

Эталонное изображение даст вам отличное представление о том, как это будет выглядеть.

Перед тем, как перейти к заключительному этапу рисования футбольного мяча, вы также можете самостоятельно нарисовать некоторые окончательные детали!

Например, вы можете нарисовать логотип своего любимого футбольного бренда или даже логотип футбольной команды, за которую болеете.

Или вы можете нарисовать некоторые детали фона, такие как линии на поле или даже бутсы, готовые ударить по футбольному мячу.

Какая деталь, по вашему мнению, была бы хорошей, чтобы завершить рисунок футбольного мяча и придать ему индивидуальности?

Шаг 6. Завершите рисунок футбольного мяча цветом

Теперь у нас есть все шаги рисования футбольного мяча: раскраска!

Раскрашивание ваших рисунков всегда является увлекательной частью процесса, поскольку позволяет вам по-настоящему выразить свой творческий потенциал и стиль!

Вы можете подумать, что раскрашивать футбольные мячи не так уж и много, потому что они обычно черно-белые, но простор для творчества все же есть!

Вы можете использовать свои любимые цвета, чтобы раскрасить и создать свой собственный уникальный дизайн футбольного мяча!

Забавный штрих, который вы также можете попробовать, — это добавить эффекты износа к рисунку футбольного мяча.

Используя немного коричневой краски, вы можете придать своему футбольному мячу грязный вид, чтобы он выглядел поношенным. Нанесение некоторых отметин и грубых пятен также даст мячу историю, которую можно рассказать.

Наконец-то в вашем распоряжении множество удивительных художественных средств для раскрашивания футбольного рисунка! Как вы думаете, что вы будете использовать, чтобы оживить свои рисунки, от красок и акварели до мелков и карандашей?

Как легко нарисовать футбольный мяч шаг за шагом

Хотите знать, как легко нарисовать футбольный мяч?

Для любителей спорта, Сегодня я покажу вам, как легко и просто нарисовать футбольный мяч.

Вам понадобится бумага, карандаш и мелки, если вы хотите раскрасить. Подпишитесь на меня в Instagram, чтобы быть в курсе, когда я публикую новые уроки, и присылайте мне свой рисунок, чтобы поделиться им в социальных сетях.

Давайте начнем рисовать этот мяч.

Красная линия означает: нарисовать новую линию. Серая линия означает ориентир. Черная линия означает: это старая линия. Пунктирная линия означает: сотрите эту линию.

Этот пост включает в себя:
1- Изображение для каждого шага, объясняющего это.
2-A страница включает все шаги.
3- Бесплатная печатная бумага для рисования, состоящая всего из 6 шагов.
4- Бесплатная раскраска для футбольного мяча.

 

7 шагов

1- Нарисуйте круг.

2- Нарисуйте пятиугольник в центре круга.

3-нарисуйте 5 линий из каждой вершины и оставьте длину линий равной линиям пятиугольника.

4- Нарисуйте круг меньше, чем первый круг.

5- Нарисуйте 2 линии, чтобы они пересекались с кругом и образовали форму треугольника, затем продолжайте рисовать две линии, чтобы сформировать форму прямоугольника.

6- повторите шаг 5 для каждой линии, чтобы сформировать фигуры пятиугольника.

7- закрасьте черным цветом пятиугольники.

бесплатно для личного использования, некоммерческого использования.

Это очень простое руководство, ниже приведены все шаги вместе.

Вы можете распечатать эту страницу, сохранив ее на своем компьютере, а затем распечатать ее и наслаждаться рисованием и раскрашиванием.

Бесплатная распечатанная страница практики рисования содержит 6 шагов, нажмите на ссылку ниже.

Download-free-soccer-ball-drawing-page.jpg

бесплатная страница раскраски для печати.

Download-free-soccer-ball-coloring-page.jpg

 

ознакомьтесь с другими уроками

Подпишитесь на меня в Instagram, чтобы получать обновления, когда я публикую новый урок рисования.

 

Печенье с футбольным мячом [Шаблон] — Haniela’s

5274 акции

Дизайн футбольного мяча кажется таким простым, что вам придется делать печенье с футбольным мячом.Тогда это совершенно новая игра с мячом. Современный футбольный мяч состоит из 32 панелей, сшитых вместе. 20 из них шестиугольники и 12 пятиугольники.

КАК УКРАШИТЬ ПЕЧЕНЬЕ С ФУТБОЛЬНЫМ МЯЧОМ

Когда дело доходит до украшения печенья с футбольным мячом, у вас есть варианты украшения.

• Печенье можно украсить черно-белой королевской глазурью и вырезать отдельные панели.
• Второй вариант — аэрография с использованием трафарета и черного пищевого красителя для аэрографии.

Вы сами выбираете, какой маршрут декорирования выбрать.Во многом это зависит от инструментов, которые у вас есть под рукой, и от желаемого вами готового дизайна.

Я решил пойти старым путем. Методом тафтинга и индивидуальной окантовкой черных и белых панелей. Это занимает больше времени, но готовый дизайн с добавленным размером более реалистичен, чем аэрография. При этом аэрография — отличный вариант. Это намного быстрее. Как я уже сказал, это полностью ваш выбор.

Чтобы обвести контуры каждой секции, я использовал съедобный маркер.Не забудьте отметить шестиугольники или пятиугольники точкой. Это облегчает навигацию, пока вы украшаете королевской глазурью.

СДЕЛАЙТЕ ШАБЛОН ДЛЯ ФУТБОЛЬНОГО МЯЧА

У меня нет трафарета/шаблона футбольного мяча, поэтому я решил сделать свой собственный из картона. Срезы вырезаю канцелярским ножом. Вы можете найти мой шаблон, прокрутив немного вниз.

Есть еще один вариант, исключающий использование шаблона, и это формочка для печенья в виде футбольного мяча. Этот резак создает отпечаток на вашем печенье, прежде чем вы его испечете.Единственный недостаток, который я нахожу при использовании этого резака, заключается в том, что иногда края печенья могут немного деформироваться при выпечке. Это усложняет украшение печенья.

Начните с черной королевской глазури 20-секундной консистенции и наметьте каждую секцию и соединительные линии труб, также известные как мосты. Хитрость заключается в том, чтобы сделать перемычки достаточно толстыми, чтобы при заполнении белых шестиугольников белые не закрывали черные перемычки.

Используйте иглу, чтобы придать глазури форму, пока она еще влажная. Это особенно полезно при заливке шестиугольников и пятиугольников.Используйте инструмент «Игла», чтобы подчеркнуть углы.

Заполнение белых секций может быть сложной задачей; старайтесь не переполнять шестиугольники белой глазурью, чтобы глазурь не закрывала черные линии/перемычки. Вы также можете попробовать заморозить любой другой раздел. Дайте корочке подрумяниться в течение 5 минут и заполните оставшиеся части.

ЧТОБЫ ПРИГОТОВИТЬ ПЕЧЕНЬЕ С ФУТБОЛЬНЫМ МЯЧОМ, ВАМ НУЖНО

• РЕЦЕПТЫ:
• Вырежьте рецепты печенья, я в основном использую сахарное печенье, но вы можете использовать и другие рецепты печенья.Проверьте мой раздел рецептов.
• Королевская глазурь — я использую свежую лимонную королевскую глазурь
• Инструменты:
Одноразовые пакеты трубопроводов
• Dileck Tool
• Пищевые красители — Super Black
• Черно-белый Королевская глазурь — 20-секундный шаблон
• Поддержите Haniela’s и купите мой обновленный шаблон
• Черный съедобный маркер – чтобы обвести контуры печенья
• Круглая формочка для печенья – я использовал 3-дюймовую формочку пошаговое описание
• Часто задаваемые вопросы о королевской глазури
• Как разбавлять королевскую глазурь
• Замораживание королевской глазури

Этот пост содержит партнерские ссылки Amazon, которые приносят мне небольшую комиссию бесплатно для вас.Я рекомендую только те продукты, которыми пользуюсь и которые мне нравятся. Узнайте больше о моей партнерской политике здесь.

5274 акции

Как украсить футбольное печенье

Что может быть лучше, чем отпраздновать Чемпионат мира по футболу среди женщин Канада 2015 года и футбольную команду моей дочери, как футбольное печенье?! Я буду демонстрировать это печенье завтра на канале CTV Morning Live в 8:15 и 8:30 с ведущими Крисом и Элеонор.(ПРИМЕЧАНИЕ: это оказалось одним из самых забавных шоу с Крисом и Элеонорой — у бедного Криса дела шли не очень хорошо!)

Во-первых, позвольте мне предупредить вас: украшение сахарного печенья в виде футбольного мяча — это не быстрый и легкий проект с глазурью — это требует времени, терпения и практики! Но если вам нравятся сложные задачи и вы любите украшать печенье, то этот проект для вас.

Это печенье может и не выиграть чемпионат мира по украшению печенья, но смех и веселье, которые мы получили, готовя и съедая это печенье, более чем компенсировали отсутствие таланта!

Вот чему я научился, готовя это футбольное сахарное печенье.

1. Начните с хорошего рецепта сахарного печенья для украшения.

Если вы делаете сахарное печенье для украшения, вам нужен рецепт, который не будет вздуваться, крошиться, трескаться или терять форму. Я перепробовала множество рецептов, в которых мои снеговики, елочки или буквы алфавита превращались в пухлые шарики, едва напоминающие свою первоначальную форму. Рецепт сахарного печенья Алтона Брауна от Food Network лучше всего сохраняет форму. Оно может быть жестким и твердым, когда вы достаете его из холодильника, чтобы свернуть, но как только вы его раскатаете и нарежете печенье, его форма останется, и оно будет вздуваться ровно столько, сколько нужно.Это классическое сахарное печенье без излишеств, где глазурь и украшение занимают центральное место.

2. Сделайте свои собственные кондитерские мешки.

В ходе работы над этим проектом я использовала профессиональный кондитерский мешок, дешевые кондитерские мешки, гибкие пластиковые сжимаемые кондитерские бутылки Pampered Chef и кондитерские мешки из пергаментной бумаги. Я обнаружил, что у меня больше всего контроля, и я получил лучшую линию трубопровода из самодельных мешков для труб из пергаментной бумаги. Я также мог использовать несколько цветов одновременно, вместо того, чтобы мыть насадку Wilson #2 каждый раз, когда я меняю цвета.Если у вас есть огромный ассортимент наконечников и сумок, это может не быть проблемой для вас.

Вот видео на You Tube, которое больше всего помогло мне сделать мои собственные самодельные кондитерские мешки из пергаментной бумаги от Джулии Ашер. Джулия делится большим количеством полезной информации в своем видео, чтобы перейти к приготовлению сумок до 3:18 в этом видео.

 3. Используйте королевскую глазурь правильной консистенции.

Королевская глазурь представляет собой смесь яичного белка, винного камня, сахарной пудры (сахарной пудры) и ванили.Вода добавляется, чтобы сделать глазурь мягче и отрегулировать консистенцию в зависимости от того, как вы будете использовать глазурь. Даже одна-две капли воды могут иметь большое значение. Для печенья с футбольным мячом я использовала глазурь двух слоев. Один был для заливки, а другой для контура. Как вы можете себе представить, глазурь для заливки должна быть немного мягче или жиже, чем глазурь для контура, чтобы она могла растекаться и проникать во все уголки и закоулки и высыхать гладким слоем. Глазурь по контуру должна быть достаточно твердой, чтобы держать форму, которую вы обводите, но достаточно мягкой, чтобы она выходила из носика.Если вы посмотрите утреннее шоу CTV, где я демонстрировала это печенье (9 июня, 8:15), вы увидите, что консистенция глазури из зеленой травы была слишком жесткой — бедному Крису пришлось так сильно надавить на пакет, чтобы вытащите глазурь из того, что весь кончик сорвался с конца кондитерского мешка. Верный признак того, что вашей глазури для контура нужна еще одна капля воды!

Вот рецепт королевской глазури от Crouton Crackerjacks, который я использовал. Он предоставляет полезную информацию о смешивании и нанесении королевской глазури.

Королевская глазурь – от Crouton Crackerjacks

3 чашки сахарной пудры
2 яичных белка (используйте пастеризованные яичные белки в картонной упаковке, чтобы избежать рисков, связанных с сырыми яйцами)
1/4 ч.л. винного камня
1 ч.л. Консистенция глазури Я использовал счетный трюк.

Заливающая глазурь — я использовал глазурь от 5 до 10

Контурная глазурь — я использовал глазурь от 12 до 15

Под глазурью на счет от 5 до 10 я имею в виду, сколько времени требуется, чтобы лента или линия глазури отступила и исчезла, если ее сбрызнуть сверху чаши с глазурью. Чем тоньше глазурь, тем короче процесс. (см. демонстрационное видео Crouton Cracker Jack примерно на 1:56). Он предлагает 5 счетов для затопления, я бы сказал, что мой был ближе к 8 счетам.

Не беспокойтесь о точном количестве, это просто точка отсчета и сравнения. Делайте то, что работает для вас! Практикуйтесь и тестируйте различные консистенции. Вы всегда можете отрегулировать, добавив больше воды или сахарной пудры. Даже если вы уже наполнили мешок, просто сожмите его обратно в миску и отрегулируйте по мере необходимости.

4. Дайте себе много времени.

Эти файлы cookie требуют времени. Хороший кусок этого времени просто ждет. Например, перед раскатыванием тесто для печенья охладите в холодильнике в течение 2 часов; дайте печенью остыть в течение ночи перед глазурью; дайте контуру высохнуть перед заливкой; дайте залитому слою полностью затвердеть, прежде чем добавлять следующий слой; подождите между цветами, чтобы они не бежали; дайте всему затвердеть, прежде чем хранить в герметичном контейнере, и, что хуже всего, подождите, чтобы съесть печенье, пока вы не будете на вечеринке!

Здесь мы ждем высыхания базового слоя перед рисованием или обвязкой футбольных мячей.Ждать тяжело!

 5. Потренируйтесь рисовать футбольные мячи.

Вы, конечно, знаете, как выглядит футбольный мяч – черные точки на белом. Очень просто. Ага, я тоже так думал, пока не пришлось рисовать футбольный мяч на печенье! Знаете ли вы, что черные точки — это пятиугольники, а белые — шестиугольники? Ага, смотрите! Изучите это изображение футбольного мяча и потренируйтесь, используя свой кондитерский мешок, чтобы нарисовать его на вощеной бумаге или обеденной тарелке, прежде чем взяться за печенье. Вы даже можете распечатать это изображение, поместив его под вощеную бумагу или стекло, чтобы попрактиковаться.

Я начал с рисования пятиугольника (наклонный пятиугольный дом).

Затем добавьте спицы одинаковой длины из каждого угла пятиугольника.

Затем нарисуйте кончик треугольника на конце каждой из этих спиц.

И, наконец, закрашиваем все пятиугольники черным цветом. Кстати, те кончики треугольников, которые вы добавили последними, являются вершинами других черных пятиугольников, так что закрасьте и их.

Если размер и размещение были немного неправильными, мне нужно было добавить больше строк.На этой фотографии, показывающей различные этапы моего украшения, вы увидите, что некоторые печенья имеют линии повсюду — потребовалось некоторое время, чтобы получить точное расположение и размер. Некоторые больше похожи на паутину, чем на футбольный мяч, но если их съесть сразу, никто и не заметит!

  6. Получайте удовольствие!

Когда вы устанете от рисования футбольных мячей, выдавите немного травяного печенья, сделайте флаги, названия команд, имена игроков, фигурки, играющие в футбол, или просто сделайте случайный абстрактный рисунок. Конечно, идеальный футбольный мяч — это круто, но Go Team Canada с волнистой линией не менее вкусен и вызывает не меньше энтузиазма.

Для зеленой травы на печенье мы использовали специальную насадку для глазури с несколькими отверстиями. Именно благодаря этому совету мои дети заинтересовались трубами!

Мы разместили наше печенье на золотом медальоне.

Мы также разместили некоторые из них на зеленом газоне, который мы сделали, покрасив измельченный кокос зеленым пищевым красителем.

Как видите, мы также сделали футбольные мячи разных размеров. Печенье поверх печенья имело большой успех!

Удачи с футбольным печеньем! Дайте мне знать, если вы попробуете их и как они окажутся.

Гетти не профессиональный декоратор печенья! Тем не менее, ей нравится поощрять людей веселиться и пробовать что-то новое на кухне. Ее письма, выступления и семинары наполнены смехом, вкусными рецептами, советами по экономии времени и полезными кухонными идеями, которые сделают домашнюю кухню легкой и приятной. Она профессиональный экономист по домашнему хозяйству, автор бестселлера «Поваренная книга фруктов прерий» в Манитобе, основательница Fruit Share, мама и овощевод.

Топология и комбинаторика футбольных мячей

С приходом этим летом чемпионата мира по футболу, который проводится раз в четыре года, более миллиарда человек во всем мире обнаружили, что экраны их телевизоров и компьютеров заполнены изображениями футбольных мячей.В Германии, где проходят матчи чемпионата мира, футбольные мячи появляются на всевозможных товарах, многие из которых не имеют никакого отношения к футболу.

Хотя футбольный мяч можно собрать по-разному, один из них настолько распространен, что стал культовым. Этот стандартный футбольный мяч сшит или склеен из 32 многоугольников, из них 12 пятиугольников и 20 шестиугольников, расположенных таким образом, что каждый пятиугольник окружен шестиугольниками.Несмотря на постмодернистские покрасочные работы, традиционный способ окраски такого шара состоит в том, чтобы покрасить пятиугольники в черный цвет, а шестиугольники — в белый. Сообщается, что эта цветовая схема была введена для чемпионата мира по футболу в 1970 году, чтобы улучшить видимость мяча на телевидении, хотя сам дизайн устарел.

У большинства людей изображение футбольного мяча ассоциируется с часами, проведенными на поле или за его пределами, или, возможно, просто с рекламой спортивных товаров. Но для математика футбольный мяч — интригующая головоломка.Почему это выглядит именно так? Есть ли другие способы совмещения? Могут ли пятиугольники и шестиугольники быть расположены по-разному? Можно ли использовать другие многоугольники вместо пятиугольников и шестиугольников? Эти вопросы можно решить с помощью языка математики, в частности геометрии, теории групп, топологии и теории графов. Каждый из этих предметов предоставляет концепции и естественный контекст для формулирования вопросов, например, о дизайне футбольных мячей, а иногда и для ответов на них.

Важным аспектом применения математики является то, что разные способы придания математического смысла повседневным вопросам приводят к разным ответам. Это может стать неожиданностью для читателей, привыкших к задачам из школьных учебников, которые имеют только один правильный ответ. Правильно формулировать вопросы — такая же важная часть искусства математики, как и отвечать на них. Более того, подлинное математическое исследование открытого вопроса не ограничивается поиском «ответа» (если он есть), а включает в себя понимание того, почему ответ таков, каков он есть, и как он меняется при изменении лежащих в его основе допущений.Вопросы, возникающие при разработке футбольных мячей, прекрасно иллюстрируют этот процесс.

Математики любят начинать с определения терминов. Что же такое футбольный мяч? Официальный футбольный мяч, одобренный Международной федерацией футбольных ассоциаций (ФИФА), должен представлять собой сферу с окружностью от 68 до 70 сантиметров, с отклонением от сферичности не более 1,5% при надувании до давления 0,8 атмосферы.

Увы, такое определение ничего не говорит о том, как устроен мяч, и поэтому не подходит для математического исследования конструкции.Лучшее определение состоит в том, что футбольный мяч приблизительно представляет собой сферу, состоящую из многоугольников, или то, что математики называют сферическим многогранником . Места, где многоугольники сходятся вместе — вершины и ребра многогранника — очерчивают карту на сфере, которая называется графом . (Такой график не имеет ничего общего с графиками функций. Это слово имеет два совершенно разных математических значения.) При рассмотрении с точки зрения теории графов стандартный футбольный мяч обладает тремя важными свойствами:

(1) это многогранник который состоит только из пятиугольников и шестиугольников;
(2) стороны каждого пятиугольника пересекаются только с шестиугольниками; и
(3) стороны каждого шестиугольника поочередно встречаются с пятиугольниками и шестиугольниками.

В качестве отправной точки мы можем определить футбольный мяч как любой сферический многогранник со свойствами (1), (2) и (3). Если пятиугольники окрашены в черный цвет, а шестиугольники — в белый, то определение фиксирует иконическое изображение, хотя и не определяет его однозначно.

Это определение помещает проблему дизайна футбольного мяча в контекст теории графов и топологии. Топология, которую часто называют «геометрией резинового листа», — это раздел математики, изучающий свойства объектов, которые не изменяются при непрерывных деформациях, таких как надувание футбольного мяча.Для целей топологии не имеет значения, какой длины ребра многогранника, имеем ли мы дело с круглым многогранником или многогранником с плоскими сторонами.

Я впервые столкнулся с приведенным выше определением в 1983 году в задаче, поставленной на Bundeswettbewerb Mathematik, немецком конкурсе по математике для старшеклассников. Задача заключалась в следующем: по свойствам (1)–(3) определить, из скольких пятиугольников и шестиугольников состоит футбольный мяч. Размышляя в то время над этой проблемой, я предположил, что шар представляет собой выпуклый многогранник в пространстве, составленный из правильных многоугольников.Это геометрическое предположение вместе с правилами (1), (2) и (3) подразумевает, что существует 12 пятиугольников и 20 шестиугольников. Более того, существует уникальный способ их соединения, в результате чего получается культовый стандартный футбольный мяч. Без геометрического предположения задача теории графов имеет бесконечно много других решений, которые имеют большее число пятиугольников и шестиугольников.

Я снова начал думать об этой проблеме после того, как меня пригласили выступить с лекцией на церемонии награждения того же конкурса в 2001 году.В конце концов, один из моих постдокторантов, Фолькер Браунгардт, и я нашли способ охарактеризовать все растворы, характеристику, которую я опишу ниже.

Интересно, что родственная проблема возникла в химии в 1980-х годах после открытия 60-атомной молекулы углерода, называемой бакминстерфуллереном или «бакиболом». Пространственная форма этой молекулы C ₆₀ идентична стандартному многограннику футбольного мяча, состоящему из 12 пятиугольников и 20 шестиугольников, с 60 атомами углерода, расположенными в вершинах и ребрах, соответствующих химическим связям.Открытие бакибола, удостоенное Нобелевской премии по химии 1996 г., вызвало огромный интерес к классу углеродных молекул, называемых фуллеренами, которые удовлетворяют приведенному выше предположению (1) вместе с дополнительным условием:

(3′) ровно три ребра сходятся в каждой вершине.

Это свойство обусловлено свойствами химической связи углерода. Кроме того, предположение (2) иногда навязывается для определения ограниченного класса фуллеренов. Ожидается, что наличие непересекающихся пятиугольников связано с химической стабильностью фуллеренов.Существует бесконечно много фуллереновых многогранников — C ₆₀ был просто первым, обнаруженным как реальная молекула, — и весьма примечательно, что два бесконечных семейства многогранников, футбольные мячи и фуллерены, имеют только стандартный футбольный мяч. . Таким образом, (1)-(3) вместе с (3¢) дают однозначное описание стандартного футбольного мяча без наложения геометрических предположений. (Предположения, подобные регулярности, на самом деле подразумевают условие (3¢).)

Чтобы увидеть, что это так, требуется краткий экскурс в свойства многогранников, начиная с красивой формулы, открытой швейцарским математиком Леонардом Эйлером в 18 веке.Формула Эйлера (см. «Формула Эйлера» ниже ), основной инструмент теории графов и топологии, говорит, что в любом сферическом многограннике число вершин, v , минус число ребер, e, плюс число граней f равно 2:

v — e + f = 2

Применим формулу Эйлера к многограннику, состоящему из b белых и черных шестиугольников.Общее количество граней f равно b + w . Всего у пятиугольников 5b ребер, потому что на каждый пятиугольник приходится 5 ребер и всего b пятиугольников. Точно так же шестиугольники имеют в общей сложности 6w ребер. Сложение этих двух чисел должно дать общее количество ребер, за исключением того, что я посчитал каждое ребро дважды, потому что каждое ребро лежит на двух разных гранях. Чтобы компенсировать это, я делю на 2, и, следовательно, количество ребер равно:

e = (1/2)( 5b + 6w )

Наконец, чтобы подсчитать количество вершин, я отмечаю, что пятиугольники имеют 5b вершины, а шестиугольники имеют 6w вершины.В случае фуллерена предположение (3¢) говорит о том, что каждая вершина принадлежит трем различным граням. Таким образом, если я вычисляю 5b + 6w , я посчитал каждую вершину ровно три раза, и, следовательно, я должен разделить на 3, чтобы компенсировать: )

Подставляя эти значения для f, e и v в формулу Эйлера, я нахожу, что члены, включающие w , сокращаются, и формула сводится к b = 12.Таким образом, каждый фуллерен содержит ровно 12 пятиугольников! Однако нет априорного ограничения на количество шестиугольников, w , и, следовательно, нет ограничения на количество вершин. (Это подразумевается в заголовке статьи 1997 года о фуллеренах в American Scientis t: «Фуллереновые нанотрубки: C _{1 000 000} и далее».) Если я наложу дополнительное условие (2), то я могу показать, что число шестиугольников должно быть не менее 20. Стандартный футбольный мяч или бакибол реализует это минимальное значение, для которого число v вершин равно 60, что соответствует 60 атомам в молекуле C ₆₀ .Однако можно показать, что действительно существует бесконечно много других математических возможностей для многогранников в форме фуллеренов. Какие из них соответствуют реальным молекулам, является предметом исследования в области химии.

Формула Эйлера

Любой непустой связный конечный граф на сфере удовлетворяет формуле Эйлера v – e + f = 2. Здесь v и e — числа вершин и ребер, а f — число вершин и ребер. количество областей, на которые разделена сфера.Доказательство формулы Эйлера происходит путем многократного упрощения графа с помощью следующих двух операций:

Первая операция состоит в удалении любой вершины, которая пересекается только с одним ребром, и, кроме того, удаление ребра, которое встречается с ней ( a, на изображении ниже ). Эта операция не меняет количество областей, но уменьшает как v , так и e на 1. Вторая операция состоит в сворачивании области в одну вершину вместе со всеми ребрами и вершинами на ее границе ( b ).Если свернутая область имела k вершин на границе, то это сжатие уменьшает v на k –1, уменьшает e на k и уменьшает f на 1. Таким образом, v – e + f не изменяется ни одной из двух операций.

Конечная итерация этих двух упрощений сводит любой граф к графу только с одной вершиной и без ребер. Тогда есть одна область, и v – e + f = 1 – 0 + 1 = 2.

Для футбольных мячей можно использовать только допущения (1)–(3), но не (3¢), требование химика по углероду, согласно которому три ребра пересекаются в каждой вершине. В этом случае количество граней, сходящихся в вершине, не фиксировано, но это число не меньше 3. Следовательно, уравнение v = (1/3)( 5b + 6w ) становится неравенством у: v £ (1/3)( 5b + 6w ). Подставляя в формулу Эйлера, члены, включающие w , снова сокращаются, оставляя неравенство b ³ 12.Таким образом, каждый футбольный мяч содержит по крайней мере 12 пятиугольников, но, в отличие от фуллерена, может содержать и больше.

Также, в отличие от фуллеренов, футбольные мячи имеют точное соотношение между количеством пятиугольников и количеством шестиугольников. Подсчитав количество ребер, по которым сходятся пятиугольники и шестиугольники, условие (2) говорит, что все ребра пятиугольников являются также ребрами шестиугольников, а условие (3) говорит, что ровно половина ребер шестиугольников также являются ребрами пятиугольников. Отсюда (1/2)( 6w ) = 5b , или 3w = 5 b.Поскольку b ³ 12, w не меньше 20. Эти минимальные значения реализуются стандартным футбольным мячом, и реализация комбинаторно уникальна из-за условий (2) и (3). Но есть также бесконечно много других численных решений, и возникает проблема, соответствуют ли эти неминимальные численные решения многогранникам футбольного мяча. Оказывается, да, как мы вскоре увидим, так что существует действительно бесконечная коллекция футбольных мячей.

Таким образом, мы видим, что существует бесконечно много фуллеренов (удовлетворяющих предположениям (1), (2) и (3¢)) и бесконечно много футбольных мячей (удовлетворяющих (1), (2) и (3)). Однако, если мы объединим два определения, есть только одна возможность! Для фуллерена b = 12, а для футбольного мяча 5b = 3w . Следовательно, чтобы футбольный мяч также был фуллереном, мы должны заключить, что 5 ´ 12 = 3w, или w = 20. Таким образом, любой футбольный мяч, который также является фуллереном, должен иметь 12 пятиугольников и 20 шестиугольников.Известно, что существует 1812 различных фуллеренов с 12 пятиугольниками и 20 шестиугольниками, но 1811 из них имеют где-то смежные пятиугольники и поэтому не являются футбольными мячами, поскольку нарушают условие (2). Стандартный футбольный мяч — единственный, у которого нет смежных пятиугольников.

Оставив позади химию и графы фуллеренов, давайте теперь рассмотрим ключевой вопрос: какие еще существуют нестандартные футбольные мячи, у которых более трех граней сходятся в некоторой вершине, и как мы можем их понять? Оказывается, мы можем генерировать бесконечные последовательности различных футбольных мячей с помощью топологической конструкции, называемой разветвленным покрытием в g.Вы можете визуализировать это, представив стандартный рисунок футбольного мяча, наложенный на поверхность Земли и выровненный так, чтобы одна вершина находилась на Северном полюсе, а другая — на Южном полюсе. Теперь исказите узор так, чтобы один из зигзагообразных путей по ребрам от полюса к полюсу выпрямился и лег на меридиан, скажем нулевой меридиан нулевой географической долготы (см. рис. 4b ). Можно исказить график, потому что мы занимаемся «геометрией резинового листа».”

Затем представьте, что вы разрезаете Землю по нулевому меридиану. Сжимайте разрезанную оболочку Земли в направлении восток-запад, удерживая полюса неподвижно, пока оболочка не покроет ровно половину сферы, скажем, Западное полушарие. Наконец, возьмите копию этого сморщенного пальто и поверните его вокруг оси север-юг, пока оно не закроет Восточное полушарие. Примечательно, что две части можно сшить вместе, придав сфере новую структуру футбольного мяча с вдвое большим количеством пятиугольников и шестиугольников, чем раньше.Причина в том, что в каждом из двух швов, проходящих между Северным и Южным полюсами, две стороны шва неотличимы от двух сторон разреза, который мы сделали в нашем оригинальном футбольном мяче. Следовательно, две части идеально подходят друг к другу, так что условия смежности (2) и (3) сохраняются. (Пошаговые иллюстрации этой конструкции см. на рис. 4.)

Новый футбольный мяч, построенный таким образом, называется двукратно разветвленным покрытием исходного, а полюса называются точкой ветвления с.Новый шар выглядит так же, как и старый (с точки зрения топологической или резиновой геометрии), за исключением точек ветвления. Теперь в этих двух вершинах встречается шесть граней (вместо трех), а также 116 других вершин (58 вершин, которые не были закреплены на полюсах, плюс их дубликаты), с тремя гранями, встречающимися в каждой из них.

В эту конструкцию можно внести простую модификацию. Вместо двукратных покрытий мы можем взять d -кратных разветвленных покрытий для любого натурального числа d .Вместо того, чтобы сжимать сферу наполовину, мы представляем себе апельсин, состоящий из d оранжевых частей, и для каждой части мы уменьшаем копию оболочки сферы так, чтобы она точно соответствовала этой части. Снова различные детали соединяются вместе по швам (см. фиг. 5) . Для всего этого важно думать о футбольных мячах как о комбинаторных или топологических, а не геометрических объектах, так что многоугольники можно произвольно искажать.

В этот момент вы можете подумать, что может быть гораздо больше примеров футбольных мячей, возможно, созданных из стандартного путем других модификаций, или, возможно, спорадических примеров, не имеющих очевидной связи со стандартным футбольным мячом.Но это не так! Браунгардт и я доказали, что каждый футбольный мяч на самом деле является подходящим разветвленным покрытием стандартного (возможно, с несколько более сложным разветвлением, чем обсуждалось выше).

Доказательство включало интересное взаимодействие между локальной структурой футбольных мячей вокруг каждой вершины и глобальной структурой разветвленных покрытий. Рассмотрим любую вершину любого футбольного мяча (см. рис. 6 ). Для каждой грани, встречающейся с этой вершиной, есть два последовательных ребра, которые встречаются там.Поскольку хотя бы одно из этих двух ребер ограничивает пятиугольник, по условию (3) не существует вершины, где встречаются только шестиугольники. Таким образом, в каждой вершине есть пятиугольник. Его стороны встречаются с шестиугольниками, а стороны шестиугольников поочередно встречаются с пятиугольниками и шестиугольниками. Это условие может быть выполнено только в том случае, если грани расположены вокруг вершины в последовательности черный, белый, белый, черный, белый, белый и т. д. (Помните, что пятиугольники черные). вершине, количество граней, сходящихся в этой вершине, должно быть кратно 3.Это означает, что локально вокруг любой вершины структура выглядит так же, как разветвленное покрытие стандартного футбольного мяча вокруг точки ветвления. Теория покрывающих пространств — часть топологии, изучающая отношения между пространствами, которые выглядят локально похожими, — позволила нам затем доказать, что любой футбольный мяч на самом деле является разветвленным покрытием стандартного.

Для математиков обобщение — вторая натура. Даже после того, как что-то было доказано, может быть неясно, почему именно это верно.Проверка аргумента в несколько иных ситуациях при изучении обобщений является важной частью его действительного понимания и определения того, какие из используемых допущений являются существенными, а от каких можно отказаться.

Беглый взгляд на приведенные выше аргументы показывает, что в анализе футбольных мячей мало что зависит от того, состоят ли они из пятиугольников и шестиугольников. Поэтому естественно определить «обобщенные футбольные мячи», допуская другие виды многоугольников.Представив, что мы снова раскрашиваем грани в черный и белый цвета, предположим, что черные грани имеют k ребер, а белые грани имеют по l ребер каждая. Для обычных футбольных мячей k равно 5, а l равно 6. Как и прежде, края черных граней должны совпадать только с краями белых граней, а края белых граней поочередно встречаются с краями черных и белых. лица. Чередование цветов заставляет l быть четным числом.

Сделав еще один шаг в этом процессе обобщения, мы можем потребовать, чтобы каждое n -е ребро белой грани встречалось с черной гранью, а все остальные его ребра встречались с белыми гранями. Это вынуждает l быть кратным n ; то есть l = m ´ n для некоторого целого числа m . Конечно, мы по-прежнему требуем, чтобы края черных граней встречались только с белыми гранями. Назовем такой многогранник обобщенным футбольным мячом .Таким образом, шаблон обобщенного футбольного мяча описывается тремя целыми числами (k, m, n), , где k — количество сторон черной поверхности, l = m ´ n равно число сторон белой грани, и каждые n -й стороны белой грани встречаются с черной гранью. Первый вопрос, который мы должны задать: какие комбинации k, m и n действительно возможны для обобщенного футбольного мяча? Оказывается, ответ на этот вопрос тесно связан с правильными многогранниками.

Древнегреческие математики и философы были очарованы правильными многогранниками, также известными как Платоновых тел , приписывая им множество мистических свойств. Платоновы тела — это многогранники с максимально возможной степенью симметрии: все их грани — равносторонние многоугольники с одинаковым числом сторон, и одинаковое число граней сходятся в каждой вершине. Евклид доказал в своих элементах , что таких многогранников всего пять: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр (см. рис. 7 ).

Хотя Евклид использовал геометрическое определение Платоновых тел, предполагая, что все многоугольники правильные, современные математики знают, что аргумент не зависит от геометрии. На самом деле, топологический аргумент, использующий только формулу Эйлера, показывает, что не существует других возможностей, кроме пяти, показанных на рис. 7. M граней, сходящихся в каждой вершине.Если f количество граней, то общее количество ребер равно e = (1/2)K ´ f , а количество вершин равно v = (1/M)K ´ ф . Подставляя эти значения в формулу Эйлера f — v + e = 2, мы находим, что элементарная алгебра приводит к уравнению:

Возможные решения определяются довольно легко. Полный список возможных значений пар (К, М) :

(3, 3) для тетраэдра

(4, 3) и (3, 4) для куба и октаэдра

( 5, 3) и (3, 5) для додекаэдра и икосаэдра.

Строго говоря, это только список настоящих многогранников, удовлетворяющих приведенному выше уравнению. У уравнения есть другие решения в положительных целых числах. Эти решения соответствуют так называемым вырожденным платоновым телам s, которые не являются полноценными многогранниками. Одно семейство этих вырожденных многогранников имеет K=2 и M произвольно, а другое имеет M=2 и K произвольно. Первый случай можно представить себе как пляжный мяч, представляющий собой сферу, разделенную на M частей наподобие цитрусовых.

Платоновы тела порождают обобщенные футбольные мячи с помощью процедуры, известной как усечение . Предположим, мы берем острый нож и срезаем каждый из углов икосаэдра. В каждой из 12 вершин икосаэдра пять граней сходятся в одной точке. Когда мы срезаем каждую вершину, мы получаем небольшой пятиугольник, одна сторона которого граничит с каждой из граней, которые раньше сходились в этой вершине. При этом меняем форму 20 треугольников, составляющих грани икосаэдра.Обрезая углы треугольников, мы превращаем их в шестиугольники. Стороны шестиугольников бывают двух видов, которые встречаются попеременно: остатки сторон исходных треугольных граней икосаэдра и новые стороны, полученные путем срезания углов. Сторона первого типа граничит с другим шестиугольником, а сторона второго типа касается пятиугольника. По сути, полученный нами многогранник есть не что иное, как стандартный футбольный мяч. Математики называют его усеченным икосаэдром .

Та же процедура усечения может быть применена к другим Платоновым телам. Например, усеченный тетраэдр состоит из треугольников и шестиугольников, так что стороны треугольников встречаются только с шестиугольниками, а стороны шестиугольников поочередно встречаются с треугольниками и шестиугольниками. Это обобщенный футбольный мяч с k = 3, m = 3, n = 2 (и l = m ´ n = 6). Усеченный икосаэдр дает значения для k, m и n из 5, 3 и 2.Остальные усечения дают (k, m, n) = (4, 3, 2) для октаэдра, (3, 4, 2) для куба и (3, 5, 2) для додекаэдра. Кроме того, мы можем обрезать пляжные мячи, чтобы получить обобщенные футбольные мячи с (k, m, n) = (k , 2, 2), где k может быть любым целым числом, большим 2.

единственные возможности для обобщенных моделей футбольных мячей, или есть и другие? Опять же, мы можем ответить на этот вопрос, используя формулу Эйлера: f — e + v = 2.Как и в случае с Платоновыми телами, мы можем выразить количество граней, ребер и вершин в терминах наших основных данных. Здесь это число b черных граней, число w белых граней и параметры k , m и n . Теперь, поскольку количество граней, сходящихся в вершине, не фиксировано, мы получаем не уравнение, а неравенство, выражающее тот факт, что количество граней, сходящихся в каждой вершине, не меньше 3.В результате получается ограничение на k, m и n , которое можно представить в следующей форме :

Это может показаться сложным, но его легко проанализировать, как и уравнение, ведущее к Платоновым телам. Нетрудно показать, что n не может быть больше 6, иначе левая часть была бы больше правой. Приложив немного больше усилий, можно составить полный список всех возможных решений в целых числах k, m и n .

Увы, на этом история не заканчивается. Есть некоторые тройки, такие как (k, m, n) = (4, 4, 1), которые удовлетворяют неравенству для подходящих значений b , но не возникают из обобщенных футбольных мячей. Однако Браунгардт и я смогли определить значения (k, m, n) , которые имеют реализацию в виде футбольных мячей; они показаны в таблице на рисунке 9, где мы также иллюстрируем наименьшие реализации для нескольких типов. Обратите внимание, что все те, у которых n =2, происходят из усечений Платоновых тел.

Перечисленные здесь многогранники обладают различными интересными свойствами, из которых я упомяну только одно. Помимо записи 10 в этой таблице, которая, конечно, является стандартным футбольным мячом, таблица содержит еще три фуллерена: номера 14 и 20, а также случай k =6 записи 17. Количество шестиугольников в этих примерах равно 30, 60 и 2 соответственно. (Обратите внимание, что в последнем случае цветовая схема обратная, поэтому шестиугольники черные, а не белые.) Количество атомов углерода составляет 80, 140 и 24 соответственно.Последний из них — единственный фуллерен с 24 атомами. В случае 80 атомов имеется 7 различных фуллеренов с непересекающимися пятиугольниками, но в нашей таблице обобщенных футбольных мячей встречается только один. На 140 атомов приходится 121 354 фуллерена с непересекающимися пятиугольниками.

Браунгардт и я обнаружили очень интригующую вещь, когда попытались выяснить, происходит ли каждый обобщенный футбольный мяч из разветвленного покрытия одной из записей в нашей таблице. Это верно, как мы нашли, для всех троек с n = 2, то есть для обобщенных футбольных мячей, у которых черные и белые грани чередуются вокруг сторон каждой белой грани.Однако это неверно для других значений n ! Самый простой пример, демонстрирующий эту неудачу, возникает для тройки (k, m, n) = (3, 1, 3), что означает, что у нас есть черный и белый треугольники, расположенные таким образом, что стороны каждого черного треугольника пересекаются только белые, и у каждого белого треугольника ровно одна сторона пересекается с черной. Минимальный пример — это просто тетраэдр с одной гранью, окрашенной в черный цвет (рис. 10а). Другая реализация представляет собой октаэдр с двумя противоположными гранями, окрашенными в черный цвет (рис. 10b) .Это не разветвленное покрытие нарисованного тетраэдра! Разветвленное покрытие тетраэдра имело бы 3, 6, 9, … граней, сходящихся в каждой вершине, но у октаэдра их 4. n >2. В примере с тетраэдром есть два разных вида вершин: вершина, в которой встречаются только белые грани, и три вершины, в которых встречаются одна черная и две белые грани.Более того, раскрашенный октаэдр имеет вершину еще одного типа. Но в случае n = 2 все вершины выглядят практически одинаково. Каждая вершина имеет одну и ту же последовательность цветов: черный, белый, белый, черный, белый, белый, …, причем открытой остается только длина последовательности. Таким образом, условия смежности обеспечивают некоторую степень контроля над локальной структурой любого обобщенного футбольного мяча с n=2. Этот элемент управления отсутствует в случае n >2.Таким образом, в настоящее время можно описать все обобщенные футбольные мячи с n = 2: они являются разветвленными покрытиями усеченных платоновых тел. Но нет простого способа произвести все обобщенные футбольные мячи с n >2.

С точки зрения тополога, сферические футбольные мячи — всего лишь один конкретный пример карт, нарисованных на поверхностях. Поскольку определение футбольных мячей с помощью условий (1), (2) и (3) не указывает, что многогранники футбольных мячей должны быть сферическими, существует вероятность, что они могут существовать и в других формах.Кроме сферы, существует бесконечно много других поверхностей: тор (поверхность бублика), двойной тор, тройной тор (поверхность кренделя), четверной тор и т. д. Поверхности отличаются друг от друга своим родом , неофициально известным как число отверстий: сфера имеет род нуль, тор имеет род один, двойной тор имеет род два и так далее.

Существуют футбольные мячи всех родов, потому что каждая поверхность является разветвленным покрытием сферы (в несколько более общем виде, чем мы обсуждали ранее).Поместив точки ветвления в вершины некоторого графа футбольных мячей на сфере, мы можем генерировать графы футбольных мячей на любой поверхности. На рис. 11а показан тороидальный футбольный мяч, полученный из двукратно разветвленного покрытия стандартного сферического мяча. В этом случае имеется четыре точки ветвления. Заметим, что двукратное разветвленное покрытие всегда удваивает число пятиугольников и шестиугольников.

Вот более простая конструкция тороидального футбольного мяча. Возьмите стандартный сферический футбольный мяч и разрежьте его по двум непересекающимся краям.Вскрытие сферы вдоль каждого разреза дает нечто похожее на сферу, из которой удалены два диска. На этой поверхности изображен футбольный мяч, а две граничные окружности, на которых мы открыли сферу, имеют по две вершины. Если ребра разреза одного типа, а это означает, что по обеим из них встретились две белые грани в исходном сферическом футбольном мяче или что по обеим из них черная грань встретилась с белой гранью, то мы можем склеить две граничные окружности вместе. чтобы сопоставить вершины с вершинами.(Пошаговые иллюстрации этой конструкции см. на рис. 11b.) Поверхность, построенная таким образом, снова является тором. Он имеет структуру многогранника, удовлетворяющего условиям (1), (2) и (3), и поэтому является футбольным мячом.

Этот второй тороидальный футбольный мяч не является разветвленным покрытием стандартного сферического мяча, потому что он имеет то же количество пятиугольников и шестиугольников (12 и 20 соответственно), что и стандартный сферический мяч. Для разветвленного покрытия эти числа должны быть умножены на степень покрытия.В этом случае сбой вызван не потерей контроля над локальной структурой паттерна (как в предыдущем разделе), а глобальным свойством тора (дыркой). Таким образом, основной результат о том, что все сферические футбольные мячи являются разветвленными покрытиями стандартного, неверен для футбольных мячей с отверстиями.

Футбольные мячи дают достаточно иллюстраций тесной связи, которая существует между графами на поверхностях и разветвленными покрытиями. Этот круг идей также связан с тонкими вопросами алгебраической геометрии, где комбинаторика карт на поверхностях таинственным образом инкапсулирует данные из теории чисел.Следуя терминологии, введенной Александром Гротендиком, одним из ведущих математиков 20-го века, соответствующие графы на сфере в настоящее время называются детских рисунков .

• Браунгардт В. и Д. Котчик. 2006. Классификация футбольных паттернов. Препринт. http://129.187.111.185/~dieter/football.pdf
• Бринкманн Г. и А. В. М. Платье. 1997. Конструктивное перечисление фуллеренов. Журнал алгоритмов 23:345-358.
• Bundeswettbewerb Математика. 1988. Aufgaben und Lösungen 1983-1987. Штутгарт, Германия: Ernst Klett Verlag.
• • Чанг Ф. и С. Штернберг. 1993. Математика и бакибол. Американский ученый 81:56-71.
  • Coxeter, HSM 1948. Правильные многогранники . Лондон: Methuen & Co. Ltd.
  • Schneps, L. (ред.). 1994. Теория Гротендика о детских рисунках. Серия лекций Лондонского математического общества, том. 200. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета.
  • Якобсон Б.И. и Р.Э. Смолли. 1997. Фуллереновые нанотрубки: C _{1 000 000} и далее. Американский ученый 85:324-337.

.